Hoofdstuk 9
Warmte

Dit hoofdstuk is voor het VWO alleen onderdeel van het schoolexamen, maar niet van het centraal examen. Voor de HAVO is het wel onderdeel van het centraal examen.

§1 Temperatuur en warmte

In dit hoofdstuk gaan we een aantal materiaaleigenschappen begrijpen aan de hand van de deeltjes waaruit deze materialen bestaan. We noemen dit het deeltjesmodel. De fenomenen die aan de hand van dit model gaan verklaren zijn o.a. faseovergangen, temperatuur en druk. In de paragraaf beginnen we met het beschrijven van temperatuur en warmte.

Veel fenomenen in de wereld om ons heen zijn te verklaren aan de hand van de beweging van de atomen waaruit materie is opgebouwd. We noemen deze methode om de wereld te begrijpen het deeltjesmodel. Neem bijvoorbeeld de temperatuur. De temperatuur wordt veroorzaakt door de beweging van de deeltjes waaruit een materiaal bestaat. Hoe sneller de atomen bewegen, hoe hoger de temperatuur van het voorwerp. Andersom geldt ook dat hoe langzamer de atomen bewegen, hoe lager de temperatuur wordt. Als we een voorwerp blijven afkoelen, dan komt er een moment dat alle atomen stil staan. Dit gebeurt bij -273 °C. Op dat moment is de allerlaagste temperatuur bereikt. We noemen deze temperatuur het absolute nulpunt. Het is niet mogelijk dat een materiaal nog kouder wordt, want de atomen staan op dit moment immers al helemaal stil.

De SI-eenheid van de temperatuur is niet graden Celsius, maar kelvin. Bij deze temperatuurschaal is ervoor gekozen om het absolute nulpunt gelijk te stellen aan nul kelvin. Er geldt dus:

$$ 0 \text{ K} = -273\,^{\circ}\text{C} $$

Het handige van deze schaal is dat de temperatuur in kelvin altijd positief is. Het kan immers niet kouder worden dan nul kelvin. Een ander voordeel is dat formules vaak simpeler worden als we gebruik maken van kelvin. We rekenen kelvin en graden Celsius als volgt in elkaar om:

$$ T(\,^{\circ}\mathrm{C}) = T(K) - 273 $$

T(K) staat voor de temperatuur in kelvin. T(°C) staat voor de temperatuur in graden Celsius.

Met het deeltjesmodel kunnen we ook meteen begrijpen waarom stoffen uitzetten als we de temperatuur verhogen en krimpen als we de temperatuur verlagen. Als we de temperatuur van bijvoorbeeld een stuk metaal verhogen, dan gaan de deeltjes in dit metaal sneller trillen. Door dit trillen duwt elke atoom de omliggende atomen een beetje weg. Het materiaal neemt op deze manier meer ruimte in (zie de onderstaande animatie).

Het uitzetten en krimpen van stoffen wordt o.a. toegepast in een thermometer. Een veelgebruikte thermometer bestaat uit een dun buisje met daarin gekleurde alcohol. Als de alcohol warmer wordt, dan zet het uit, waardoor het alcoholniveau stijgt. Als de alcohol afkoelt, dan krimpt het, waardoor het alcoholniveau weer daalt.

Ook de drie fasen kunnen we met het deeltjesmodel begrijpen. Hieronder zien we de drie fasen op atomaire niveau afgebeeld. In de onderstaande linker afbeelding is een vaste stof op atomaire niveau afgebeeld. De atomen in een vaste stof zitten op een vaste plaats en kunnen op deze plaats alleen een beetje heen en weer trillen. Alleen bij 0 K staan de deeltjes helemaal stil. Bij een vloeistof zitten de atomen nog steeds tegen elkaar aan, maar hebben ze geen vaste plek meer. Ze kunnen nu vrij langs elkaar heen bewegen (zie de middelste afbeelding). Dit verklaart de beweeglijkheid van vloeistoffen. In een gas bewegen de atomen helemaal los van elkaar en vliegen kriskras door elkaar heen (zie de rechter afbeelding).

Als een stof van één fase overgaat naar een andere, dan spreken we van een faseovergang. Er zijn zes verschillende faseovergangen (zie de onderstaande afbeelding).

Condensatie zien we in de linker onderstaande afbeelding. Waterdamp in de lucht komt in aanraking met een koude fles en op deze manier ontstaan loeibare waterdruppeltjes aan de buitenkant van de fles. Ook dauw en mist ontstaan door condensatie (zie de twee rechter afbeeldingen).

Als het in de winter vriest, dan kan de waterdamp uit de lucht direct bevriezen. Bij het rijpen van water ontstaan kleine ijskristalletjes (zie de onderstaande afbeeldingen). De ijskristallen in de vrieskist zijn ook door rijpen ontstaan. Sublimeren komt minder vaak voor. Tijdens droge winterdagen zien we soms sneeuw verdwijnen, terwijl het de hele dag heeft gevroren. Sneeuw is in dat geval gesublimeerd tot waterdamp.

We kunnen het deeltjesmodel ook gebruiken om te begrijpen wat er gebeurt als we een warm en een koud voorwerp in contact met elkaar brengen. Stel je legt een stuk ijzer met een temperatuur van 60 °C tegen een even groot stuk ijzer met een temperatuur van 0 °C (zie de onderstaande afbeelding). Door de hogere temperatuur trillen de deeltjes in het linker blok sneller. Deze snel trillende deeltjes in het linker blok botsen tegen de minder snelle deeltjes in het rechter blok. Als gevolg hiervan remmen de deeltjes in het linker blok af en gaan de deeltjes in het rechter blok juist sneller trillen. De temperatuur van het linker blok neemt hierdoor af en de temperatuur in het rechter blok neemt hierdoor toe. Dit proces gaat door totdat de deeltjes in beide stukken evenveel trillen. Dit gebeurt als de temperatuur gelijk wordt. Als er geen warmte verloren gaat aan de omgeving en als de blokken even groot zijn, dan zal de temperatuur van beide blokken uiteindelijk 30 °C worden.

Hoe harder de deeltjes in een stof trillen, hoe meer energie deze deeltjes hebben. In het hierboven beschreven proces is dus energie verplaatst van het linker naar het rechter blok. Het soort energie dat hier verplaatst is noemen we de warmte (Q). Het is belangrijk om onderscheid te maken tussen warmte en temperatuur. De temperatuur is datgene dat we met een thermometer meten en de eenheid hiervan is graden Celsius of kelvin. Warmte is een soort energie en de eenheid hiervan is de joule. Er geldt dus:

Temperatuur (T)	kelvin (K)
Energie (E)	joule (J)
Warmte (Q)	joule (J)

In het bovenstaande voorbeeld hebben we gezien dat energie van het linker blok overgedragen werd naar het rechter blok. We hebben daarom geconcludeerd dat er warmte is verplaatst van links naar rechts. In het dagelijks leven wordt in dit voorbeeld ook wel eens gezegd dat 'kou' van rechts naar links is gestroomd. Het linker blok is immers kouder geworden. In de natuurkunde wordt deze manier van denken echter zo veel mogelijk vermeden. De energie stroomt immers van hoge naar lage temperatuur en niet andersom. Een zin als 'doe het raam dicht, want er komt kou binnen' is natuurkundig gezien dus onhandig. Wat er in werkelijkheid gebeurt is dat er juist warmte naar buiten stroomt.

De hoeveelheid warmte die er zal stromen tussen een warm en een koud voorwerp hangt af van het temperatuurverschil (ΔT) tussen de twee voorwerpen. Hoe groter het temperatuurverschil, hoe meer warmte er zal stromen. We kunnen dit goed zien in het onderstaande diagram. In het diagram zien we een voorwerp van 40 graden Celsius dat afkoelt in een kamer van 20 graden Celsius. Aan het begin is het temperatuurverschil het grootst en als gevolg neemt de temperatuur aan het begin het snelst af. Aan het eind is het temperatuurverschil erg klein en als gevolg neemt de temperatuur dan slechts heel langzaam af.

Warmte kan zich op drie manieren verplaatsen. We spreken hier van de drie soorten warmtetransport:

Warmtegeleiding
Warmtestroming
Straling

De eerste soort is warmtegeleiding. Dit ontstaat wanneer atomen hun warmte doorgeven doordat ze tegen elkaar botsen. Stel dat een stuk metaal aan één zijde verwarmd wordt. Als gevolg gaan op deze plek de deeltjes sneller trillen. Deze deeltjes botsen dan tegen de omringende deeltjes en deze deeltjes worden hierdoor ook in beweging gebracht. Deze deeltjes botsen dan weer tegen de volgende deeltjes, etc. Op deze manier trekt de warmte door het materiaal. We zien dit effect bijvoorbeeld als we een metalen lepel in een pan kokend water plaatsen. De warmte trekt dan door het metaal omhoog (zie de rechter afbeelding).

Niet alle stoffen geleiden warmte even goed. Een metalen lepel in een pan met kokend water wordt bijvoorbeeld veel sneller warm dan een houten lepel. Metaal wordt daarom een goede geleider genoemd en hout een slechte geleider. Slechte geleiders worden ook wel isolatoren genoemd. Ook gassen en vloeistoffen zijn isolatoren. Dat bijvoorbeeld lucht een goede isolator is kan je goed ervaren door je hand dicht naast een vlam te houden (zie de onderstaande afbeelding). Je hand zal hierdoor amper opwarmen (boven de vlam wordt je hand wel snel warm, maar dit komt door een ander effect genaamd warmtestroming).

Een thermosfles maakt goed gebruik van de isolerende eigenschap van lucht. Een thermosfles bestaat uit een fles in een fles met daartussen een laagje lucht. Als gevolg stroomt warmte lastig de fles in en lastig de fles uit. Warme dranken blijven hierdoor langer warm en koude dranken langer koud. Hetzelfde principe wordt toegepast bij dubbelglas. Dubbelglas bestaat uit twee glazen met daartussen lucht. Dit zorgt ervoor dat we weinig warmte verliezen via de ramen.

De tweede soort warmtetransport is warmtestroming. Warmtestroming vindt bij gassen en vloeistoffen plaats. We kunnen dit effect goed zien in de linker onderstaande afbeelding, waarin water wordt verwarmd met behulp van een brander. Door geleiding zal het water in de buurt van de vlam opwarmen. Dit warme water zet uit en als gevolg wordt de dichtheid van dit water kleiner en zal het opstijgen. Als gevolg begint het water rond te stromen.

