Hoofdstuk 1
Magnetisme

§1     De elektrische kracht

In dit hoofdstuk gaan we elektrische en magnetische velden bestuderen en de krachten die deze velden kunnen uitoefenen. In deze paragraaf starten we met het elektrische veld.

Alle voorwerpen met een lading worden omringt door een elektrisch veld. Met dit veld kunnen geladen deeltjes krachten op elkaar uitoefenen. Hieronder zien we het elektrisch veld om een positieve en een negatieve lading schematisch afgebeeld. Bij de positieve lading geven we het veld weer met pijlen die van de lading af wijzen. Bij de negatieve lading wijzen de pijlen juist naar de lading toe.

De sterkte van het elektrische veld noemen we de elektrische veldsterkte (E). Als een elektrisch veld werkt op een lading q, dan oefent dit veld een elektrische kracht uit gegeven door:

$$ F_{elek} = qE $$ Elektrische kracht (Felek) newton (N) Lading (q) coulomb (C) Elektrische veldsterkte (E) newton per coulomb (N/C)

De grootte van de elektrische kracht hangt af van de lading van deeltjes en de afstand tussen deze deeltjes. Dit verband wordt de zogenaamde wet van Coulomb genoemd:

$$ F_{elek} = \frac{fq_1q_2}{r^2} $$ Elektrische kracht (Felek) newton (N) Constante van Coulomb (f) 8,99 × 109 Nm2C-2 Lading (q) coulomb (C) Afstand tussen de ladingen (r) meter (m)

In de onderstaande afbeelding zien we een positieve lading q₁ en een negatieve lading q₂. Ook is er een positieve lading q toegevoegd. De lading q ondervindt een afstotende kracht van lading q₁ en een aantrekkende kracht van lading q₂. Deze twee krachten samen vormen de resulterende kracht die de lading q zal ondervinden.

Met de elektrische kracht kunnen we o.a. de baan van het elektron in een waterstofatoom beschrijven. Als we aannemen dat het elektron een cirkelbaan maakt om het proton, dan geldt er:

Voor de lading van het elektron en het proton gebruiken we de letter e (zie BINAS tabel 7). We kunnen hiermee de formule uitschrijven tot:

De afstand tussen het proton en het elektron in waterstof is gemiddeld 0,0529 nm. Als we de bovenstaande formule omschrijven, dan kunnen we hiermee de snelheid van het elektron berekenen:

Een andere bekende toepassing is het bewegen van een lading tussen condensatorplaten. Een condensator bestaat uit twee platen met op de ene een overschot aan positieve ladingen en op de andere een overschot aan negatieve ladingen. In de onderstaande afbeelding zien we een negatieve lading die beweegt van de negatieve naar de positieve condensatorplaat:

Als we de negatieve lading bij de positieve plaat plaatsen, dan zal het meteen in beweging komen (de lading wordt immers afgestoten door de negatieve plaat en aangetrokken tot de positieve plaat). Dit vertelt ons dat het elektron bij de plaatsing energie moet bevatten. We noemen dit elektrische energie. De grootte van de elektrische energie wordt gegeven door:

$$ E_{elek} = qU $$ Elektrische energie (Eelek) joule (J) Lading (q) coulomb (C) Spanning over de platen (U) volt (V)

Tijdens de beweging versnelt de negatieve lading. Dit komt omdat de elektrische energie tijdens deze beweging geheel wordt omgezet in kinetische energie. Er geldt dus:

Tekenen van elektrische veldlijnen. Rekenen met het elektrisch veld en de elektrische kracht

