In dit hoofdstuk gaan we de zwaartekracht bestuderen. In de eerste paragraaf kijken we naar de valbeweging op aarde. Daarna gaan we zien hoe de zwaartekracht er ook voor kan zorgen dat objecten in een baan om de aarde kunnen belanden.
Als een voorwerp ongehinderd valt, dan spreken we van een vrije val. Bij een vrije val werkt dus alleen de zwaartekracht op het voorwerp. Alle andere krachten zijn dan afwezig of verwaarloosbaar klein. Voor een vrije val geldt dus:
$$ F_{res} = F_z $$Als we deze vergelijking uitwerken met de formules Fres = ma en Fz = mg, dan vinden we:
$$ ma=mg $$Door aan beide kanten de massa weg te strepen vinden we dan:
$$ a = g $$Een voorwerp dat een vrije val ondergaat heeft dus altijd een versnelling gelijk aan de valversnelling (g), ongeacht de massa van dit voorwerp. In afwezigheid van luchtwrijving zou een veer dus even snel moeten vallen als een hamer. Dit experiment is getest op de maan en dit blijkt inderdaad het geval te zijn (zie de onderstaande video). (zie het filmpje op de website).
Het (v,t)-diagram van een vrije val is hieronder afgebeeld. Als we het diagram nauwkeurig aflezen, dan vinden we inderdaad de valversnelling (g):
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a = \frac{49,05}{5,00} = 9,81 \text{ m/s}^2 $$In het volgende (v,t)-diagram zien we een val waarbij de luchtwrijvingskracht niet te verwaarlozen is. Zoals je kunt zien wordt de versnelling steeds kleiner. Ook uit dit diagram kunnen we echter de valversnelling bepalen. Dit doen we door op t = 0 s een raaklijn te tekenen. Op dit punt is de snelheid van het voorwerp namelijk nog nul en is er dus ook geen luchtwrijvingskracht. Als gevolg hebben we op dit moment te maken met een vrije val en geldt dus ook a = g.
Een bijzondere eigenschap van een vrije val is dat je niet voelt dat je valt. Als je niet zou zien dat de grond op je afkomt, dan zou je denken dat je zweeft. We noemen dit gewichtloosheid. Hieronder is een filmpje te zien waarbij een vliegtuig een vrije val maakt (het vliegtuig gebruikt een beetje motorkracht om precies de luchtwrijvingskracht op te heffen). In het filmpje is te zien dat de personen in het vliegtuig tijdens de val volledig gewichtloos zijn.
VWO STOF |
Om gewichtloosheid beter te beschrijven, definiëren we de gewichtkracht (Fg). De gewichtkracht wordt ook wel het gewicht genoemd. In het dagelijks leven wordt gewicht vaak uitgedrukt in kilogram, maar dit is onjuist. Gewicht is een kracht en wordt dus uitgedrukt in newton. Het gewicht is de kracht die een voorwerp uitoefent op zijn ondersteuning of ophangpunt. In de linker onderstaande afbeelding zien we een blok dat op de grond ligt. De aarde trekt het blok naar beneden (dit is de zwaartekracht). Als gevolg duwt het blok tegen de grond aan (dit is het gewicht). In de rechter afbeelding zien we een soortgelijk voorbeeld. De aarde trekt het blok naar beneden (dit is de zwaartekracht). Als gevolg trekt het blok aan het touw (dit is het gewicht). In deze twee voorbeelden zijn de zwaartekracht en de gewichtkracht even groot, maar dit is niet altijd het geval. Als een blok bijvoorbeeld een vrije val ondergaat (zie de rechter afbeelding), dan is de zwaartekracht zoals altijd gelijk aan Fz = mg, maar nu duwt het blok niet meer tegen een ondergrond en is de gewichtkracht dus nul. We spreken dan van gewichtloosheid. Het verschil tussen zwaartekracht en gewicht is ook duidelijk te ervaren in een lift. Hiernaast zien we links een lift die omhoog versnelt. Er werkt in dit geval dus een resulterende kracht omhoog. Deze kracht wordt geleverd door een extra grote normaalkracht. Dankzij de derde wet van Newton is de normaalkracht altijd even groot als de gewichtkracht. Als gevolg kunnen we concluderen dat de persoon in de lift zich iets 'zwaarder' voelt als een lift omhoog versnelt. In de rechter afbeelding versnelt een lift naar beneden en werkt er dus ook een resulterende kracht naar beneden. Als gevolg wordt de normaalkracht nu kleiner dan normaal. Het is dit effect dat ervoor zorgt dat we ons iets 'lichter' voelen als een lift naar beneden versnelt.