Ook het verwarmen van een kamer met behulp van een verwarming gebeurt via warmtestroming (zie de onderstaande rechter afbeelding). De verwarming zelf kan met behulp van geleiding alleen de lucht verwarmen die direct in contact staat met de verwarming. Deze lucht wordt hierdoor warmer, krijgt een lagere dichtheid en stijgt op. Als gevolg ontstaat er een warmtestroom in de kamer en wordt de kamer steeds warmer.

De derde soort warmtetransport wordt straling genoemd. Een ander woord voor straling is licht. Dat straling warmte kan overdragen weten we als we onze handen in de zon houden. Als het zonlicht door onze huid wordt geabsorbeerd, wordt onze huid warmer. Hetzelfde effect treedt ook op als je je handen warmt aan een kampvuur of openhaard. Er is ook straling die we niet met onze ogen kunnen zien. Het menselijk lichaam zendt bijvoorbeeld infraroodstraling uit. In de onderstaande afbeelding is een foto gemaakt met een infraroodcamera. Zoals je ziet geeft warm water ook veel infraroodstraling af. Je voelt infraroodstraling ook als je je hand naast een hete verwarming plaatst (boven de verwarming is het nog warmer, maar dat komt voornamelijk door warmtestroming).

       Omrekenen kelvin en graden Celsius en redeneren met deeltjesmodel

(2p) Leg uit dat de temperatuur niet onder de -273°C kan komen.

(4p) Schrijf de volgende temperaturen om:

0 K = ... °C

473 K = ... °C

0 °C = ... K

100 °C = ... K

(2p) Water kookt bij 100 °C en alcohol bij 351 K. Leg uit wat een hogere temperatuur heeft: kokend water of kokend alcohol?

(1p) Leg met behulp van het deeltjesmodel uit waarom een vaste stof krimpt als de temperatuur afneemt.

(2p) Over een bekerglas wordt met een elastiekje een boterhamzakje strak gespannen.

Wat gebeurt er met het zakje als we de beker verhitten?

Wat gebeurt er met het zakje als we de beker in de koelkast zetten?

       Redeneren met faseovergangen

(8p) Geef in de volgende situaties aan welke faseovergang er plaats vindt:

Bij koud weer komen nevelwolkjes uit je mond.

Een koud glas limonade beslaat aan de buitenkant.

Er vormen zich ijskristallen op de producten in de vriezer.

Kleren drogen snel op in de wind.

Je maakt ijsklontjes in de vriezer.

De badkamerspiegel beslaat als je de douche uit stapt.

Mist klaart op in de loop van de ochtend.

Er vormen zich dauwdruppels op grassprieten.

(2p) Een leerling komt een kamer binnen en zijn bril beslaat. Leg uit wat er gebeurd is en onder welke omstandigheden dit gebeurt.

(2p) Eenzelfde plas water kan op een bepaalde dag veel meer tijd nodig hebben om te verdampen dan op een andere dag. Geef hiervoor een verklaring.

(1p) De lucht bevat maximaal 4% waterdamp. Bij het condenseren van deze waterdamp ontstaat bijvoorbeeld mist. De lucht bevat ook 80% stikstof. Leg uit waarom we in het dagelijks leven nooit stikstof zien condenseren.

(2p) In de volgende afbeelding zien we bij A stoom ontsnappen uit een ketel. Bij B wordt de stoom een nevel. Noteer voor A en B de fase waarin het water zich bevindt. Leg je antwoord uit.

(1p) Als we een opgeblazen ballon onderdompelen in vloeibare stikstof, dan krimpt de ballon. Verklaar dit met het deeltjesmodel.

(1p) Ether is een vloeistof die erg snel verdampt. De snelste deeltjes in ether zijn bij kamertemperatuur al snel genoeg om uit de vloeistof te ontsnappen. Verklaar met het deeltjesmodel wat er met de temperatuur van ether gebeurt als de snelste deeltjes ontsnappen.

       Redeneren met de drie soorten van warmtetransport

(2p) Geef de SI-eenheid van warmte en van temperatuur.

(1p) Als we onze handen in de sneeuw leggen, dan voelt het alsof de 'kou' in onze handen trekt. Leg uit waarom deze uitspraak niet correct is.

(2p) Een koekenpan is meestal gemaakt van metaal, maar de handvaten zijn meestal gemaakt van kunststof. Leg uit waarom deze materialen gebruikt worden.

(1p) Wat is het nadeel van metalen eetborden?

(1p) Dubbele beglazing bestaat uit twee ruiten met daartussen een laagje lucht. Wat is het voordeel hiervan?

(1p) Teken de warmtestroming in deze bak met water:

(2p) Hieronder is een verwarming getekend. Leg uit of de verwarming van P naar Q of van Q naar P moet stromen om de verwarming optimaal te laten werken.

In een thermosfles kunnen vloeistoffen lang koud en lang warm worden gehouden. Dit gebeurt doordat het warmtetransport van binnen naar buiten geminimaliseerd wordt. De thermosfles bestaat uit een dubbele wand met daartussen een laagje lucht. Aan de binnenkant van de fles is ook een glanzend oppervlak aangebracht.

(2p) Leg uit waarom de thermosfles zo goed werkt.

(1p) Bij een duurdere variant wordt de lucht tussen de twee wanden ook nog weggepompt. We spreken dan van een vacuümthermosfles. Wat is het voordeel van deze fles?

(3p) Een verwarming verwarmt een kamer. Welke soorten warmtetransport zorgen hier voor het verwarmen van de kamer en welke (bijna) niet? Leg je antwoord uit.

(2p) Als je je hand 5 centimeter naast een brandende kaars houdt, dan voel je amper de warmte. Als je je hand 5 cm boven de brandende kaars houdt, dan voel je de warmte heel sterk. Wat zorgt voor dit verschil?

(2p) Een nachtstroomkachel bestaat uit grote blokken speksteen die door een elektrisch verwarmingselement van binnenuit worden opgewarmd. Het opwarmen gebeurt 's nachts omdat elektrische energie dan goedkoper is. Overdag geven de stenen hun warmte langzaam weer af. In het onderstaande diagram is het temperatuurverloop van de stenen weergegeven.
Het afkoelen van de spekstenen is op drie manieren getekend. Leg uit welke grafiek (A, B of C) hoort bij het afkoelen van de stenen.
(bron: examen HAVO 2007-1)

(2p) Water wordt verwarmd met behulp van een weerstand. In het onderstaande diagram is weergegeven hoe de temperatuur van het water verandert in de tijd. Geef voor elk van de tijdstippen A, B en C aan of het elektrisch vermogen van de weerstand (P_elek) groter, kleiner of gelijk is aan het energieverlies per seconde aan de omgeving (P_verlies). Licht je antwoord telkens toe.

(bron: examen HAVO 2019-2)

§2 Soortelijke warmte

In deze paragraaf gaan we preciezer kijken naar de link tussen warmte en temperatuur. We doen dit met behulp van het begrip soortelijke warmte.

Als we willen weten hoeveel warmte er nodig is om de temperatuur van een vloeistof een bepaalde hoeveelheid te laten stijgen, dan gebruiken we daarvoor een joulemeter (ook wel calorimeter genoemd). Een joulemeter is eigenlijk niets anders dan een geïsoleerd bakje met daarin een verwarmingselement en een thermometer. In de onderstaande afbeelding zien we een joulemeter gevuld met water. In het verwarmingselement wordt elektrische energie omgezet in warmte en met deze warmte wordt het water verwarmd. Hoeveel de temperatuur van het water hierdoor stijgt, kunnen we aflezen op de thermometer.

De hoeveelheid elektrische energie die we toevoegen aan het water kunnen we uitrekenen met behulp van de spanning en de stroomsterkte. We doen dit met behulp van de volgende twee formules uit het hoofdstuk over elektriciteit:

$$ P = U \times I $$ $$ \Delta E = P \Delta t $$

Vermogen (P)

watt (W)

Spanning (U)

volt (V)

Stroomsterkte (I)

ampère (A)

Tijdsduur (Δt)

seconde (s)

Energieverbruik (ΔE)

joule (J)

De elektrische energie zal in het verwarmingselement worden omgezet in warmte (Q). Als de joulemeter perfect geïsoleerd is, dan wordt al deze warmte gebruikt om het water op te warmen. Met een thermometer kunnen we dan de temperatuurstijging (ΔT) aflezen. Met de warmte (Q) en de temperatuurstijging (ΔT) kunnen we dan de zogenaamde soortelijke warmte (c) berekenen. Dat doen we met de volgende formule:

$$ Q = c m \Delta T $$

Warmte (Q)

joule (J)

Soortelijke warmte (c)

joule per kilogram per kelvin (J/kg/K)

Massa (m)

kilogram (kg)

Temperatuurstijging (ΔT)

kelvin (K)

De SI-eenheid voor de temperatuurstijging (ΔT) is kelvin, maar er mag in deze formule ook gebruik gemaakt worden van graden Celsius. Dit komt omdat we hier niet te maken hebben met een temperatuur, maar met een temperatuursverschil. Of we nu te maken hebben met een stijging van 0 °C naar 10 °C of van 273 K naar 283 K, de temperatuurstijging is in beide gevallen 10.

De soortelijke warmte (c) vertelt ons hoeveel warmte er nodig is om één kilogram materiaal één kelvin (of één graden Celsius) te laten stijgen. De SI-eenheid van de soortelijke warmte is dus J/kg/K. Voor een heel aantal stoffen is de soortelijke warmte te vinden in BINAS.

Dat verschillende stoffen een verschillende soortelijke warmte hebben merk je bijvoorbeeld op een warme dag aan het strand. Als je over het hete zand loopt, doet dit pijn aan je voeten, terwijl lopen over een badhanddoek geen probleem is. Dit is merkwaardig als je bedenkt dat beide stoffen dezelfde hoeveelheid stralingsenergie ontvangen (per vierkante meter) van de zon. Het verschil is de soortelijke warmte. Zand heeft een hogere soortelijke warmte en heeft dus minder energie nodig om de temperatuur een graad te laten stijgen. Net als de badhanddoek heeft ook water een hoge soortelijke warmte. Vandaar dat het water van de zee zelfs met mooi weer nog steeds koud kan zijn.