Schets in de volgende twee afbeeldingen de elektrische veldlijnen: Hieronder zien we twee geladen bollen. De linker bol heeft twee keer zoveel lading als de rechter. Op de punten a en b wordt een positieve testlading geplaatst. Vind met een constructietekening de richting van het veld op punt a en b. Hieronder zien we wederom twee geladen bollen. De linker bol heeft twee keer zoveel lading als de rechter. Vind met een constructietekening de richting van het veld op punt a. Een leerling hangt twee pingpongballen op aan twee touwtjes met elk een lengte van 1,0 m. De touwtjes worden op dezelfde plek bevestigd aan het plafond. De pingpongballen worden omhuld met wat aluminium folie en worden voorzien van eenzelfde lading Q. Hierdoor stoten de twee ballen elkaar af en ontstaat er een hoek van 20 graden tussen de touwtjes (zie de onderstaande afbeelding). De pingpongballen met folie hebben elk een massa van 20 gram en blijven stil hangen op de plek die in de afbeelding is aangegeven. Bereken de grootte van de elektrische kracht die de bolletjes op elkaar uitoefenen (Tip: teken eerst het krachtenevenwicht). Bereken de grootte van de lading Q. Een persoon plaatst een O2--ion met een massagetal van 16 tussen twee condensatorplaten die onder een kleine spanning van 10 nV staan. (zie de onderstaande afbeelding). Voor het elektrisch veld tussen twee platen geldt: $$ E = \frac{U}{d} $$ Bereken hoe groot de afstand tussen de platen moet worden om het zuurstofion te laten zweven. Een waterstof atoom bestaat uit een elektron dat in een cirkelbaan beweegt om een proton. In zijn grondtoestand maakt het elektron een cirkelbaan met een straal van 0,053 nm. Bereken de grootte van het elektrische veld dat het elektron ondervindt van het proton. Laat zien dat de snelheid van het elektron gegeven wordt door: $$ v = \sqrt{\frac{fe^2}{rm_e}}$$ Bereken hiermee de snelheid.

Rekenen met elektrische energie

Een onderzoeker wil de snelheid van protonen meten afkomstig uit een radioactieve bron. Hij doet dit door protonen af te laten remmen in het elektrisch veld tussen twee condensatorplaten (zie de onderstaande afbeelding). Tussen de platen bevindt zich een diffuus gas dat oplicht als er protonen doorheen schieten. Hiermee kan worden gezien of het proton de andere zijde van de condensator kan bereiken of dat het proton eerder al tot stilstand komt. Het blijkt dat het proton net de overkant van de condensator bereikt bij een spanning van 800 V. Bereken de oorspronkelijke snelheid van het proton. In 1897 ontdekte J. J. Thomson het elektron. Hij ontdekte ook dat het elektron een negatieve lading had. Dit deed hij door een gas onder zo'n grote spanning te zetten dat er een stroom door het gas ging lopen. Het gas licht hierdoor op. Thomson liet deze stroom van deeltjes door het elektrische veld van een condensator lopen (zie de onderstaande afbeelding). Doordat de stroom afboog richting de positieve plaat, wist Thomson dat de elektronen in de stroom negatief moesten zijn. Door de afbuiging nader te bestuderen, lukte het Thomson ook om de verhouding tussen de lading en de massa van het elektron (e/m) te bepalen. Leg uit dat de tijdsduur dat het elektron zich tussen de platen A en B zal bevinden gelijk is aan: $$ \Delta t = \frac{\Delta x}{v_x} $$ Δx is hier gelijk aan de lengte van de plaat en vx is de horizontale component van de snelheid. Je mag wrijvingskracht en de zwaartekracht verwaarlozen. De elektrisch kracht zorgt tijdens de beweging voor een kracht in de verticale richting. Laat zien dat hiervoor geldt dat: $$ \frac{e}{m} = \frac{a_y}{E} $$ De elektronen kwamen bij de platen aan met een snelheid van 2,6 × 107m/s. De lengte van de platen was 3,0 cm, de afstand tussen de platen was 1,2 cm, de verticale verplaatsing Δy was gelijk aan 0,4 cm en de spanning over de platen was gelijk aan 410V.  Bereken hiermee de verhouding tussen de lading en de massa van het elektron.  Maak hier ook gebruik van de volgende twee formules: $$ E = \frac{U}{d} $$ $$ \Delta y = \frac{1}{2}a_y\Delta t^2 $$ d is hier de afstand tussen de condensatorplaten. Δy is hier gelijk aan de verticale verplaatsing van de elektronen tussen de tweede condensatorplaten. Een onderzoeker wil een calciumion versnellen. Hij doet dit met behulp van een lineaire versneller. Deze versneller bestaat uit een aantal buizen die om en om aan de polen van een wisselspanningsbron verbonden zijn (zie de onderstaande afbeelding). Als gevolg worden de buizen om en om positief en negatief geladen. Binnen in de buizen is het elektrisch veld nul. Leg uit of de lading van de eerste buis positief of negatief moet zijn als het calciumion zich voor de eerste buis bevindt. Leg uit hoe het calciumion tussen de buizen in telkens blijft versnellen. Leg uit waarom de buizen telkens langer moeten worden om het ion te kunnen blijven versnellen. Om het ion nog sterker te versnellen moet de amplitude en de frequentie van de spanningsbron aangepast worden. Leg voor zowel de amplitude als de frequentie uit of deze vergroot of verkleind moeten worden voor een grotere versnelling. (bron: examen VWO 2005-1)