|
Beschrijven van valbewegingen met en zonder wrijvingskracht met (x,t)- en (v,t)-diagrammen |
|
Bepalen van de valversnelling met behulp van een (v,t)-diagram met en zonder wrijvingskracht |
|
Rekenen met gewicht en gewichtloosheid |
|
In de komende twee paragrafen gaan we de theorie uit het hoofdstuk 'beweging' en 'kracht' uitbreiden, zodat we hier ook cirkelbewegingen mee kunnen beschrijven. Dit stelt ons in staat om bijvoorbeeld de beweging van de aarde om de zon te begrijpen. In deze paragraaf bestuderen we het 'beweging'-deel van de cirkelbeweging. In de volgende paragraaf kijken we naar de kracht die hiervoor nodig is.
In hoofdstuk beweging en kracht hebben we rechtlijnige bewegingen bestudeerd. In dit hoofdstuk gaan we dit uitbreiden door voorwerpen te bestuderen die een bocht maken. Denk bijvoorbeeld aan een auto die de bocht door gaat of de beweging van de aarde om de zon. Om bochten goed te begrijpen bestuderen we eerst de cirkelbeweging. Hieronder zien we bijvoorbeeld een massa m, die een cirkelbeweging maakt om het middelpunt M. De afstand tussen m en M blijft gedurende de beweging constant. We noemen deze afstand de baanstraal (r).
Zoals altijd vinden we de snelheid van een voorwerp door de afgelegde afstand te delen door de tijdsduur. De afgelegde weg van één omwenteling is gelijk aan de omtrek van de cirkel (2πr). De tijd die nodig is voor een omwenteling noemen we de omlooptijd (T). De snelheid van massa m wordt dus gegeven door:
$$ v_{baan} = \frac{2\pi r_{baan}}{T} $$
|
In tabel 31 van BINAS kan je een hele hoop gegevens vinden over de banen van verschillende planeten en manen. Let er bij de opdrachten goed op of je de straal van de planeet nodig hebt (de afstand van het middelpunt van de planeet tot het oppervlak) of de baanstraal van de planeet (de afstand van het midden van de planeet tot het midden van de zon).
Een voorbeeld van een object dat een cirkelbaan maakt is een satelliet. Satellieten worden bijvoorbeeld gebruikt om tv-kanalen te ontvangen met een satellietschotel. Om ervoor te zorgen dat de satellietschotel telkens naar de satelliet blijft wijzen, is het nodig dat de satelliet precies meedraait met de aarde. Deze satellieten hebben dus een omlooptijd van 24 uur. Satellieten met deze omlooptijd worden geostationaire satellieten genoemd.
Naast de omlooptijd, gaan we in deze paragraaf ook rekenen met het toerental, hetgeen vaak gemeten wordt in rpm (dit staat voor revolutions per minute of in het Nederlands 'omwentelingen per minuut'). Stel dat een wasmachine een toerental heeft van 1500 rpm, dan kunnen we met behulp van een verhoudingstabel gemakkelijk de omlooptijd T in seconden vinden:
1500 omwentelingen |
1 omwenteling |
60 seconden |
... seconden |
We vinden dan T = 1 × 60 / 1500 = 0,04000 s.
Rekenen met de baansnelheid |
|
Rekenen met het toerental |
|
In deze paragraaf bestuderen we de kracht die nodig is om een object in een cirkelbaan te houden. We noemen dit de middelpuntzoekende kracht.
In de vorige paragraaf hebben we geleerd over cirkelbewegingen, maar hoe krijgen we een voorwerp in een cirkelbaan? Dit doen we door een kracht uit te oefenen loodrecht op de bewegingsrichting van het voorwerp. We zien dit gebeuren in de onderstaande linker afbeelding. Rechts is een voorwerp afgebeeld dat in een cirkelbaan beweegt. Merk op dat de kracht wederom loodrecht op de bewegingsrichting staat en dat de kracht hierdoor naar het middelpunt van de cirkelbaan wijst. We noemen een dergelijke kracht daarom ook wel een middelpuntzoekende kracht (Fmpz).
