Hoofdstuk 5
Moment (HAVO)
§1 Het moment
In deze paragraaf gaan we rekenen met krachten werkende op draaiende voorwerpen. We gebruiken hiervoor het begrip moment. Ook gaan we momentevenwichten bestuderen.
In deze paragraaf gaan we het hebben over het principe van de hefboom. Met een hefboom kan je een kleine kracht omzetten in een grote kracht. In de onderstaande afbeelding wordt dit principe gebruikt bij het openen van verfpotten. Zoals je wellicht uit ervaring weet, gaat het openen van een verfpot veel gemakkelijker met een langere schroevendraaier. In de rechter afbeelding geldt hetzelfde principe. Een moer omdraaien met alleen je hand is lastig, maar als je de lengte van een sleutel gebruikt, dan kost dit weinig kracht.
Een hefboom heeft altijd een draaipunt. Dit is duidelijk te zien bij een wip. In de afbeelding linksonder zien we twee personen met gelijke massa die op gelijke afstanden van het draaipunt zitten. De wip is nu in evenwicht. In de rechter afbeelding gaat de linker persoon iets verder van het draaipunt zitten en als gevolg zal de wip aan deze kant dalen. Hoe verder de persoon van het draaipunt gaat zitten, hoe meer invloed de persoon heeft op de draaiing van de wip. We zeggen in zo'n geval dat de persoon dan een groter moment uitoefent op de wip.
We kunnen het moment als volgt berekenen:
$$ M = F \times r $$
|
Moment (M)
|
newtonmeter (Nm)
|
|
Kracht (F)
|
newton (N)
|
|
Arm (r)
|
meter (m)
|
|
De arm (r) is de afstand van het draaipunt tot de kracht die op het voorwerp werkt. In de volgende paragraaf gaan we nog een iets preciezere definitie van de arm tegenkomen.
Als een voorwerp in evenwicht is, dan is de som van de momenten die het voorwerp linksom pogen te draaien gelijk aan de som van de momenten die het voorwerp rechtsom pogen te draaien. In formuletaal wordt dit:
$$ \Sigma M_{L} = \Sigma M_{R} \;\;\;\; \text{(evenwicht)}$$
|
Som van momenten linksom (ML)
|
newtonmeter (Nm)
|
|
Som van momenten rechtsom (MR)
|
newtonmeter (Nm)
|
|
Een bekend voorbeeld waar momenten een belangrijke rol spelen is de hijskraan. Deze gigantische kranen kunnen zware voorwerpen optillen zonder om te vallen. Dit kan omdat de kraan in evenwicht wordt gehouden door een contragewicht (zie de onderstaande afbeelding). Door de positie van dit contragewicht te verplaatsen, en dus de arm te veranderen, kan de kraan telkens in evenwicht worden gehouden.
Voorbeeld
|
|
Vraag:
In de volgende afbeelding tilt een persoon een bank op die op een verhoging ligt. De bank is van poot tot poot 4,0 m lang en heeft een massa van 10 kg. Bereken de spierkracht die de persoon moet uitoefenen om de bank in horizontale positie te houden.
Antwoord:
Het zwaartepunt van de bank bevindt zich in het midden van de bank. Op deze plek tekenen we dan ook de zwaartekracht.
De arm van de zwaartekracht is de afstand van het draaipunt tot de zwaartekracht. Omdat de zwaartekracht in het midden van de bank werkt, is de bijbehorende arm dus 2,0 m lang. De arm van de spierkracht is 4,0 m.
Dan maken we gebruik van het momentenevenwicht:
$$ F_z \times r_z = F_{spier} \times r_{spier} $$
$$ 10 \times 9,81 \times 2 = F_{spier} \times 4 $$
Als we hiermee Fspier uitrekenen, dan vinden we:
$$ F_{spier} = 49 \text{ N} $$
|
|
Rekenen met het moment en het momentenevenwicht
|
-
Maak het stencil op de volgende bladzijde.