§2     Magnetisme

De rest van het hoofdstuk zullen we ons focussen op magnetisme. In deze paragraaf bestuderen we het ontstaan van magneetvelden.

Als geladen deeltjes bewegen dan ontstaat er een magneetveld rondom deze deeltjes. De sterkte van dit veld noemen we de magnetische veldsterkte of de magnetische inductie (B). We zien dit bijvoorbeeld gebeuren als we stroom door een draad laten lopen. Er ontstaat hierdoor een magneetveld dat in cirkels om de draad loopt (zie de onderstaande afbeelding).

Het is niet altijd even gemakkelijk om in 3D veldlijnen te tekenen. We spreken daarom af dat we veldlijnen die het papier in gaan weergeven met een rondje met een kruis erin. Een veldlijn die het papier uit komt geven we weer met een rondje met een stip in het midden. Deze notatie is goed te onthouden door een dartpijl voor de stellen die in de richting van het magneetveld prikt. Gaat de pijl het papier in, dan zien we de achterkant van de pijl - een rondje met een kruisje erin. Komt de pijl het papier uit, dan zien we de voorkant van de pijl - een rondje met een stip in het midden (zie de onderstaande afbeelding).

We kunnen de richting van het magneetveld bepalen met behulp van de richting van de stroom (I). De richting van het magneetveld is te vinden door de duim in de richting van de stroom (I) te wijzen. De vingers van de hand krommen dan automatisch in de richting van de het magneetveld. (B).

Herinner wel dat stroomrichting (I) loopt van de plus naar de min, maar dat de elektronen bewegen van de min naar de plus.

In de onderstaande afbeelding is een stroomdraad een aantal keer omgewonden. We noemen dit een spoel. Het magneetveld krijgt dan de vorm die hieronder in de afbeelding is weergegeven. We noemen dit ook wel een elektromagneet.

De richting van het magneetveld in de spoel is te vinden met de rechter hand. Als je de vingers van je hand in de richting van de stroom (I) kromt, dan wijst je duim in de richting van het magneetveld (B) in de spoel. Merk op dat het magneetveld buiten de spoel precies de andere kant op wijst. De plek waar de magneetveldlijnen uit de spoel komen noemen we de noordpool van de elektromagneet. De kant waar de veldlijnen naar binnen komen noemen we de zuidpool.

Een goede eigenschap van een elektromagneet is dat we deze aan en uit kunnen zetten door simpelweg de stroomkring te sluiten en te openen. Dit kan bijvoorbeeld handig zijn bij het sorteren van ijzeren voorwerpen in een berg afval (zie de onderstaande afbeelding). IJzer heeft de eigenschap dat het wordt aangetrokken door zowel de noord- als de zuidpool van een magneet. Als de elektromagneet aan staat, dan trekt het stukken ijzer aan. Als de stroom uitgezet wordt, dan vallen de stukken ijzer er weer vanaf.

Naast elektromagneten zijn er ook permanente magneten. Hieronder zijn wat stukjes ijzer rond een permanente magneet neergegooid. Merk op dat het magnetisch veld precies dezelfde vorm heeft als bij de elektromagneet. Net als bij de spoel wordt dit veld veroorzaakt bewegende elektronen. In dit geval de elektronen die rondbewegen in de atomen.

Een magneet kan worden gemaakt door een stuk ijzer op te warmen en in een extern magneetveld te leggen. Dit magneetveld zorgt ervoor dat de elektronen allemaal in dezelfde richting gaan roteren. De optelling van de magneetvelden van al deze elektronen tezamen vormt het magneetveld van een permanente magneet. Als we de magneet nogmaals opwarmen, maar dan zonder extern magneetveld, dan trillen de elektronen weer in willekeurige richting en verdwijnen de magnetische eigenschappen.