We kunnen deze beweging als volgt begrijpen. Volgens de eerste wet van Newton bewegen ongehinderde voorwerpen met een constante snelheid en in een rechte lijn (we noemen dit ook wel een eenparige beweging). We noemen dit ook wel een eenparige beweging. Een voorwerp dat een cirkelbeweging maakt, zou dus 'het liefst' op elk moment rechtdoor willen bewegen. De middelpuntzoekende kracht trekt het voorwerp echter elk moment terug richting het middelpunt van de cirkel. Op deze manier blijft het voorwerp in zijn cirkelbaan.
In de extra paragraaf aan het eind van dit hoofdstuk zullen we bewijzen dat voor het maken van een cirkelbeweging de grootte van deze kracht altijd gelijk moet zijn aan:
$$ F_{mpz} = \frac{mv_{baan}^2}{r_{baan}} \;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{Gebruik altijd SI-eenheden}$$
|
Het is belangrijk om te realiseren dat de middelpuntzoekende kracht niet een 'nieuwe soort kracht' is. Het is de kracht die nodig is om een voorwerp in zijn baan te houden en dit kan in principe door elke kracht gedaan worden. Als we een steen horizontaal rondslingeren aan een touw, dan is het bijvoorbeeld de spankracht in het touw die ervoor zorgt dat de steen in zijn baan blijft. We zeggen in dat geval de middelpuntzoekende kracht geleverd wordt door de spierkracht. Een ander voorbeeld is het draaien van de aarde om de zon (zie de afbeelding linksonder). Ook hier werkt een middelpuntzoekende kracht. In dit geval wordt deze kracht geleverd door de gravitatiekracht.
Er werkt ook een middelpuntzoekende kracht als een auto een bocht maakt. In dit geval wordt de middelpuntzoekende kracht geleverd door de wrijvingskracht tussen de wielen en de weg (zie de middelste onderstaande afbeelding). Deze extra wrijvingskracht wordt veroorzaakt doordat de bestuurder de voorwielen van de auto draait. De auto 'wil' rechtdoor, maar de wrijvingskracht forceert de auto in een cirkelbeweging. In de rechter afbeelding kan je zien dat auto's zo ontworpen zijn dat de wrijvingskracht op elk wiel naar hetzelfde middelpunt wijst.
Als inzittende van een auto lijkt het alsof je bij het maken van een bocht naar de buitenbocht wordt geduwd. Dit is echter een illusie! Wat er gebeurt, is dat de inzittenden in een rechte lijn willen voortbewegen, terwijl de auto de bocht om gaat. Het is dus niet zo dat je naar de buitenbocht wordt geduwd, maar juist dat de auto je de bocht in trekt!
Hetzelfde geldt voor het horizontaal rondslingeren van een steen aan een touw. Het lijkt alsof de steen een kracht naar buiten uitoefent, maar in werkelijkheid probeert de steen alleen maar rechtdoor te bewegen en is het jouw spierkracht die de steen in de cirkelbaan houdt. Als op een bepaald moment de middelpuntzoekende kracht zou wegvallen (bijvoorbeeld als het touw breekt), dan zou het voorwerp (volgens de eerste wet van Newton) wegschieten in een rechte lijn in de richting die het op dat moment heeft. Het voorwerp schiet dan dus weg langs een raaklijn van de cirkelbaan (zie de onderstaande linker afbeelding).
Als een vliegtuig een bocht wil maken, dan moet het vliegtuig zorgen voor een kracht loodrecht op de bewegingsrichting. Dit doet een vliegtuig door te kantelen (zie de onderstaande linker afbeeldingen). Op de vleugels werkt namelijk een liftkracht die altijd loodrecht op de vleugels werkt. Door te kantelen krijgt deze liftkracht een component in de horizontale richting (zie de middelste onderstaande afbeelding). Deze horizontale component staat loodrecht op de bewegingsrichting van het vliegtuig en zal dus fungeren als een middelpuntzoekende kracht.