De formule wordt ook vaak gebruikt in combinatie met de formule voor de dichtheid (m = ρV). We vinden dan:

$$ Q = c \rho V \Delta T $$

Dichtheid (ρ)

kilogram per kubieke meter (kg/m³)

Volume (V)

kubieke meter (m³)

In werkelijkheid is een joulemeter natuurlijk nooit perfect geïsoleerd. Er zal hierdoor altijd wat warmte ontsnappen. Als gevolg wordt de temperatuur van de vloeistof lager. De fractie van de energie die nuttig gebruikt wordt (en dus niet verloren gaat) noemen we het rendement. Het rendement kunnen we als volgt berekenen:

$$ \frac{E_{nuttig}}{E_{tot}} = \eta $$

Het rendement in deze formule is een getal tussen de 0 en de 1. Het rendement wordt ook vaak uitgedrukt als percentage. In dat geval moet het rendement uit deze formule vermenigvuldigd worden met 100. Een rendement van 0,05 komt dus overeen met een rendement van 5%.

Warmte kan ook ontstaan bij het verbranden van brandstoffen. De energie die bij verbranding vrijkomt, noemen we de chemische energie (E_ch). In BINAS kunnen we de stookwaarde (r_V) van verschillende brandstoffen vinden. De stookwaarde vertelt ons hoeveel joule er vrijkomt bij het verbranden van een kubieke meter brandstof. De eenheid van de stookwaarde is dus J/m³. Met de stookwaarde kunnen we als volgt de totale chemische energie uitrekenen die bij een verbranding vrijkomt:

$$ E_{ch} = r_VV$$

Chemische energie (E_ch)

joule (J)

Stookwaarde per volume (r_v)

joule per kubieke meter (J/m³)

Volume (V)

kubieke meter (m³)

Voorbeeld

Opdracht:

Een persoon wil een kamer van 14,4 ^oC naar 20,0 ^oC verwarmen. De kamer heeft een volume van 18 m³. Bereken hoeveel kubieke meter Gronings aardsgas er verbrand moet worden voor deze temperatuurstijging.

Antwoord:

Eerst berekenen we hoeveel warmte je nodig hebt om de lucht in de kamer op te warmen. De soortelijke warmte van lucht is 1,0 × 10³ J/kg/K en de dichtheid is 1,29 kg/m³. We vullen deze waarden in:
$$ Q = c \rho V \Delta T = 1,0 \times 10^3 \times 1,29 \times 18 \times 5,6 = 1,3 \times 10^5 \text{ J}$$
De stookwaarde van Gronings aardgas vinden we in BINAS. Deze blijkt gelijk aan 32 × 10⁶ J/m³. Het volume aardgas wordt hiermee:
$$ V = \frac{E_{ch}}{r_V} = \frac{1,3 \times 10^5}{32 \times 10^6} = 0,0041 \text{ m}^3 $$
Dit is het volume Groningsaardgas dat minimaal verbrandt moet worden. In werkelijkheid ligt de waarde een stuk hoger, omdat er normaal gesproken ook nog warmte ontsnapt, bijvoorbeeld via de ramen van de kamer.

       Rekenen met Q = cmΔT

(3p) Een blokje koper met een massa van 165 gram heeft een temperatuur van 20 °C. Bereken hoeveel warmte moet worden toegevoerd om de temperatuur te laten stijgen tot 35 °C.

(3p) Een hete ijzeren kogel met een massa van 220 g heeft een temperatuur van 190 °C. In de eerste minuut van het afkoelen staat de kogel 5566 J aan warmte af. Bereken de temperatuur van de kogel na deze minuut.

(5p) Een thermometer hangt in een huiskamer. De thermometer bestaat uit 4,5 g gewoon glas en 2,5 g alcohol. De kamertemperatuur stijgt van 15 °C naar 22 °C. Bereken hoeveel warmte de gehele thermometer opneemt.

(2p) Een stuk koper en een stuk hout worden door direct zonlicht verwarmd. Het koper krijgt een hogere temperatuur. Leg uit waarom.

(4p) Bereken hoeveel energie het kost om 1,0 liter water van 20 graden Celsius aan de kook te brengen.

Wanneer je warme chocomel bestelt in een café, wordt de chocomel verwarmd door er waterdamp van 120 graden Celsius doorheen te blazen. Eerst koelt de waterdamp af tot 100 graden Celsius. Dan condenseert de waterdamp tot vloeibaar water, waarbij 2260 J aan energie vrijkomt. Dan daalt de temperatuur van de waterdamp verder af tot 50 graden Celsius. Neem aan dat de soortelijke warmte van chocomel gelijk is aan die van melk.

(3p) Bereken hoeveel energie 1,0 gram water afstaat als het in de chocomel afkoelt van 120 naar 50 graden Celsius.

(3p) Bereken hoeveel gram chocomel je hiermee kunt verwarmen van 6,0 naar 50,0 graden Celsius.

(2p) Met een perfect geïsoleerde joulemeter is het mogelijk om nauwkeurig de soortelijke warmte van een stof te bepalen. In werkelijkheid zijn joulemeters echter niet perfect geïsoleerd. Een deel van de warmte die we toevoegen zal dus niet gebruikt worden voor het opwarmen van de vloeistof, maar zal naar de omgeving toe ontsnappen. Leg uit of de soortelijke warmte die we met een joulemeter meten hierdoor hoger of lager komt te liggen dan de werkelijke waarde.

In de prehistorie kookten mensen met kookstenen. Deze stenen werden in hete as opgewarmd en daarna in een pot met koud water gedaan. Een leerling doet dit proces na. Hij gebruikt een steen van graniet met een massa van 2,3 kg en een begintemperatuur van 384 ^oC en plaatst dit in water. Het water warmt hierdoor op van 18 ^oC tot het kookpunt.

(5p) Bereken de massa van het water dat met deze steen tot het kookpunt kan worden verwarmd. Verwaarloos hierbij het opwarmen van de pot en het warmteverlies naar de omgeving.

(2p) Het experiment wordt herhaald onder dezelfde omstandigheden, maar nu met basalt in plaats van graniet. Leg uit of de kooksteen van basalt zwaarder, lichter of precies even zwaar moet zijn als de kooksteen van graniet om dezelfde hoeveelheid water te verwarmen.
(bron: examen HAVO 2019-1)

       Rekenen met Q = cmΔT in combinatie met andere formules

(6p) Met een joulemeter wordt de soortelijke warmte van een onbekende vloeistof gemeten. In de joulemeter bevindt zich 460 gram van de vloeistof en een warmte-element waarover een spanning van 15 V staat en waardoor een stroomsterkte van 2,0 A loopt. Het warmte-element wordt 10,0 minuten aangezet en de temperatuur stijgt hierdoor 10 graden Celsius. Bereken de soortelijke warmte van de onbekende vloeistof en vind hiermee welk soort vloeistof gebruikt is.

In een wijk in Nederland worden 370 woningen gebouwd die de warmte van het asfalt van een naburige verkeersweg gebruikt. De gemiddelde eengezinswoning heeft op jaarbasis ongeveer 30 gigajoule nodig voor verwarming. 9 opbrengst van het asfalt is ongeveer 0,75 gigajoule per vierkante meter per jaar, waarvan 80% voor de huizen gebruikt kan worden.

(5p) Bereken met behulp van een schatting de lengte van het wegdek die nodig is voor de verwarming van deze wijk. Geef aan welke grootheid je moet schatten.

(4p) Het asfalt wordt verwarmd door de straling van de zon. Veronderstel dat op een zonnige middag het gemiddelde vermogen van de zonnestraling die op een vierkante meter asfalt valt gelijk is aan 6,0 × 10² W en dat al deze zonne-energie gelijkmatig wordt opgenomen door een laag asfalt van 15 cm dikte. Bereken de temperatuurstijging van het asfalt per uur indien er geen warmte aan de omgeving wordt afgestaan.
(bron: examen VWO 2004-2)

Tijdens het touwtjespringen zetten de spieren energie uit voedsel om in arbeid en warmte. Een bokser produceert op deze manier per seconde 200 joule arbeid en 620 joule warmte.

(3p) Bereken het rendement waarmee zijn spieren energie uit voedsel omzetten in arbeid.

(3p) Als de lichaamstemperatuur van de bokser 0,50 graden Celsius toeneemt, begint hij te zweten. Bereken hoe lang het duurt voordat de sporter begint te zweten. Gebruik hierbij dat de soortelijke warmte van zijn lichaam 3,5 × 10³ J/kg/K is en dat zijn massa 73,40 kg is.

(2p) Tijdens het zweten wordt alle warmte die vrijkomt afgevoerd door het verdampen van het zweet. Als gevolg houdt zijn lichaam dan een constante temperatuur. Voor het verdampen van 1,0 kg zweet is 2,3 × 10⁶ J warmte nodig. Bereken hoeveel de massa van de bokser is afgenomen na een uur zweten.
(bron: examen HAVO 2004-1)

       Rekenen met de stookwaarde en het rendement

Een warmtepomp voor het verwarmen van woningen onttrekt warmte aan de omgeving van een woning en staat warmte af binnen de woning. Omdat de afgestane warmte veel groter kan zijn dan de elektrische energie die nodig is voor het aandrijven van de warmtepomp, kan deze methode voordeliger zijn dan andere verwarmingssystemen. Een bepaald type warmtepomp bestaat uit drie gedeelten (zie de onderstaande afbeelding):

Vloeibare ammoniak wordt naar het buitengedeelte van het buizenstelsel gepompt. In dit gedeelte verdampt de ammoniak. De hiervoor benodigde hoeveelheid warmte wordt onttrokken aan stromend water dat zich rond de buizen bevindt.

Binnenshuis bevindt zich een gaspomp; deze zuigt de ammoniakdamp aan en perst deze samen.

In een buizenstelsel binnen de woning condenseert de ammoniakdamp. De hierbij vrijkomende warmte wordt aan de woning afgestaan.

(4p) Het stromende water komt uit een beekje en wordt via een goot langs het buizenstelsel gevoerd. Er stroomt per seconde 10 dm³ water met een begintemperatuur van 4,2 °C langs de buizen met de verdampende ammoniak. De verdampende ammoniak onttrekt per seconde 23 kJ warmte aan het stromende water. Bereken de temperatuur van het water nadat het langs het buizenstelsel is gestroomd.