Voor beide soorten magneten geldt dat gelijke polen elkaar afstoten en verschillende polen elkaar aantrekken:

Een bekende toepassing van magnetisme is het kompas. Een kompas is niets anders dan een klein magneetje dat een kracht ondervindt van het aardmagnetisch veld. De noordpool van een kompas wijst in de richting van het magneetveld en de zuidpool tegen de richting van het magneetveld in (zie de onderstaande afbeelding).

Bepalen van de noord- en zuidpool van een magneet en het bepalen van de richting van het magneetveld van een draad en een spoel

Beschrijf de rechterhandregel voor een stroomvoerende draad en de rechterhandregel voor een spoel. In de onderstaande afbeelding is een stroomkring afgebeeld: Leg uit of de pijlen in de afbeelding de stroomrichting aangeven of de richting van de elektronenstroom. Teken het magneetveld van de linker draad in de schakeling. Schets het magneetveld in elk van de twee onderste afbeeldingen: Een spijker wordt magnetisch gemaakt door er een draad omheen te wikkelen en hier stroom doorheen te laten lopen (zie de onderstaande afbeelding). Schets het magneetveld van de spoel en geef met de letters N en Z aan waar de noord- en zuidpool van de spijker zich zal bevinden. In de onderstaande afbeelding zien we een schakeling van een schoolbel die continu blijft rinkelen zolang de schakelaar ingedrukt blijft. Bij punt A is een contactje afgebeeld dat in de afbeelding de klepel raakt. Het contactje zit echter niet vast aan de klepel. Beschrijf de werking van de schoolbel. Maakt het voor de werking van de bel uit, hoe om de spoel gewikkeld is? Beschrijf in welke richting een kompas wijst in een magnetisch veld. Met een kompas kunnen we de richting van het aardmagnetisch veld vinden. Maak een schets van het magneetveld van de aarde en teken het kompas bij de evenaar. Geef ook met de letters N en Z de noord- en de zuidpool aan van zowel de aarde als de magneet. Merk je iets vreemds op bij het tekenen van de noord en zuidpool van de aarde? In de onderstaande afbeelding zien we aan de linkerkant een spoel en aan de rechterkant een draad waarbij de stroomrichting het papier in loopt. Teken bij elk rood punt een kompasnaald. Geef duidelijk de richting van het kompas aan en aan welke kant de noord- en de zuidpool zich bevindt.

§3     De lorentzkracht

In deze paragraaf bestuderen we de kracht die een magneetveld op een bewegende lading kan uitoefenen. We noemen dit de lorentzkracht. Aan het eind van de paragraaf gaan we zien hoe we met behulp van deze kracht een elektromotor kunnen maken.

In de vorige paragraaf hebben we gelezen dat bewegende lading zorgt voor een magneetveld. Een magneetveld kan op zijn beurt een kracht uitoefenen op andere bewegende ladingen. Deze kracht wordt de lorentzkracht (F_L) genoemd. De grootte van de lorentzkracht werkende op een stroomdraad kan als volgt worden berekend:

$$ F_L = BIL $$ Lorentzkracht (FL) newton (N) Magnetische veldsterkte / magnetische inductie (B) tesla (T) Stroomsterkte (I) ampère (A) Lengte van de stroomdraad (L) meter (m)

Hieronder zien we bijvoorbeeld twee stroomdraden. Met de rechterhandregel uit de vorige paragraaf vinden we dat het magneetveld om de linker draad kromt zoals hieronder is aangegeven. Dit magneetveld van de linker draad valt op de rechterdraad en oefent hier een lorentzkracht uit. Als je je vingers in de richting van de stroom (I) laat wijzen en het magneetveld (B) in je palm laat prikken, dan wijst je duim in de richting van de lorentzkracht (F_L). In deze afbeelding werkt de lorentzkracht op de rechter draad dus naar links. Hetzelfde kunnen we doen voor de kracht die het magneetveld van de rechter draad op de linker draad uitoefent.