Om het gemakkelijker te maken voor auto's om de bocht door te komen wordt een soortgelijk effect gebruikt. Het wegdek wordt een beetje gekanteld, zodat de normaalkracht van de weg een horizontale component krijgt en kan fungeren als middelpuntzoekende kracht. Zonder deze normaalkracht zou alleen de wrijvingskracht de middelpuntzoekende kracht kunnen leveren en als deze kracht niet voldoende is, dan vliegt de auto uit de bocht.
Achterhaal welke soort kracht de middelpuntzoekende kracht levert in verschillende situaties |
|
Rekenen met de formule voor de middelpuntzoekende kracht |
|
In deze paragraaf kijken we nogmaals terug naar het begrip gewicht en gewichtloosheid. Deze keer passen we het toe op de cirkelbeweging.
Ook de middelpuntzoekende kracht kan ervoor zorgen dat een persoon gewichtloosheid ervaart. Dit kunnen we begrijpen met het volgende voorbeeld. In de onderstaande afbeelding zien we een aantal achtbaankarretjes door de bocht gaan. Als een karretje stil zou staan boven op deze bocht, dan zou een persoon in dit karretje met zijn volledige zwaartekracht tegen zijn stoel drukken. Als het karretje met een behoorlijke snelheid deze bocht maakt, dan is er een middelpuntzoekende kracht nodig om de persoon in zijn baan te houden. Deze kracht wordt geleverd door de zwaartekracht van de persoon. Een deel van de zwaartekracht van de persoon zal nu dus niet gebruikt worden om de persoon tegen de stoel te drukken, maar zal gebruikt worden als middelpuntzoekende kracht. Als gevolg voelt de persoon zich nu lichter.
Als de kar nog sneller gaat bewegen, dan komt er een moment dat de zwaartekracht gelijk wordt aan de middelpuntzoekende kracht. De volledige zwaartekracht wordt nu dus gebruikt als middelpuntzoekende kracht en er is dus geen kracht meer over waarmee de persoon tegen de stoel drukt. Als gevolg ervaart de persoon nu gewichtloosheid.
Reken met de middelpuntzoekende kracht en gewichtloosheid | ||||||||
|
In deze paragraaf gaan we begrijpen hoe objecten in een baan om een hemellichaam terecht kunnen komen. We zullen ook de benodigde formules opstellen om deze baan te beschrijven.
Voor Newton's ontdekkingen, dachten wetenschappers dat de natuurwetten op aarde anders waren dan de natuurwetten in de ruimte. In de ruimte zien we objecten namelijk vaak in cirkelbanen bewegen, terwijl dit op aarde slechts zelden gebeurt. Newton liet echter zien dat met dezelfde formule zowel het vallen van voorwerpen op aarde als de planeetbanen verklaard konden worden. Newton's redenering was als volgt. Stel dat we een gigantisch kanon op aarde zouden bouwen (zie de onderstaande afbeelding en de animatie op de website)(zie de onderstaande animatie). En stel dat we dan een kogel zo snel af schieten dat de valbeweging van de kanonskogel dezelfde bocht maakt als de kromming van de aarde. In dat geval zou de kogel altijd vallen, maar nooit dichter bij de aarde komen. Toen claimde Newton dat de maan ook op deze manier om de aarde beweegt. De beweging van de maan was dus gewoon met de zwaartekracht te verklaren!
Satellieten die wij zelf in een baan om de aarde hebben gebracht, bewegen ook op deze manier. Een goed voorbeeld hiervan is het Internationale Ruimtestation (ISS). Mensen in dit station ervaren gewichtloosheid. Veel mensen denken dat dit komt doordat dit ruimtestation zo ver weg van de aarde staat dat zwaartekracht daar niet meer werkt. Dit is echter onjuist. Het internationale ruimtestation bevindt zich 'slechts' op een hoogte van zo'n 400 km boven het aardoppervlak. Op deze hoogte is de zwaartekracht nog sterk aanwezig. De reden dat personen hier toch gewichtloosheid ervaren, is omdat ze een vrije val maken (zonder dichter bij de aarde te komen). In de eerste paragraaf hebben we geleerd dat een vrije val altijd zorgt voor gewichtloosheid.