(1p) Leg uit waarom het van belang is dat het water blijft stromen.

(1p) Leg uit waarom ammoniak geschikt is voor gebruik in een warmtepomp.

(5p) Bij het condenseren van de damp binnenshuis komt de 23 kJ warmte per seconde weer vrij. Op de gaspomp staan de elektrische gegevens: 380 V; 18 A. Het rendement van de warmtepomp wordt gedefinieerd als de verhouding van de totale hoeveelheid warmte die door de gaspomp en de ammoniakdamp aan de woning wordt afgestaan en de hoeveelheid energie waarvoor moet worden betaald. Houd er hierbij rekening mee dat de warmte die ontstaat in de pomp ook ten goede komt aan het verwarmen van het huis. Laat de hoeveelheid warmte die vrijkomt bij het afkoelen van de vloeibare ammoniak buiten beschouwing. Bereken het rendement van de warmtepomp.

(bron: examen VWO 1993-2)

Een kamer is 8,0 meter lang, 5,0 meter breed en 2,5 meter hoog. De temperatuur in de kamer is 6,0 graden Celsius en je wilt de temperatuur verhogen naar 20 graden Celsius. Je gebruikt hiervoor een verwarming die werkt op Gronings aardgas.

(6p) Bereken hoeveel kubieke meter aardgas hiervoor minimaal moet worden verbrand.

(1p) Waarom gebruiken we in de vorige vraag het woord 'minimaal'.

(6p) In werkelijkheid is 0,15 m³ aardgas nodig. Bereken het rendement van het verwarmingsproces.

Een energiebedrijf in Amsterdam heeft onlangs een 'warmtekracht'-installatie in bedrijf genomen. Deze installatie bestaat uit vier gasgeneratoren. De elektrische energie wordt aan het elektriciteitsnet toegevoerd en de warmte zorgt voor de warmtevoorziening van het gebouw. In een folder over deze installatie staat een schema van de energiestroom op jaarbasis:

(5p) Bereken het totale rendement van de installatie.

(1p) De warmtekrachtinstallatie heeft een veel hoger rendement dan een energiecentrale zonder warmtekrachtkoppeling (een conventionele centrale). Leg uit wat de reden daarvoor is.
(bron: examen HAVO 2001-1)

§3 Geleidbaarheid

In deze paragraaf bestuderen we het stromen van warmte door een oppervlak, bijvoorbeeld door een raam. We noemen dit de warmtestroom.

Als we een kamer verwarmen, dan verliezen we continu warmte via o.a. de ramen. De warmte die we per seconde verliezen door een oppervlak van bijvoorbeeld een raam noemen we de warmtestroom (P). Net als bij het vermogen gebruiken we hiervoor de eenheid watt (W). We kunnen de warmtestroom als volgt berekenen:

$$ P = \lambda A \frac{\Delta T}{d}$$

Warmtestroom (P)

watt en joule per seconde (W)

Warmtegeleidingscoëfficiënt (λ)

watt per meter per kelvin (W/m/K)

Oppervlak (A)

vierkante meter (m²)

Temperatuurverschil (ΔT)

kelvin (K)

Dikte (d)

meter (m)

De warmtegeleidingscoëfficiënt (λ) is een stofeigenschap die voor een aantal stoffen in BINAS te vinden is. Hoe groter de warmtegeleidingscoëfficiënt, hoe beter een stof geleid. ΔT is nu niet de temperatuurstijging, maar het verschil in temperatuur aan weerzijden van het oppervlak. In het geval van een kamer is dit dus het verschil tussen de binnen- en de buitentemperatuur.

Als we een kamer op constante temperatuur willen houden, dan moet de warmtestroom die de kamer verlaat gelijk zijn aan de warmte die via een verwarming wordt toegevoerd. Met de formule E_ch = r_VV kan dan worden berekend hoeveel aardgas moet worden verbrand om de temperatuur constant te houden.

Het verschil in geleidbaarheid van stoffen merk je bijvoorbeeld als je op een erg koude dag (zeg, -5 ^oC) een stuk metaal en een stuk hout aanraakt. Hoewel beide voorwerpen dezelfde temperatuur hebben (-5 ^oC), voelt het metaal toch een stuk kouder uit. Dit komt omdat metaal een stuk beter warmte geleid en dus veel gemakkelijker warmte uit te hand trekt. Als gevolg koelt je hand sneller af (en wordt het metaal sneller warm).

Het is belangrijk goed te begrijpen wanneer je de formule met de soortelijke warmte moet gebruiken en wanneer de formule met de warmtegeleidingscoëfficiënt. Als een stof afkoelt of verwarmt, dan gebruiken we de soortelijke warmte. Denk bijvoorbeeld aan het koken van water in een waterkoker, het afkoelen van een brood in de vriezer of het verwarmen van het zand op zomerse dag. Als warmte door een oppervlak stroomt, dan gebruiken we de warmtegeleidingscoëfficiënt. Denk bijvoorbeeld aan de warmte die door de ramen van een huis naar buiten trekt, de warmte die door het glas van een verwarmde vissenkom ontsnapt of de warmte die door je huid je lichaam ontsnapt.

Rekenen met de formule voor de warmtestroom (P = λAΔT/d).

(2p) Beschrijf het verschil tussen ΔT in de formule voor de soortelijke warmte en in de formule voor de warmtegeleidingscoëfficiënt.

(3p) De lichaamstemperatuur van mensen is gemiddeld 37 graden Celsius. In een bepaalde omgeving verliest de huid 90 joule per seconde aan warmte. De huid van de gemiddelde mens heeft een oppervlakte van 1,80 m² en een dikte van 5,0 mm. De warmtegeleidingscoëfficiënt van de huid is gelijk aan 2,5 × 10^-2 W/m/K. Bereken de omgevingstemperatuur waarin deze persoon zich bevindt.

Een kamer heeft twee grote ramen van 3,0 bij 2,0 m. De ramen hebben een dikte van 2,0 cm. In de kamer is het 21 graden Celsius en buiten is het 15 graden Celsius.

(6p) Bereken hoeveel energie er per uur door het raam verloren gaat.

(5p) De kamer werd verwarmd met behulp van een verwarming die werkt op Gronings aardgas. Bereken hoeveel kubieke meter aardgas er minimaal verbrand moet worden om dit temperatuurverschil 24 uur in stand te houden.

In een huis bestaan de buitenmuren meestal uit twee stenen muren met een ruimte ertussen: de spouw. De spouw kan lucht bevatten of kan gevuld zijn met een isolatiemateriaal.

(3p) Is het warmtetransport door de met lucht gevulde spouw voornamelijk straling, stroming of geleiding. Neem aan dat de lucht in de spouw stilstaat.

(4p) Een spouwmuur kan geïsoleerd worden door de spouw te vullen met polystyreen of met aerogel (λ = 0,020 W/m/K). In de onderstaande afbeelding zien we het temperatuurverloop in beide gevallen. De buitenmuren en binnenmuren zijn in beide situaties identiek. Geef bij de volgende stellingen aan of ze waar of niet waar zijn. Licht je antwoord telkens toe.

De warmtegeleidingscoëfficiënt van polystyreen is groter dan van aerogel.

Het temperatuurverschil over de spouw met polystyreen is groter dan bij aerogel.

De warmtestroom tussen binnen en buiten is voor beide muren gelijk.

Polystyreen isoleert beter dan aerogel.

(bron: examen HAVO 2016-2)

Rekenen met P = λAΔT/d en Q = mcΔT

Boven in een vuurtoren bevindt zich een cilindervormige kamer waarbij de wanden geheel van glas zijn gemaakt. Het glas heeft een dikte van 1,50 cm. De diameter van de kamer is 2,50 m en de wanden zijn 1,50 meter hoog. De warmte die verloren gaat door de vloer en het plafond van de kamer is te verwaarlozen.

(5p) Hoeveel energie moet de verwarming elk uur produceren om de temperatuur in de kamer op 21,0 graden Celsius te houden als het buiten dat uur gemiddeld 7,0 graden Celsius is geweest.

(6p) Voordat de verwarming aan werd gezet was het binnen ook 7,0 graden Celsius. Hoeveel kubieke meter aardgas moet men verbranden om de temperatuur naar de 21 graden Celsius te brengen. Je mag de energie die gedurende deze tijd via de ramen de kamer verlaat verwaarlozen.

De meeste warmte op het aardoppervlak is afkomstig van de zon, maar er is ook een beetje warmte afkomstig uit het centrum van de aarde. Deze warmte wordt geothermische energie genoemd. De warmtetransport door het aardoppervlak bedraagt 42 miljoen megawatt. De temperatuur van de buitenste mantel, op een diepte van 50 km, is 700 graden Celsius en de gemiddelde temperatuur op het aardoppervlak is 15 graden Celsius.

(1p) Welk type warmtetransport speelt hier de belangrijkste rol? Leg je keuze uit.

(5p) Bereken de gemiddelde geleidingscoëfficiënt van de aardkorst.

§4 Debiet (HAVO - niet in examen 2023)

In deze paragraaf gaan we het stromen van vloeistoffen bestuderen. We doen dit aan de hand van het begrip debiet.

Stel we vullen een zwembad met een tuinslang. Het volume water dat per tijdseenheid uit de slang komt noemen het debiet. Debiet wordt bijvoorbeeld gemeten in m³/s of L/s. De formule voor debiet is:

$$ Q = \frac{\Delta V}{\Delta t}$$

Debiet (Q)

Kubieke meter per seconde (m³/s)

Toename van het volume (ΔV)

kubieke meter (m³)

Tijdsduur (Δt)

seconde (s)

We kunnen we formule voor debiet ook herschrijven. Denk aan een hoeveelheid water in een tuinslang. Het volume van het water in de slang kunnen we ook schrijven als de doornede (A) keer de lengte (l) van de slang:

$$ V = A \times l $$

Als we dit in de formule voor debiet stoppen, en de hoogte schrijven als Δx, dan vinden we:

$$ Q = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{A \times \Delta x}{\Delta t} $$

Omdat v = Δx/Δt, kunnen we dit herschrijven tot:

$$ Q = v \times A $$

Debiet (Q)

Kubieke meter per seconde (m³/s)

Snelheid (v)

meter per seconde (m/s)

Doorsnede (A)

vierkante meter (m²)

We zien aan deze formule dat als we het debiet gelijk houden, maar de doorsnede verkleinen, dat dan de snelheid van de vloeistof toeneemt. We zien dit effect bijvoorbeeld als we onze duim deels over de opening van een tuinslang houden. Het water schiet er dan met een veel grotere snelheid uit (zie de onderstaande afbeelding).