- Een meisje met een massa van 45 kg staat op het uiteinde C van een duikplank. De duikplank kan draaien om as A en ligt op steunpunt B. De massa van de plank wordt in dit vraagstuk verwaarloosd. De afstand tussen as A en steunpunt B is 1,6 m. De afstand tussen as A en uiteinde C is 4,8 m.
- Bereken de grootte van de kracht die door het steunpunt B op de plank wordt uitgeoefend als het meisje in C op de duikplank staat.
- Op punt A werkt ook een kracht. Leg uit waarom het niet nodig was rekening te houden met deze kracht in opdracht a.
- Bereken de grootte van deze kracht werkende op punt A als het meisje stilstaat op de duikplank.
(bron: examen VWO 1986-1)
|
§2 De arm
In deze paragraaf gaan we het begrip arm iets nauwkeuriger definiëren. We kunnen hiermee met complexere momentevenwichten rekenen.
Nu is het tijd voor de iets nauwkeurigere definitie van de arm. Hieronder zien we links een kracht en het bijbehorende draaipunt. Om de arm te vinden tekenen we de lijn van de kracht eerst door in beide richtingen (zie de middelste afbeelding). We noemen dit de werklijn van de kracht. De arm voldoet dan aan de volgende twee eisen:
- De arm loopt van het draaipunt tot aan de werklijn van de kracht.
- De arm staat loodrecht op de werklijn van de kracht.
We hebben deze definitie hieronder toegepast. We zien hier een uithangbord dat omhoog gehouden wordt met een touw. De arm van de spankracht in het touw loopt hier van het draaipunt tot de werklijn van de spankracht en staat ook loodrecht op de werklijn. Deze arm voldoet dus aan de bovenstaande definitie.
|
Voorbeeld
|
|
Vraag:
Een persoon tilt aan één zijde een bank op met een massa van 15 kg (zie de onderstaande afbeelding). In de afbeelding is ook de spierkracht weergegeven die de persoon uitoefent. Bepaal de grootte van deze kracht. De afbeelding is op schaal weergegeven.
Antwoord:
Het zwaartepunt van de bank bevindt zich in het midden van de bank. Op deze plek tekenen we dan ook de zwaartekracht. In de rechter afbeelding zien we de arm van de zwaartekracht en de arm van de spierkracht getekend. Merk op dat in beide gevallen de arm loopt van het draaipunt tot de werklijn van de kracht en dat de arm loodrecht op deze werklijn staat.
Dan maken we gebruik van het momentenevenwicht:
$$ F_z \times r_z = F_{spier} \times r_{spier} $$
Omdat de afbeelding op schaal is afgebeeld, mogen we meten in de tekening. De arm van de spierkracht is 3,9 cm en de arm voor de zwaartekracht is 1,55 cm.
$$ F_{spier} \times 3,9 = 15 \times 9,81 \times 1,55 $$
Als we hiermee Fspier uitrekenen, dan vinden we:
$$ F_{spier} = 58 \text{ N} $$
|
|
Rekenen met het moment en het momentenevenwicht
|
-
Maak het stencil op de volgende bladzijde.
- Beschrijf hoe je de arm van een kracht kan vinden.
- Een uithangbord is aan een stok opgehangen. De zwaartekracht werkend op het bord is 40 N. De zwaartekracht werkende op de stok mag je verwaarlozen. De stok wordt op zijn plek gehouden met behulp van een touw. Bereken de spankracht in het touw.
- In cadeauwinkels tref je de onderstaande flessenstandaard aan. Het is een stuk perspex met een gat waarin de hals van een fles geschoven kan worden. Het stuk perspex kan met de fles in evenwicht worden neergezet. Het is dan niet nodig het perspex aan de ondergrond vast te maken.
- Arceer het gebied in de foto waarin het zwaartepunt van het geheel zich moet bevinden opdat er evenwicht is.