De lorentzkracht werkende op een enkel geladen deeltje dat beweegt met snelheid v kunnen we als volgt berekenen:

$$ F_L = Bqv $$ Lorentzkracht (FL) newton (N) Magnetische veldsterkte / magnetische inductie tesla (T) Lading (q) coulomb (C) Snelheid (v) meter per seconde (m/s)

In de onderstaande afbeelding zien we een elektron die naar rechts beweegt door een extern magneetveld. De veldlijnen van het magneetveld lopen van noord naar zuid. Ze gaan in deze afbeelding dus het papier in. Let erop dat de richting van de stroom tegen de beweging van het elektron in gaat. Met de linkerhandregel vinden we nu dat de lorentzkracht naar beneden wijst (ga dit na!). Als gevolg buigt het elektron naar beneden af.

Wat zou er gebeuren als we een positieve lading door dit magneetveld schieten? Bij een positieve lading wijst de stroom (I) wel in de bewegingsrichting van de deeltjes en als gevolg zal de lorentzkracht naar boven wijzen. De positieve lading zou dan omhoog afbuigen. Neutrale deeltjes trekken zich niks aan van het magneetveld en gaan gewoon rechtdoor.

Doordat deeltjes met verschillende lading verschillend afbuigen in een magneetveld, kan je op deze manier gemakkelijk bepalen of een deeltje positief of negatief geladen is. Hier wordt veelvuldig gebruik van gemaakt bij detectoren (zie de onderstaande afbeelding).

Zoals je in de bovenstaande afbeelding kunt zien, zorgt de lorentzkracht ervoor dat geladen deeltjes in cirkels gaan bewegen (in deze afbeelding worden de cirkelbanen steeds kleiner door de wrijvingskracht, maar in een vacuümruimte zou dit niet gebeuren). Bij een cirkelbaan kunnen we de lorentzkracht gelijk stellen aan de middelpuntzoekende kracht:

Door deze formule om te schrijven kunnen we bijvoorbeeld de massa van geladen deeltjes bepalen:

De belangrijkste toepassing van de lorentzkracht is de elektromotor. Een elektromotor zet elektrische energie om in kinetische energie. Hieronder zien we de meest simpele vorm van een elektromotor. Een elektrische stroom binnen een magneetveld zorgt dat er lorentzkrachten gaat werken op de in blauw aangegeven stroomdraad. Deze krachten roteren het draad totdat het in een verticale positie komt te staan.

Om het draad nu verder te laten roteren is het nodig dat de krachten omdraaien. Dit gebeurt in deze opstelling automatisch, doordat vanaf dit moment de stroomrichting in het draad omdraait. Dit gebeurt dankzij de collector. Dit is een cilindervormig onderdeel dat bestaat uit twee geleidende halve schijven, met daartussen een stukje isolerend materiaal. In de bovenstaande afbeelding is het ene deel van de collector verbonden met de plus en het andere deel met de min. Als de collector echter genoeg draait, zal de dit omdraaien. Hierdoor draait de stroomrichting in de lus om en als gevolg ook de lorentzkracht. Op deze manier blijft het lusje draaien. In de animatie op de website is dit proces beter te zien. (zie de onderstaande animatie).

In werkelijkheid wordt er in plaats van een enkele draad een hele spoel gebruikt. De lorentzkracht werkt nu op elke winding van de spoel, waardoor de resulterende kracht veel groter wordt.