Voorbeeld

Opdracht:

Door een tuinslang stroomt een constante hoeveelheid water. Op één plek is om de slang een elastiek gebonden waardoor de diameter van de slang 2 keer zo klein wordt. Bereken welke factor de snelheid van water bij dit elastiek groter of kleiner is dan in de rest van de slang.

Antwoord:

Als de diameter 2 keer zo klein is, dan is ook de straal 2 keer zo klein. Volgens de formule A = πr² is de doorsnede dan 2 × 2 = 4 keer zo klein. Volgens de formule v = Q / A is bij een gelijk debiet en bij een 4 keer zo kleine doorsnede de snelheid 4 keer zo groot.

Ook belangrijk om te noemen is dat het debiet in een slang overal constant is, zelfs als de diameter van de slang varieert (zie de onderstaande afbeelding). Dit komt omdat al het water dat per seconde aangevoerd wordt ook weer per seconde afgevoerd moet worden (deze redenering is analoog aan dat de stroomsterkte in een serieschakeling gelijk is).

Rekenen met debiet met de formules Q=ΔV/Δt en Q=vA

(4p) Een aquarium met een lengte van 50 cm en een breedte van 25 cm wordt binnen 3,0 minuten gevuld tot een hoogte van 35 cm. Bereken het debiet van de watertoevoer in milliliter per seconde.

(3p) Een boomblaadje drijft mee op een klein stroompje water. Op een gegeven moment wordt de breedte van het stroompje 3,0 keer zo dun. Leg uit wat er gebeurt met de snelheid van het blaadje. Je mag ervan uitgaan dat de diepte van het water onveranderd blijft.

(3p) Water stroomt door een buis met een diameter van 3,0 cm. De buis wordt op een bepaalde plek verdund tot 1,5 cm. Bereken welke factor de snelheid hier groter is.

(3p) Een persoon is de planten in zijn tuin water aan het geven. De slang is echter net te kort om met het water een aantal planten te bereiken. Bedenk een oplossing voor dit probleem gebruikmakend van een formule uit deze paragraaf.

(3p) In het Meer van Genève bevindt zich een van de grootste fonteinen ter wereld. Elke seconde wordt er 450 liter water de lucht in gestuwd met een snelheid van 200 km/h (het water bereikt hiermee een hoogte van 140 meter). Bereken de grootte van de opening waaruit het water de lucht in spuit. Geef het antwoord in vierkante centimeter.

(4p) Een oliepijpleiding heeft een diameter van 50 cm en een lengte van 100 km. Het debiet dat door de pijpleiding stroomt is 0,20 m³/s. Bereken binnen hoeveel uur de olie de afstand heeft overbrugt.

(5p) Met een tuinslang wordt een klein kinderzwembadje gevuld met 550 liter water. Het water stroomt met 4,0 m/s de slang uit en het badje is binnen 8,0 minuten gevuld. Bereken de diameter van de slang in centimeter.

(5p) Een ingenieur wil de uitstroom van een meer reguleren zodat de waterstand bij regenval constant blijft. Het meer heeft een diameter van 200 meter. Bij een regenbui valt er 0,020 × mm/s. Het water stroomt weg door een opening met een doorsnede van 0,50 m². Bereken met welke snelheid het water wegstroomt bij deze bui.

Het hart pompt bloed rond met een snelheid van 5 liter per minuut.

(1p) Laat met een berekening zien dat het hart 8,3 × 10^-5 m³/s aan bloed rondpompt.

(3p) Door het gemiddelde bloedvat stroomt bloed met een snelheid van 1 mm/s. Bereken de totale doorsnede van alle bloedvaten in het lichaam.

(5p) Het gemiddelde bloedvat heeft een diameter van 6 μm en een lengte van 1 mm. Laat met een berekening zien dat het totale oppervlakte van de bloedvaten in het menselijk lichaam gelijk is aan 60 m².

(1p) Leg uit waarom het van belang is dat dit oppervlak zo groot is.

§5 Spanning en rek (HAVO - alleen nog in examen 2023)

In deze paragraaf gaan we het uitrekken van voorwerpen bestuderen. We gebruiken hiervoor o.a. de begrippen spanning, rek en de elasticiteitsmodulus.

Als we een kracht op een voorwerp uitoefenen, dan gaat dit voorwerp vervormen. Denk bijvoorbeeld aan het uitrekken van een elastiek. Om dit proces te begrijpen hebben we het begrip spanning nodig. We berekenen de spanning in een kabel als volgt:

$$ \sigma = \frac{F}{A} $$

Spanning (σ)

pascal (Pa) of newton per vierkante meter (N/m²)

Kracht (F)

newton (N)

Doorsnede (A)

vierkante meter (m²)

De doorsnede (A) is een oppervlak gemeten in vierkante meter. Dit is het oppervlak dat je ziet als je de kabel zou doorsnijden. Met de onderstaande formules kunnen we met de doorsnede de diameter (d) en de straal (r) uitrekenen:

$$ A=\pi r^2 $$ $$ d = 2r $$

Een maat voor hoeveel een voorwerp uitrekt is de rek (ook wel relatieve rek genoemd):

$$ \epsilon = \frac{\Delta l}{l_0} $$

Rek (ε)

-

Uitrekking (Δl)

meter (m)

Originele lengte (l₀)

meter (m)

De rek geeft ons de fractie die het materiaal langer is geworden door er een kracht op uit te oefenen. Als we de rek vermenigvuldigen met 100, dan vinden we hoeveel procent het materiaal langer is geworden. Een rek van 0,25 betekent dus dat de kabel 25 procent langer is geworden.

Bij een kleine kracht zal een voorwerp na het uitoefenen van een kracht weer terugschieten naar zijn originele lengte. We spreken hier van elastische vervorming. Dit gebeurt bijvoorbeeld als we een elastiekje een klein stukje uitrekken en weer loslaten. Zolang materiaal elastisch vervormd, geldt:

$$ E = \frac{\sigma}{\epsilon} $$

Elasticiteitsmodulus (E)

newton per vierkante meter (N/m²)

Rek (ε)

-

Spanning (σ)

pascal (Pa) of newton per vierkante meter (N/m²)

Na het uitoefenen van een te grote kracht zal een voorwerp niet meer terugschieten naar zijn oorspronkelijke vorm. In dit geval spreken we van plastische vervorming.

In een (spanning,rek)-diagram is de overgang van elastische naar plastische vervorming goed te zien. Zolang de grafiek een recht evenredig verband laat zien (een recht lijn door de oorsprong), spreken we van elastische vervorming. Hoe groter de elasticiteitsmodulus, hoe steiler deze grafiek loopt. Als de grafiek niet meer recht evenredig loopt, spreken we van plastische vervorming. De maximale spanning die het voorwerp aan kan, noemen we de treksterkte. De treksterkte is voor verschillende stoffen te vinden in BINAS.

In de onderstaande twee diagrammen zien we twee grafieken van twee soorten kabels die worden uitgerekt. Het materiaal dat hoort bij de linker grafiek kan flink uitgerekt worden voordat plastische vervorming optreedt. We noemen dit voorwerp daarom ook wel elastisch. Een voorbeeld hiervan is een bungeekoord. Het andere materiaal kan maar een klein beetje worden uitgerekt voordat plastische vervorming optreedt. Dit materiaal is dus niet elastisch. Een voorbeeld hiervan is een stukje kauwgom. Als we een stukje kauwgom vervormen, blijft het direct in zijn nieuwe vorm staan.

Rekenen met de formules voor de spanning, de rek en de elasticiteitsmodulus

De eenheid van de spanning is de pascal. Laat met behulp een eenheidsbepaling zien dat dit ook te schrijven is als N/m².

Vind met behulp van de formule ε = Δl/l₀ de eenheid van de rek.

Vind met behulp van de formule E = σ/ε de eenheid van de elasticiteitsmodulus.

Beschrijf wat een relatieve rek van 0,20 betekent.

Een blok wordt aan een kabel opgehangen. Daarna wordt dit blok vervangen door een blok met twee keer de massa. De diameter van de kabel wordt hierdoor verwaarloosbaar kleiner. Vergelijk de spanning, de rek en de elasticiteitsmodulus in de kabel in beide situaties.

Aan twee kabels hangt elk een blok met massa m. Beide kabels zijn van hetzelfde materiaal gemaakt, hebben dezelfde lengte, maar hebben een andere diameter. Vergelijk de spanning, de rek en de elasticiteitsmodulus in de kabels.

Een lift met een massa van 300 kg mag maximaal 800 kg aan massa vervoeren. De lift hangt aan een stalen kabel. Zonder belasting is de kabel 20 meter lang. Met maximale belasting wordt de kabel 0,50 cm langer.

Bereken de spanning in de liftkabel.

Bereken de diameter van de liftkabel bij maximale belasting.

Als een spaak in het fietswiel wordt gemonteerd, wordt de spaak ook gespannen. Dit wordt voorspannen genoemd. Een bepaalde roestvrijstalen spaak krijgt een spanning van 190 MPa. De doorsnede van de spaak is 2,63 mm².

Bereken de spankracht in de voorgespannen spaak.

Bereken hoeveel procent de voorgespannen spaak is uitgerekt.

In de film Spiderman 2 stopt de held Spiderman een op hol geslagen trein met behulp van draden gesponnen uit spinrag.
Engelse natuurkundestudenten van de Universiteit van Leicester hebben berekend of het spinrag van een gewone spin hiervoor sterk genoeg is. Als de draden maximaal zijn uitgerekt, is de spankracht in de linkerdraad 1,8 × 10⁵ N. De rek van het spinrag van Spiderman is dan 40. Uit de film blijkt dat elk van de twee draden van het spinrag van Spiderman bestaat uit acht losse draden. De diameter van elk van deze acht draden is 5,0 mm. De diameter is tijdens het remmen constant. Het sterkste spinrag dat in de natuur wordt gevonden, heeft een elasticiteitsmodulus van 12 GPa bij een rek van 40. Leg met behulp van een berekening van de spanning uit of het spinrag dat in de natuur wordt gevonden minder sterk is dan, even sterk is als, of sterker is dan het spinrag van Spiderman.
(bron: examen HAVO 2015-2)

Interpreteren van een (spanning,rek)-diagram

De draagkabel van een kabelbaan is gemaakt van staal en heeft een doorsnede van 3,85 mm². In de onderstaande afbeelding is het (spanning,rek)-diagram weergegeven van de gebruikte staalsoort.