Newton begreep ook dat alle voorwerpen in het universum elkaar aantrekken doormiddel van de gravitatiekracht. De gravitatiekracht is een ander woord voor de zwaartekracht, maar meestal gebruiken we het woord 'zwaartekracht' voor het beschrijven van vallende voorwerpen op aarde en het woord 'gravitatiekracht' voor het beschrijven van de beweging van hemellichamen. In de extra paragraaf van dit hoofdstukIn de extra paragraaf op de website zullen we bewijzen dat deze kracht gegeven wordt door:
$$ F_g = \frac{GMm}{r^2}$$
|
Als we deze formule gelijkstellen aan de al bekende formule Fz=mg, dan vinden we:
$$ mg = \frac{GMm}{r^2} $$Als we de massa m aan beide kanten wegstrepen, dan vinden we dat de valversnelling g te berekenen is met:
$$ g = \frac{MG}{r^2} $$
|
Als een object een cirkelbaan maakt om bijvoorbeeld de aarde, dan weten we dat er een middelpuntzoekende kracht werkt die geleverd wordt door de gravitatiekracht. In dit geval geldt dus:
$$ F_{mpz} = F_g $$ $$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} $$We kunnen hier aan beide kanten een m en een r wegstrepen en daarna kunnen we de formule herschrijven tot:
$$ v_{baan} = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$
|
Voorbeeld |
Vraag: In BINAS kan je de massa van de aarde opzoeken. Ga met een berekening na dat de waarde uit BINAS klopt. Antwoord: De massa van de aarde komt o.a. voor in de formule uit deze paragraaf met de valversnelling. Als we deze formule omschrijven, dan vinden we: $$ M = \frac{gr^2}{G} = \frac{9,81 \times (6,371\times 10^6)^2}{6,67 \times 10^{-11}} = 5,98 \times 10^{24} \text{ kg} $$Dit komt overeen met de waarde van BINAS. Op deze manier heeft Newton dus een manier gevonden om de massa van de aarde te berekenen! Vraag: Het internationale ruimtestation (ISS) maakt een baan om de aarde op een hoogte van 400 km boven het aardoppervlak. Bereken de snelheid van het ruimtestation. Antwoord: De afstand r van het centrum van de aarde tot de satelliet is in dit geval: $$ r = 6,371 \times 10^6 + 400 \times 10^3 = 6,771 \times 10^6 \text{ m} $$Met de bovenstaande formule kunnen we de baansnelheid uitrekenen: $$ v_{baan} = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6,674 \times 10^{-11} \times 5,97 \times 10^{24}}{6,771 \times 10^6}} = 7,67 \times 10^3 \text{ m/s}$$Met deze snelheid maakt het ruimtestation elke anderhalf uur een rondje om de aarde!
|
VWO | |||||||||
Als we de bovenstaande formule combineren met vbaan=2πr/T, dan vinden we: $$ \left( \frac{2\pi r}{T} \right)^2 = \frac{GM}{r}$$Dit kunnen we herschrijven tot:
Deze formule wordt de derde wet van Kepler genoemd.
|
Voorbeeld (VWO) |
Vraag: In BINAS is de massa van de zon te vinden. Laat met een berekening zien dat deze massa correct is. Antwoord: We kunnen de massa bepalen door de baan van de aarde om de zon te bestuderen. We weten de afstand van de aarde tot de zon (r = 149,6 × 109 m) en de omlooptijd van de aarde (T = 365 dagen). Als we de wet van Kepler omschrijven, dan kunnen we hiermee de massa van de zon uitrekenen: $$ M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$$ $$ M = \frac{4\pi^2 (149,6 \times 10^9)^3}{6,67 \times 10^{-11} \times (365 \times 24 \times 60 \times 60)^2} = 1,99 \times 10^{30} \text{ kg}$$ Dit is ook de massa die we in BINAS vinden.