Bepalen van de richting van de lorentzkracht en rekenen met de lorentzkracht

Beschrijf het gebruik van de linkerhandregel. Teken in de onderstaande afbeelding de richting van het magneetveld van beide draden en de richting van de lorentzkracht. De pijlen in de afbeelding geven de stroomrichting aan. Een leerling maakt de volgende schakeling van een zestal dezelfde draden (zie de linker onderstaande afbeelding). De ampèremeter geeft 25 A aan. In de rechter afbeelding is ingezoomd op draad 2, 3 en 4: Bepaal in welke richting de lorentzkracht werkt op punt Q. Teken hiervoor ook de relevante magneetvelden en geef aan in welke richting de stroom loopt. De sterkte van het magneetveld om een draad wordt gegeven door: $$ B = \frac{\mu_0I}{2\pi r} $$ μ0 is de magnetische permeabiliteit en is te vinden in BINAS tabel 7. r is de afstand tot de draad in meter. De draden 3 en 4 bevinden zich op een afstand van 4,0 cm van elkaar en hebben een lengte van 50 cm. Bereken de grootte van de lorentzkracht op draad 4. (bron: examen VWO 2013-2) Bij verval van Seleen-82 komen twee elektronen vrij (ook wel β--deeltjes genoemd). Dit weten we door het seleenatoom in een sterk magneetveld plaatsten. De deeltjes maken dan de baan zoals in de afbeelding geschetst is. In welke richting loopt het magneetveld. Licht je antwoord toe. Leg uit hoe het pad van een positron eruit had gezien (een positron is een positief geladen elektron). (bron: examen VWO 1993-1) In de onderstaande afbeelding zijn twee keer twee stroomkringen weergegeven, die zich boven elkaar bevinden: Teken de magneetvelden die de loopjes genereren en de lorentzkrachten die deze magneetvelden tot gevolg hebben. Schrijf ook bij elke stroomkring waar de noord- en zuidpool zich bevinden. In de vorige vraag zien we waarom elektromagneten elkaar afstoten of aantrekken. Dit komt door de lorentzkracht. Een permanente magneet werkt ook op deze manier. Wat zorgt bij een permanente magneet voor de stroomloopjes waardoor magneten elkaar afstoten of aantrekken? Als je een permanente magneet warm maakt, dan verdwijnen de magnetische eigenschappen. Verklaar dit. In de onderstaande afbeelding zien we een schakeling bestaande uit twee metalen balkjes en een metalen cilinder die vrij kan bewegen over twee metalen balkjes. Tussen punt P en Q wordt een batterij aangesloten die een stroomsterkte van 1,2 A levert. De schakeling wordt van boven af bekeken. We laten een magneetveld met een magnetische inductie van 0,10 T van boven naar beneden op de schakeling vallen. De balkjes zijn 20 cm lang en de afstand tussen de balkjes is 10 cm. Als de stroomkring gesloten wordt, begint de cilinder naar links te bewegen. Geef de richting van de stroom. Licht je antwoord toe. Bereken de lorentzkracht die op de cilinder werkt. In de onderstaande afbeelding zien we de sporen van deeltjes in een zogenaamd bubbelvat. Deeltjes laten in dit vat een spoor van bubbeltjes achter die gefotografeerd kunnen worden. Over het vat staat ook een extern magnetisch veld. Dit veld zorgt ervoor dat er een lorentzkracht gaat werken op de geladen deeltjes. In het onderstaande voorbeeld zien we een foton (een lichtdeeltje) dat plotseling verandert in een elektron en een positron (een positron is een positief geladen elektron). Bepaal met behulp van de afbeelding de richting van het magneetveld. Nadat de deeltjes ontstaan, beginnen ze aan een cirkelbaan in het magneetveld. Door de wrijvingskracht die de deeltjes ondervinden spiraliseren ze naar binnen. In het eerste deel van de beweging heeft de wrijvingskracht echter nog weinig invloed gehad op de beweging. Op dat moment had de baan van het elektron een straal van 0,50 cm. Bereken de oorspronkelijk snelheid van het elektron. De magnetische inductie van het externe magneetveld is 0,214 T. Je haalt een ventilator uit elkaar en vindt de schakeling die hieronder schematisch getekend is: Wat is de richting van het magneetveld tussen de twee spoelen in? Wat zijn de richtingen van de kracht op het draadstuk DE en FG? In de afbeelding is een cilindervormig apparaat afgebeeld genaamd een commutator (ook wel een collector genoemd). Waarom is het cilindervormige apparaat nodig om de ventilator in beweging te laten blijven? Werkt de ventilator ook als we de gelijkspanningsbron vervangen door een wisselspanningsbron. Leg je antwoord uit. In werkelijkheid wordt de enkele winding DEFG vervangen door een spoel met N windingen. Dit zorgt ervoor dat op zijde DE en FG van de spoel elk een lorentzkracht van 15 N wordt uitgeoefend, genoeg om de ventilator te laten draaien. De magnetische inductie is gelijk aan 10 T, draadstukken DE en FG zijn elk 3,0 cm lang en de stroomsterkte is 200 mA. Bereken het aantal windingen dat gebruikt is. Lood in ertsen uit mijnen bestaat voornamelijk uit de isotopen lood-206, lood-207 en lood-208 (het getal achter het isotoop geeft het massagetal van de isotoop). Om na te gaan of een bepaalde isotoop in een stofmengsel aanwezig is, kan een massaspectrometer gebruikt worden. Hieronder is een massaspectrometer schematisch weergegeven: Het stofmengsel wordt eerst gasvormig gemaakt en daarna onder lage druk in de ionisatieruimte (1) gebracht. De geïoniseerde moleculen of atomen komen vervolgens in een vacuümruimte (2). Hierin worden ze door een elektrisch veld versneld. In ruimte (3) worden ze door een magnetisch veld afgebogen en ten slotte in punt Q gedetecteerd. Een mengsel met éénwaardige positieve ionen van lood-206, lood-207 en lood-208 komt met een te verwaarlozen beginsnelheid in ruimte (2). Beredeneer welke van de drie isotopen in P de grootste snelheid heeft. Vervolgens worden de deeltjes afgebogen door het magnetisch veld. De ionen doorlopen een halve cirkelbaan. Bepaal de richting van het magnetisch veld in ruimte (3). Geef daartoe eerst in punt S de richtingen aan van de snelheid en de lorentzkracht. In punt Q worden de ionen gedetecteerd. Uit de sterkte van het magnetisch veld B en de versnelspanning UAB kan worden afgeleid om welke isotoop het gaat. De massa van een isotoop kan worden berekend met de volgende formule: $$ m = \frac{B^2qr^2}{2U_{AB}} $$ Leid deze formule af met behulp van formules uit BINAS. De sterkte van het magnetisch veld wordt ingesteld op 0,182 T. De afstand PQ bedraagt 56,0 cm. Bereken de versnelspanning waarbij lood-207-ionen in de detector in punt Q terechtkomen. (bron: examen VWO 2010-1) Een Ca2+-ion met een massagetal van 48 wordt vanuit stilstand versnelt tussen twee geladen platen waarover een spanningsverschil van 2,40 kV staat. Het versnelde ion komt dan in een extern magneetveld terecht. Het ion maakt in dit magneetveld een halve cirkelbaan met een diameter van 52,6 cm. Bereken de grootte van de magnetische inductie B van dit externe veld. Een leerling maakt zelf een simpele luidspreker. De luidspreker bestaat uit een papieren conus die heen en weer kan bewegen om geluidsgolven te produceren. Aan de conus is een spoel bevestigd en wordt over de zuidpool van een permanente magneet geschoven (zie de onderstaande afbeelding). Leg uit in welke richting de stroom moet stromen om de conus in te schuiven. En in welke richting om de conus uit te schuiven?