Bepaal de maximale spankracht die deze draagkabel kan uitoefenen zonder blijvend te vervormen.

Geef in het onderstaande diagram aan waar elastische vervorming en waar plastische vervorming plaatsvindt.

Geef aan in welk gebied de formule voor de elasticiteitsmodulus geldt.

Geef ook in de grafiek de treksterkte van het materiaal aan.
(bron: examen HAVO 2015-1)

In het onderstaande diagram wordt de relatie tussen de spanning en de rek van twee verschillende stoffen vergeleken.

Welke stof breekt het snelst? Leg je antwoord uit.

Welke stof is het meest elastisch? Leg je antwoord uit.
(bron: examen HAVO 2015-1)

Een stretchsensor is een sensor die wordt gebruikt om een lichaamsbeweging om te zetten in een computerbeeld (zie de onderstaande afbeelding). Een stretchsensor bevat een strookje rekbaar materiaal, waarvan de elektrische weerstand verandert als het wordt uitgerekt.
Hieronder is een (spanning,rek)-diagram van het rekbare materiaal weergegeven:

Geef voor elk deel van de grafiek aan of er geen vervorming, elastische vervorming of plastische vervorming plaatsvindt.

Bepaal met behulp van het diagram de elasticiteitsmodulus van het materiaal.

De sensor mag de lichaamsbeweging niet hinderen. De kracht die nodig is voor het uitrekken van het materiaal moet dus klein zijn. Bij het uitrekken krijgt het materiaal op een gegeven moment een rek van 0,20. De doorsnede van het rekbare materiaal is 1,8 mm². Bepaal de kracht waarmee dan aan het materiaal getrokken wordt.
(bron: examen HAVO 2017-2)

Ontwerpers testen de krachten die werken op een wiel van een snelle trein. Bij hoge snelheid kan een wiel breken doordat de middelpuntzoekende kracht in het wiel te groot wordt. In het model wordt het wiel voorgesteld als een ring met 4 spaken met een lengte van 22,5 cm (zie de onderstaande afbeelding). Iedere spaak is van aluminium en heeft een doorsnede met een oppervlakte van 15 cm². De massa van de ring aan het eind van de spaken bedraagt 2,5 kg per spaak.

Toon aan dat de middelpuntzoekende kracht werkende op de spaken 1,2 × 10⁶ N is als de ring met een snelheid van 1,2 × 10³ km/h ronddraait.

Toon aan of de spaak sterk genoeg is voor deze kracht.
(bron: examen HAVO 2019-2)

§6 Druk (VWO)

In deze paragraaf gaan we zien dat ook de druk te begrijpen is met behulp van het deeltjesmodel. Als toepassing bestuderen we ook de luchtdruk.

Laten we beginnen met het introduceren van het begrip druk. Als een persoon op de grond staat, dan oefenen zijn zolen een gewichtkracht uit op de grond. Deze kracht wordt verdeeld over het oppervlak van zijn twee schoenzolen. De kracht per bepaald oppervlak, bijvoorbeeld per cm² of m², wordt de druk genoemd. We rekenen dit als volgt uit:

$$ p = \frac{F}{A} $$

Druk (p)	Pascal (Pa)
Kracht (F)	newton (N)
Doorsnede (A)	vierkante meter (m²)

De SI-eenheid van de druk is de pascal (Pa) en dit is gelijk aan newton per vierkante meter (N/m²).

Laten we een paar toepassingen bespreken. Als je op ijs loopt en het ijs begint te scheuren, dan is het verstandig om te gaan liggen en op je buik naar de kant te kruipen. Op deze manier verdeel je jouw gewichtkracht namelijk over een groter oppervlak en oefen je dus een kleinere druk uit op het ijs. Nog een voorbeeld. Waarom snijdt een scherp mes zoveel beter dan een bot mes? Dit komt doordat bij een scherp mes het snijoppervlak kleiner is en hierdoor wordt de druk juist groter. Als gevolg kan je met dezelfde hoeveelheid kracht veel beter snijden.

Ook gassen oefenen druk uit. Het bekendste voorbeeld hiervan is de luchtdruk. De luchtdruk ontstaat door het botsen van de deeltjes waaruit de lucht bestaat. De luchtdruk is groter dan mensen vaak denken. Lucht heeft een kleine dichtheid (slechts 1,23 kg/m³), maar de volledige massa van de atmosfeer boven ons hoofd is behoorlijk groot. De massa van alle lucht boven een vierkante meter aardoppervlak heeft bijvoorbeeld een massa van ongeveer 10.000 kg! Als gevolg ervaren we per vierkante meter een luchtdruk van:

$$ p = \frac{F}{A} = \frac{1,0 \times 10^4 \times 9,81}{1,0} \approx 1,0 \times 10^5 \text{ Pa} $$

De luchtdruk op zeeniveau is dus gelijk aan 1,0 × 10⁵ Pa (of iets nauwkeuriger 1,013 × 10⁵ Pa). Naast de pascal wordt ook wel de eenheid bar gebruikt. 1 bar komt overeen met 100 kPa. De luchtdruk is dus ongeveer gelijk aan 1 bar.

In het dagelijks leven merken we relatief weinig van deze hoge luchtdruk. Dit komt doordat de luchtdruk zichzelf meestal in evenwicht houdt. De luchtdruk die bijvoorbeeld op de bovenkant van je arm werkt, is even groot als de luchtdruk die op de onderkant van je arm werkt. De grootte van de luchtdruk wordt wel merkbaar in het volgende experiment. In de onderstaande afbeelding zien we twee halve bollen die losjes tegen elkaar aangelegd zijn (de zogenaamde maagdenburger halve bollen). De lucht van buiten drukt de halve bollen tegen elkaar aan, maar de lucht aan de binnenkant biedt een even grote tegendruk. Als gevolg merk je ook hier niet van de luchtdruk en kunnen we de halve bollen moeiteloos weer van elkaar afhalen.

Maar als we de lucht aan de binnenkant wegpompen, dan valt de tegendruk weg. De lucht drukt nu alleen nog vanaf buiten tegen de halve bollen (zie de onderstaande afbeelding). In dit geval krijgt zelfs de sterkste man op aarde de halve bollen niet uit elkaargetrokken!

Sterker nog, in de 17^de eeuw is geprobeert met zestien paarden de bollen uit elkaar te trekken, maar ook dit lukte niet!

Hoe hoger je in de atmosfeer komt, hoe minder lucht er boven je bevindt en hoe lager de luchtdruk dus wordt. In het onderstaande diagram kan je zien hoe de luchtdruk verandert met de hoogte. Deze grafiek wordt op een slimme manier gebruikt in een vliegtuig. Door de luchtdruk buiten het vliegtuig te meten, kan je met deze grafiek de hoogte van het vliegtuig bepalen.

Als je een erg hoog de bergen in gaat, dan neemt de luchtdichtheid op een gegeven moment zo ver af dat het lastiger wordt om te ademen. Op grote hoogte is het daarom nodig om zuurstofflessen mee te nemen. Ook de druk is hier een stuk lager. Dit merk je bijvoorbeeld als je op grote hoogte water wilt koken. Op zeeniveau duwt de lucht hard tegen het wateroppervlak. De bellen die bij het koken ontstaan, kunnen hierdoor lastig vormen. Zoals je weet kunnen deze bellen op zeeniveau pas vormen bij een temperatuur van 100 °C (het kookpunt). Op de top van de Mount Everest gebeurt dit door de lage luchtdruk al bij 71 °C. Als gevolg doet het koken van een ei op de top van een hoge berg veel langer.

Nog extremer wordt het als we water in een vacuümruimte plaatsen. Een vacuüm is een lege ruimte zonder atomen. In deze ruimte zit dus zelfs geen lucht. Er is hier dus ook geen luchtdruk aanwezig. In dat geval kookt het water zelfs al bij kamertemperatuur! Dit is te zien in het onderstaande filmpje. In het filmpje zie je nog iets bijzonders. Doordat de snelste waterdeeltjes als eerst uit het water ontsnappen, neemt de temperatuur van het water af. Dit kan je goed zien op de thermometer.

Voorbeeld

Opdracht:

We bevestigen een zuignap met een diameter van 10 cm tegen een plafond (zie de onderstaande afbeelding). Bereken wat de maximale massa is die we aan de zuignap kunnen hangen zonder dat deze losschiet.

Antwoord:

Voor de kracht die de lucht uitoefent op de zuignap geldt:
$$ F_{lucht} = p_{lucht}A = p_{lucht} \times \pi \times r^2 $$ $$ F_{lucht} = 1,0 \times 10^5 \times \pi \times 0,050^2 = 8,0 \times 10^2 \text{ N} $$
Op de zuignap werkt een zwaartekracht naar beneden en een luchtdruk omhoog. Als de kracht die de lucht uitoefent groter is dan de zwaartekracht, dan zit de zuignap stevig vast tegen het plafond. Als de kracht die de luchtdruk uitoefent even groot is aan de zwaartekracht, dan zit de zuignap nog net vast aan het plafond. Er geldt dan:
$$ F_{lucht} = F_z $$
Ook de zwaartekracht is dan dus gelijk aan 8,0 × 10² N. De massa van het blok is dan:
$$ m = \frac{F_z}{g} = \frac{8,0 \times 10^2}{9,81} = 81 \text{ kg} $$

Voorbeeld

Opdracht:

Hieronder is een cilinder getekend met daarin een zogenaamde zuiger. De zuiger is een schijf die vrij naar boven en naar beneden kan bewegen in de cilinder. De zuiger heeft een massa van 2,0 kg en een onderoppervlak van 10 cm². Bereken de luchtdruk in de cilinder.