- De fles wordt nu zo ver in het gat geschoven dat de standaard op het punt staat naar rechts te kantelen. Bepaal met behulp van de afbeelding de massa van de fles wijn. Ga ervan uit dat de figuur op schaal is weergegeven en dat de massa van de standaard gelijk is aan 0,45 kg.
(bron: examen VWO 2000-1)
- Aan de oever van de Theems in Londen werd voor de start van het jaar 2000 een enorm reuzenrad gebouwd: het Millenniumrad.
Op de foto kun je zien dat het rad met één kabel omhoog werd getrokken. De kabel was in het zwaartepunt Z van het rad vastgemaakt en liep via een katrol op een mast naar een motor op de grond. Tijdens het omhoogtrekken werd het rad aan één kant in een punt S op de grond vastgehouden, zodat het om dit punt kon kantelen. Het rad heeft een massa van 1,5 x 103 ton. De bovenstaande tekening is op schaal afgebeeld. Bepaal de grootte van de kracht die de kabel op dit moment op het rad uitoefent.
(bron: examen VWO 2001-1)
- Als een speler bij basketbal aan de ring gaat hangen, dan kan er schade aan het bord ontstaan. Om de kans op schade te verminderen, maakt men gebruik van een zogenaamde klapring (zie de onderstaande afbeelding. Deze afbeelding is op schaal weergegeven).
De kracht van de basketballer op de ring grijpt aan in punt P. Deze kracht is gelijk aan de zwaartekracht op de basketballer. Er werkt ook een veerkracht op de klapring in punt Q. Deze kracht is horizontaal naar rechts gericht. Bepaal de grootte van de veerkracht als een speler van 90 kg aan de ring hangt. Verwaarloos de massa van de ring zelf.
(bron: examen VWO 1998-1)
- Bij een turnoefening duwt een persoon tegen een steunbalk (zie de onderstaande afbeelding). De balk oefent dan alleen een horizontaal gerichte kracht uit op de persoon. De massa van de persoon is 75 kg. Bepaal aan de hand van de afbeelding de grootte van de horizontale kracht van de steunbalk op de persoon.
-
Een persoon wil zo gemakkelijk mogelijk een groot blok in evenwicht houden dat aan één zijde op een steunpunt leunt. In de onderstaande afbeelding zien we de persoon in twee richtingen duwen tegen het blok. Het blok is niet op schaal weergegeven.
- Leg met behulp van de bovenstaande afbeelding uit in welke richting de persoon minder kracht uit hoeft te oefenen om het blok in evenwicht te houden.
- Het blok heeft een massa van 150 kg, een breedte van het blok is 50 cm en de hoogte is 120 cm. Bereken met deze gegevens spierkracht van de persoon in beide gevallen.
- In de rechter afbeelding zien we een deel van een roeiboot, waarin zich een aantal roeiers bevinden. De roeiers bewegen de boot voort door een hoeveelheid water met de roeispanen in tegenovergestelde richting in beweging te brengen. Een van de roeispanen is hier zichtbaar. Op punt B oefent het blad van de roeispaan een kracht uit op het water. Als gevolg hiervan oefent het water een even grote kracht uit op de roeispaan. Deze krachten staan loodrecht op het blad.
De riem kan worden beschouwd als een hefboom die om een vast punt draait. Dit vaste punt is een pen. De afstand van de pen tot de plaats van de handen op de handgreep is 1,1 m. De afstand van de pen tot punt B is 2,5 m. Op een bepaald moment oefent de roeier een kracht van 660 N uit loodrecht op de roeispaan. Het blad wordt met constante snelheid door het water gehaald. Ook de roeiboot zelf gaat met een constante snelheid door het water.
- Bereken de kracht die de roeispaan uitoefent op het water op punt B.
- Als gevolg van de krachten die hierboven beschreven zijn, komt er ook een kracht te werken op de pen waar de roeispaan op zijn plek wordt gehouden. Leg uit waarom het niet nodig was rekening te houden met de kracht in opdracht a.
- Bereken de grootte van de kracht die de pen op de roeispaan uitoefent.
(bron: examen VWO 1998-2)
|