§4     Inductie

In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe we met een stroom en een magneetveld een kracht kunnen opwekken. In deze paragraaf gaan we zien dat we met een veranderend magneetveld een stroom kunnen opwekken. We noemen dit inductie.

Eerder in dit hoofdstuk hebben we gelezen dat bewegende ladingen zorgen voor een magneetveld. In deze paragraaf gaan we het omgekeerde proces bestuderen: een veranderend magneetveld kan ervoor zorgen dat ladingen gaan bewegen. We kunnen dit bijvoorbeeld zien als we een magneet bewegen in de buurt van een spoel. Door het bewegen van de magneet gaat er een stroom lopen door de schakeling. Op deze manier kunnen we kinetische energie (de beweging van de magneet) omzetten in elektrische energie. We noemen dit effect inductie.

Inductie vindt o.a. plaats in een dynamo. De beweging van het wiel van je fiets zorgt voor de beweging van magneten in de dynamo. Deze bewegende magneten zorgen er weer voor dat er een stroom gaat lopen door een spoel en hiermee gaat je lamp branden.

Om de grootte van deze inductiespanning te kunnen bepalen, moeten we eerst het begrip flux (φ) begrijpen. De flux is een maat voor de hoeveelheid magnetische veldlijnen die door een oppervlak (A) steekt. Neem bijvoorbeeld een stroomdraad in de vorm van een vierkant (zie de linker onderstaande afbeelding). In de rechter drie afbeeldingen zien we deze draad van de zijkant in een extern magnetisch veld. Door de draad te kantelen kunnen we meer of minder veldlijnen door dit oppervlak laten prikken. Hoe minder veldlijnen er door dit oppervlak prikken, hoe kleiner de flux. In de meest rechtse afbeelding is de flux zelfs nul.