Antwoord:

De zwaartekracht oefent de volgende druk uit op de lucht in de cilinder:
$$ p_z = \frac{F_z}{A} = \frac{2,0 \times 9,81}{0,001} = 2,0 \times 10^4 \text{ Pa} $$
Hier tellen we de luchtdruk bij op die van boven op de zuiger drukt:
$$ p_{lucht\; binnen} = p_z + p_{lucht\; buiten} $$ $$ p_{lucht\; binnen} = 2,0 \times 10^4 + 1,0 \times 10^5 = 1,2 \times 10^5 \text{ Pa} $$
De luchtdruk in de cilinder is dus 1,2 × 10⁵ Pa, iets hoger dan de luchtdruk buiten de cilinder.

Cilinders en zuigers worden o.a. gebruikt bij verbrandingsmotoren. In de eerst onderstaande afbeelding zien we dat er benzine in een cilinder wordt gespoten. Als de zuiger zich op zijn hoogste positie bevindt, wordt de benzine ontstoken, waardoor de temperatuur van het gas enorm toeneemt. Als gevolg ontstaat ook een grote druk daarmee de zuiger naar beneden wordt geduwd (zie de derde afbeelding). Deze beweging zorgt ervoor dat aan de onderzijde een roterende bewegen ontstaat, waarmee de wielen van bijvoorbeeld een auto kunnen worden aangedreven. In de laatste afbeelding zien we dat het warme gas dat bij de verbranding is ontstaan aan de rechterzijde wordt afgevoegd, waarna het process weer opnieuw kan beginnen.

De laatste stap is van groot belang, want als het hete gas in de cilinder blijft, dan kan het ontsteken van meer benzine amper nog voor een toename van de temperatuur zorgen en als gevolg wordt de zuiger niet meer naar beneden gedrukt.

De werking van een koelkast lijkt hierop. In dit geval wordt een stof buiten de koelkast door een externe kracht onder druk gezet (hiervoor gebruiken we een elektrische pomp). Als gevolg neemt de temperatuur van de stof toe tot boven de kamertemperatuur, waarna warmte van de stof wegstroomt richting de kamer. Daarna wordt de stof de koelkast in gestroomd, waarna de druk van de stof wordt gehaald. Als gevolg zet de stof uit, waardoor de temperatuur afneemt tot onder de binnentemperatuur van de koelkast. Als gevolg stroom er nu warmte van de binnenkant van de koelkast richting de stof en neemt de temperatuur in de koelkast af.

Redeneren met luchtdruk en vacuüm.

Leg uit hoe de luchtdruk ontstaat aan de hand van het deeltjesmodel.

Wat is de luchtdruk op zeeniveau en op welke hoogte is de luchtdruk nog maar de helft van deze waarde?

In het hoofdstuk lezen we dat de luchtdruk erg groot is. Toch merken we hier in het dagelijks leven weinig van. Waarom zorgt deze hoge druk er bijvoorbeeld niet voor dat onze borstkast in elkaar wordt gedrukt?

Een half opgeblazen ballon bevindt zich in een afgesloten ruimte die vacuüm wordt gepompt. Leg met behulp van het begrip druk en tegendruk uit wat er met de ballon gebeurt.

Als je met de auto van een berg rijdt, kan je last krijgen van je oren. Dit komt door het verschil in luchtdruk binnen en buiten je oor. Leg uit aan welke kant de luchtdruk het hoogst is.

Leg uit waarom water al kookt bij kamertemperatuur in een vacuüm.

Heliumballonen worden gebruikt om metingen te doen hoog in de atmosfeer. Als je een heliumballon loslaat dan stijgt deze op. Tijdens het opstijgen zet de ballon flink uit.

Hoe komt het dat de ballon opstijgt?

Waarom zet de ballon uit bij het opstijgen?

Hieronder zien we hetzelfde flesje bij hoogte 4 km, 3 km en 300 m. Het flesje is tussen het nemen van de drie foto's niet open geweest. Verklaar wat er met het flesje is gebeurd.

Een ruimtepak zit vol met lucht om het lichaam onder druk te houden. Leg uit waarom dit nodig is. Waarom kan je niet gewoon met een zuurstofmasker de ruimte in?

Redeneren en rekenen met druk

Maak met behulp van de formule p = F/A duidelijk waarom:

... je op het ijs moet gaan liggen als je denkt dat het ijs gaat breken.

... het niet handig is om met hoge hakken over het strand te lopen.

... je een brood het best kan snijden met een scherp mes.

... een punaise pijn doet als je deze zelfs met een kleine kracht tegen je huid duwt.

... men rond de poolcirkel vaak loopt in sneeuwschoenen met een extreem grote zool.

Een zware bloempot wordt op een tafel gezet. De pot heeft een massa van 40 kg en het contactoppervlak aan de onderzijde van de pot is 1,0 dm². Bereken de druk die de pot of de tafel uitoefent.

Een zware bloempot wordt op een tafel gezet. De pot heeft een massa van 40 kg en het contactoppervlak aan de onderzijde van de pot is 1,0 dm². Zoals in de onderstaande afbeelding te zien is, bestaat het contactoppervlak uit een ring van 3,0 cm dik. Bereken de druk die de pot of de tafel uitoefent.

Een spijkerbed bestaat uit honderden spijkers die met de punt omhoog uit een plank hout steken. De punt van elke spijker heeft een straal van 0,20 mm. Een persoon met een massa van 70 kg gaat op het spijkerbed liggen en komt hierbij op 1000 van de spijkers te liggen. Bereken de gemiddelde druk die een spijker uitoefent op de persoon.

De luchtdruk is gemiddeld 1,0 × 10⁵ Pa. Deze druk voelen wij elk moment tegen ons lichaam drukken. Bereken hoeveel kracht er op elke cm² van de lichaam werkt.

Een zuiger met een diameter van 8,0 cm en een massa van 0,500 kg wordt in een cilinder geplaatst. De luchtdruk die op de zuiger werkt is 1,0 × 10⁵ Pa. Hoe groot is de druk in de zuiger?

Bereken de massa van de lucht die zich boven een vierkante meter aardoppervlak bevindt.

Twee maagdenburger halve bollen met elk een binnenoppervlak van 65 cm² worden tegen elkaar aangedrukt en de lucht aan de binnenzijde wordt volledig weggepompt. Bereken de minimale kracht die nodig is om de bollen uit elkaar te trekken.

Een zuignap met een diameter van 10 cm wordt tegen het plafond geplakt. Bereken de maximale massa die je aan de zuignap kan hangen voordat deze losschiet.

Een ballon met een volume van 4,0 L en een oppervlak van 22 cm² wordt opgeblazen totdat de lucht in de ballon een druk van 1,7 atmosfeer uitoefent op de ballon. Bereken de kracht die wordt uitgeoefent door de elasticiteit van het materiaal waarvan de ballon gemaakt is.

§7 De ideale gaswet (VWO)

In deze paragraaf gaan we bestuderen hoe de eigenschappen van gassen veranderen als we de temperatuur, de druk, het volume en het aantal deeltjes veranderen. We noemen dit de algemene gaswet. Daarna gaan we aantonen dat deze wet volledig te verklaren is met behulp van het deeltjesmodel.

Aan de hand van een aantal experimenten gaan we de relatie tussen de druk, de temperatuur en het volume van een gas bestuderen. Voor het gemak bestuderen we een ideaal gas. Dit is een gas waarbij de interactie tussen de deeltjes verwaarloosd wordt (voor veel gassen in het dagelijks leven blijkt dit een goede benadering).

We beginnen met het volgende experiment. Een gas in een ruimte met een constant volume wordt verwarmd (zie de onderstaande afbeelding). We spreken in dit geval van een isochoor proces (isochoor wil zeggen dat het volume gelijk blijft). Door het verwarmen van het gas gaan de deeltjes sneller bewegen en doordat de deeltjes met een grotere snelheid tegen de wanden botsen is dan ook de druk hoger.

Uit experimenten blijkt dat als we de temperatuur van een gas (in kelvin) verdubbelen, dat de druk dan ook verdubbelt. Er geldt dus de volgende relatie:

$$ \frac{p}{T} = \text{constant} \;\;\;\text{(isochoor)}$$

Of ook wel:

$$ \frac{p_b}{T_b} = \frac{p_e}{T_e} \;\;\;\text{(isochoor)} $$

In het volgende experiment houden we de druk constant. We noemen dit een isobaar proces. We doen dit door een gas te verwarmen in een cilinder met een vrij beweegbare zuiger. Door het verwarmen gaan de deeltjes sneller bewegen en als gevolg neemt in eerste instantie de druk toe. Deze hogere druk zorgt ervoor dat de zuiger omhoog gedrukt wordt, waardoor de druk weer afneemt tot het zijn originele waarde bereikt.

Uit experimenten blijkt dat als we de temperatuur van het gas (in kelvin) verdubbelen, dat dan ook het volume verdubbelt. Er geldt dus de volgende relatie:

$$ \frac{V}{T} = \text{constant} \;\;\;\text{(isobaar)}$$

Of ook wel:

$$ \frac{V_b}{T_b} = \frac{V_e}{T_e} \;\;\;\text{(isobaar)} $$

Als laatste hebben we ook nog een isotherm proces. Dit is een proces waarbij de temperatuur constant blijft. In het onderstaande experiment wordt een zuiger ingedrukt met een externe kracht. Als gevolg neemt de druk toe (want je hebt meer botsingen in de kleinere ruimte) en in eerste instantie ook de temperatuur (door de zuiger in te drukken geef je de deeltjes extra kinetische energie). Als we dan een tijdje wachten, dan wordt de temperatuur binnen de cilinder weer gelijk aan de omgevingstemperatuur.

Uit experimenten blijkt dat als we het volume van het gas halveren, dat de druk dan verdubbelt. Er geldt dus de volgende relatie:

$$ pV = \text{constant} \;\;\;\text{(isotherm)}$$

Of ook wel:

$$ p_bV_b = p_eV_e \;\;\;\text{(isotherm)} $$

Al deze formules kunnen we combineren tot één formule genaamd de ideale gaswet:

$$ pV=Nk_BT $$

Druk (p)

pascal (Pa)

Volume (V)

kubieke meter (m³)

Aantal deeltjes (N)

-

Constante van Boltzman (k_b)

1,380649 × 10^-23 m²kgs^-2K^-1

Temperatuur (T)

kelvin (K)

Met deze formnule kunnen we de voorgaande formules genereren. Bij een isobaar proces is blijvoorbeeld de druk (en het aantal deeltjes) constant. We kunnen de ideale gaswet dan omschrijven, zodat alle constanten aan de rechter kant komen te staan:

$$ \frac{V}{T} = \frac{Nk_B}{P} $$

Er geldt nu dus:

$$ \frac{V}{T} = \text{constant} $$

En dit is precies de vergelijking die we eerder ook hadden gevonden.