|
Rekenen met de algemene gravitatiewet |
|
Rekenen met de formules voor de baansnelheid en de valversnelling (en de wet van Kepler voor VWO) |
|
Extra |
In dit extra stukje stof leiden we de formule voor de middelpuntzoekende kracht af en daarna de formule voor de gravitatiekracht. Als op een voorwerp alleen een middelpuntzoekende kracht werkt, dan geldt volgens de tweede wet van Newton: $$ F_{mpz} = F_{res} = ma $$De middelpuntzoekende kracht zorgt dus voor een versnelling. Maar hadden we niet aangenomen dat de baansnelheid constant is? Hoe kan er hier dan een versnelling zijn? Dit kunnen we goed zien in de onderstaande afbeelding. Als deeltje P in zijn cirkelbaan beweegt, verandert de grootte van de snelheid niet, maar wel de richting. Voor het veranderen van de richting is een versnelling nodig. Deze versnelling wijst naar het middelpunt van de cirkelbeweging en houdt op deze manier het deeltje in zijn baan. In de onderstaande afbeelding is het draaien van de snelheid weergegeven gezien vanaf het punt P. Zoals gebruikelijk noemen we het verschil tussen de begin- en de eindsnelheid Δv. In de vorige twee afbeeldingen zien we twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde hoek θ. Deze twee driehoeken hebben dus dezelfde verhoudingen. Er geldt dus: $$ \frac{\Delta x}{r} = \frac{\Delta v}{v} $$Dit kunnen we omschrijven tot: $$ \Delta v = \frac{v \Delta x}{r} $$Als we beide zijden door Δt delen, dan vinden we met behulp van de formule v=Δx/Δt : $$ \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}$$Omdat a=Δv/Δt kunnen we dit herschrijven tot: $$ a_{mpz} = \frac{v_{baan}^2}{r}$$We hebben nu gevonden hoe groot de middelpuntzoekende versnelling moet zijn om een deeltje in zijn baan te houden. Deze formule is voor het eerst afgeleid door de nederlandse natuurkundige Christiaan Huygens. Door beide kanten van de formule met de massa te vermenigvuldigen kunnen we gemakkelijk de formule voor de middelpuntzoekende kracht afleiden: $$ F_{mpz} = \frac{mv^2}{r} $$Met deze formule voor de middelpuntzoekende versnelling kunnen we bijvoorbeeld de versnelling van de maan uitrekenen. De maan heeft een omlooptijd van 27,32 dagen (2,36 × 106 s) en de afstand van het centrum van de aarde tot het centrum van de maan is 3,85 × 108 m. De baansnelheid is dus gelijk aan: $$ v_{baan} = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 3,85\times 10^8}{2,36\times 10^6} = 1,03 \times 10^3 \text{ m/s} $$Met de baansnelheid kunnen we de versnelling uitrekenen: $$ a_{mpz} = \frac{v_{baan}^2}{r} = \frac{(1,03 \times 10^3)^2}{3,85\times 10^8} = 0,00273 \text{ m/s}^2 $$Dit is de valversnelling die de maan ondergaat! Vanwege de grote afstand van de aarde is dit een stuk kleiner dan de 9,81 m/s2 die we op aarde gewend zijn (zie de onderstaande afbeelding)! De valversnelling is over deze afstand een factor 9,81/0,00273 ≈ 3600 afgenomen. Newton deed voor het eerst onderzoek naar de versnelling van de maan. Hij wist dat de afstand van de aarde tot de maan 60x zo groot was als de straal van de aarde. Over deze afstand was de valversnelling 602 = 3600x afgenomen. We hebben hier dus te maken met een omgekeerd kwadratisch verband. Er geldt dus: $$ g = \frac{\text{constant}}{r^2} $$Door beide kanten met de massa te vermenigvuldigen vinden we de formule voor de gravitatiekracht: $$ F_g = \frac{\text{constant} \times m}{r^2} $$Volgens de derde wet van Newton weten we dat als de aarde aan de maan trekt, dat dan de maan ook aan de aarde moet trekken met een even grote kracht (zie de onderstaande afbeelding). In dat geval is de kracht echter afhankelijk van de massa van de aarde (M): $$ F_g = \frac{\text{constant} \times M}{r^2} $$Als we deze formules combineren, dan vinden we: $$ F_g = \frac{\text{constant} \times Mm}{r^2} $$De constante wordt nu G genoemd en dit geeft ons de bekende formule voor de gravitatiekracht: $$ F_g = \frac{\text{GMm}}{r^2} $$
|
BINAS: | |
5 | Astronomische eenheid en lichtjaar |
7 | Gravitatieconstante |
31 | Gegevens over planeten en manen |
32B | Gegevens over sterren |
32C | Gegevens over de zon |