EXTRA: Afleiding ideale gaswet

In het laatste stuk van deze paragraaf gaan we de algemene gaswet afleiden aan de hand van het deeltjesmodel. We doen dit met behulp van de tweede wet van Newton. Er geldt:
$$ F_{res} = ma = m\frac{\Delta v}{\Delta t} $$
Stel dat een gasdeeltje horizontaal heen en weer botst in een doos van lengte L. Stel dat een deeltje vanaf de rechter wand naar links beweegt (negatieve snelheid), botst tegen de linker wand en dan weer naar rechts beweegt (positieve snelheid) naar de startpositie. Daarna begint de hele beweging weer opnieuw. De gemiddelde kracht die èèn deeltje per botsing op de linkerwand uitoefent is in dat geval:
$$ F_{res} = m\frac{v_e - v_b}{\Delta t} = m\frac{v_x - (-v_x)}{\Delta t} = m\frac{2v_x}{\Delta t} $$
Het deeltje heeft per botsing een afstand 2L afgelegd (heen en terug). Met de formule Δt = Δx/v_x = 2L/v_x kunnen we de bovenstaande formule herschrijven tot:
$$ F_{res} = m\frac{v_x^2}{L} $$
Tot dusver hebben we naar het botsen van één deeltje gekeken, maar in werkelijkheid bestaat het gas natuurlijk uit N deeltjes. De totale resulterende kracht op de linker wand wordt dan:
$$ F_{res} = \frac{mv_{x,1}^2}{L} + \frac{mv_{x,2}^2}{L} + ... + \frac{mv_{x,N}^2}{L} = \frac{m}{L}(v_{x,1}^2+v_{x,2}^2+ ... +v_{x,N}^2)$$
Als we beide zijden delen door N, dan vinden we dan vinden we aan de rechterzijde het gemiddelde van het kwadraat van de snelheden van de deeltjes:
$$ \frac{F_{res}}{N} = \frac{m}{L}\frac{(v_{x,1}^2+v_{x,2}^2+ ... +v_{x,N}^2)}{N} = \frac{m}{L}(v_x^2)_{gem} $$
Dit kunnen we herschrijven tot:
$$ F_{res} = \frac{Nm}{L}(v_x^2)_{gem} $$
Met de formule p = F/A kunnen we hiermee de druk van het gas uitrekenen:
$$ p = \frac{F}{A} = \frac{Nm}{AL}(v_x^2)_{gem} = \frac{Nm}{V}(v_x^2)_{gem} $$
In de laatste stap hebben we gebruikt dat het oppervlak van de linker wand maal de lengte van de doos gelijk is aan het volume.

Aan deze formule moeten nog een aanpassing doen. Tot nu toe zijn we ervan uitgegaan dat alle deeltjes horizontaal bewegen (parallel aan de x-as). In werkelijkheid zullen de deeltjes ook in de y-richting of de z-richting bewegen. De druk tegen de linkerwant zal dus een factor drie lager zijn dan we hierboven hebben berekend. We vinden dus:
$$ PV = \frac{1}{3}Nm(v_x^2)_{gem} $$
Deze formule begint al een beetje de vorm aan te nemen van de ideale gaswet. We moeten echter nog een toevoeging doen. In de 19^de eeuw werd experimenteel vastgesteld met welke snelheid deeltjes in een gas bewegen. Er werd gevonden dat:
$$ (v^2)_{gem} = \frac{3k_BT}{m} $$
We kunnen dit herschrijven tot:
$$ k_BT = \frac{1}{3} m (v^2)_{gem} $$
Met deze formule kunnen we de ideale gaswet direct herschrijven tot:
$$ PV = Nk_BT $$
Dit is precies de wet die we ook in de paragraaf zijn tegengekomen! We hebben hiermee de ideale gaswet dus afgeleid met het deeltjesmodel.

Redeneren met luchtdruk en vacuüm.

De ideale gaswet wordt gegeven door: $$ PV = Nk_BT $$ Laat met een eenheidsbepaling zien wat de eenheid is van de constante van Boltzmann.

Een gas in een vaste container wordt verwarmd van 20 °C naar 40 °C.

Welke variabelen in de ideale gaswet blijven tijdens dit proces constant en welke veranderen?

Een leerling beweert dat in dit geval de temperatuur verdubbelt is en dat als gevolg ook de druk zal verdubbelen. Waar is de leerling de fout in gegaan?

In een cilinder zit lucht met daarboven een zuiger. Als we de lucht in de cilinder verwarmen, dan blijft de druk constant. Leg met behulp van het deeltjesmodel uit hoe het kan dat de druk gelijk is gebleven, terwijl de temperatuur van het gas wel is toegenomen (en de deeltjes dus wel sneller tegen de wanden botsen).

Een zuiger in een cilinder wordt snel ingedrukt.

Leg met behulp van het deeltjesmodel uit wat er gebeurt met de temperatuur en de druk in de cilinder.

Als je even wacht, dan wordt de temperatuur van het gas in de cilinder gelijk aan de omgevingstemperatuur. De deeltjes bewegen dan dus weer even snel als voorheen. Leg uit waarom de druk toch hoger is geworden.

Een persoon met een massa van 85 kg gaat op een gigantische zuiger staan. De diameter van de zuiger is 50 cm, de zuiger bevindt zich op een hoogte van 50 cm boven de bodem van de cilinder en de massa is 20 kg. Bereken hoeveel centimeter de zuiger door het gewicht van de persoon zal zakken. Ga er van uit dat de temperatuur van het gas constant is gebleven.

Een duiker neemt diep adem en krijgt hierdoor een longinhoud van 4,0 L. Daarna zwemt hij tot een diepte (d) van 5,0 meter. Bereken het volume van de longinhoud op deze diepte. Gebruik hiervoor de volgende formule voor de druk in water bij verschillende dieptes: $$ p_{diepte} = p_{oppervlak} + \rho gd$$ Ga er tevens vanuit dat de temperatuur van de lucht telkens gelijk blijft aan de lichaamstemperatuur en dat de lichaamstemperatuur gelijk is gebleven tijdens de korte duik.

Waterstofgas wordt opgeslagen in een harde fles onder een druk van 3,0 bar en bij 20 °C. Bereken de druk als we de temperatuur van het gas verlagen naar -20°.

Een fietsband heeft een diameter 2,5 cm een een omtrek van 200 cm. Een lek zorgt dat de druk in de band daalt van 150 psi naar 100 psi en dat de diameter afneemt naar 2,1 cm. Bereken hoeveel luchtdeeltjes zijn ontsnapt. Ga ervan uit dat de temperatuur telkens gelijk bleef aan de omgevingstemperatuur (15 °C).

Een duiker maakt bij een diepte van 25 meter een luchtbel met een diameter van 3,0 cm. De lucht in de bel krijgt snel de temperatuur van het water (10 °C). Op een diepte van 25 meter is de temperatuur 10 °C en bij het wateroppervlak is het 15 ° C. Bereken met deze gegevens de diameter van de bel bij het oppervlak van het water. Gebruik hiervoor de volgende formule voor de druk in water bij verschillende dieptes (d): $$ p_{diepte} = p_{oppervlak} + \rho gd$$

Tijdens een zonnige dag met een buitentemperatuur van 25 °C schijnt het zonlicht voor gelange tijd een kamer in, waardoor de temperatuur in de kamer met 15 graden Celsius stijgt. De kamer heeft een lengte van 7,0 m, een breedte van 5,0 m en een hoogte van 3,0 m.

Toen de temperatuur van de kamer nog 25 °C was, werd even een raam opengezet. Als gevolg werd de luchtdruk binnen op dat moment gelijk werd aan de luchtdruk buiten. Daarna werd het raam gesloten. Bereken de druk in de kamer na het opwarmen.

Toen werd het raam weer opengezet. Bereken hoeveel deeltjes de kamer verlaten kort nadat het raam open ging. Neem aan dat de temperatuur in de kamer in deze tijd niet verandert is.

De snelheid van deeltjes in een ideaal gas wordt beschreven door: $$ v = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} $$

Leid hiermee af dat de totale warmte in een gas gegeven wordt door: $$ Q = \frac{3}{2}Nk_BT $$

We verwarmen 6,0 × 10²³ deeltjes argon van nul kelvin tot een willekeurige temperatuur T in een vaste container. Gebruik de bovenstaande formule om de soortelijke warmte van argon te bepalen.

Deze waarde komt niet overeen met de soortelijke warmte van argon die we in BINAS vinden. Dit komt doordat we in dit experiment het volume constant hebben gehouden, terwijl de waarden in BINAS zijn gevonden bij constante druk (vandaar dat je in BINAS c_p ziet staan en niet c_V). Een situatie waarbij de druk gelijk blijft krijgen we bijvoorbeeld als we het gas verwarmen in een cilinder waarbij de zuiger vrij kan bewegen. De energie die het kost om de zuiger uit te schuiven wordt gegeven door: $$ E = F\Delta x $$ Δx is hier de afstand dat de zuiger uitschuift. Leid met behulp van deze formule af dat geldt: $$ E = p\Delta V $$

Om de soortelijke warmte bij constante druk te berekenen, moeten we rekening houden met de warmte Q die is toegevoegd aan het gas en de energie E die bij het uitzetten verloren is gegaan. Bepaal hiermee de soortelijke warmte van argon die we in BINAS kunnen vinden.

BINAS:
8-12	Dichtheid en soortelijke warmte
8-12	Warmtegeleidingscoëfficiënt
8-12	Elasticiteitsmodulus

Hoofdstuk 9 Warmte

§1 Temperatuur en warmte

§2 Soortelijke warmte

§3 Geleidbaarheid

§4 Debiet (HAVO - niet in examen 2023)

§5 Spanning en rek (HAVO - alleen nog in examen 2023)

§6 Druk (VWO)

§7 De ideale gaswet (VWO)

Hoofdstuk 9
Warmte