De grootte van de flux kunnen we met de volgende formule berekenen:

$$ \phi = B_\perp A $$ Flux (φ) weber (Wb) Magnetische veldsterkte / magnetische inductie (B) tesla (T) Oppervlak (A) vierkante meter (m2)

B_⊥ staat voor de component van de magnetische inductie in de richting loodrecht op het oppervlak (zie de onderstaande afbeelding).

Een verandering van de flux in de tijd zorgt dat er een spanning (U) ontstaat. We noemen dit de inductiespanning (U_ind). De grootte van deze spanning kunnen we als volgt berekenen:

$$ U_{ind} = -N \frac{d\phi}{dt} $$ Inductiespanning (Uind) volt (V) Flux (φ) weber (Wb) Tijd (t) seconde (s) Aantal windingen (N) windingen

In ons vierkante stroomlusje was het aantal windingen (N) gelijk aan 1, maar deze formule kan dus ook gebruikt worden voor een spoel met N windingen. dφ/dt is de afgeleide van de flux naar de tijd. Er geldt dus dat hoe sneller de flux verandert, hoe groter de inductiespanning wordt. Als de flux constant is, dan wordt deze afgeleide nul en is er dus geen spanning.

Er zijn een aantal manieren om de flux te veranderen. We hebben hierboven bijvoorbeeld gezien dat dit kan door de stroomkring te roteren in een magneetveld. Een andere manier is door de stroomkring in en uit een magneetveld te bewegen (zie de eerste onderstaande afbeelding) of door het magneetveld in en uit de stroomkring te bewegen (zie de tweede afbeelding). In de derde afbeelding ontstaat geen inductiespanning. Hoewel de stroomkring beweegt in het magneetveld, blijft het aantal veldlijnen dat door de stroomkring prikt gelijk en als gevolg hebben we geen fluxverandering en dus ook geen inductiespanning.

Een andere belangrijke toepassing van inductie is de transformator. In de onderstaande afbeelding is te zien dat een transformator uit twee schakelingen bestaat. De linker schakeling bestaat uit een wisselspanningsbron en een spoel. De wisselspanning zorgt voor een veranderd magneetveld in de spoel. Dit veranderend magneetveld zorgt voor een fluxverandering in de spoel in de rechter schakeling en als gevolg gaat hier een inductiestroom lopen.

De transformator heeft een aantal nuttige toepassingen. Een transformator kan bijvoorbeeld gebruikt worden om elektrische tandenborstels op te laden zonder dat er bedrading loopt van de oplader naar de tandenborstel. Als gevolg kunnen we de tandenborstel veilig gebruiken in de badkamer zonder het risico dat er kortsluiting ontstaat.

Een transformator kan ook gebruikt worden om de spanning omhoog of omlaag te transformeren. Over een stopcontact staat bijvoorbeeld altijd een spanning van 230 V. Dit is voor veel apparaten echter veel te hoog. Laptops werken bijvoorbeeld op zo'n 20 V. Door een goede verhouding te kiezen tussen de windingen van de twee spoelen kan de spanning omhoog of omlaag getransformeerd worden.

Redeneren met flux en inductiespanning

Leg uit hoe je een inductiestroom opwekt. Gebruik in je antwoord het woord 'flux'. Leg uit of er in de onderstaande voorbeelden een inductiestroom gaat lopen of niet. Leg je antwoorden telkens uit.

Rekenen met flux en inductiespanning

In de onderstaande afbeelding zien we een stroomlusje met daarin opgenomen een lampje en een metalen cilinder van 10 cm die vrij kan bewegen over twee metalen balkjes. De schakeling wordt van boven af bekeken. Over de schakeling werkt een magneetveld met een magnetische inductie van 0,10 T. Dit magneetveld wijst van boven naar beneden. Een persoon beweegt de cilinder handmatig naar links. Treedt er hierdoor een inductiestroom op? Leg je antwoord uit. Op het lampje staat dat deze optimaal brandt bij 3,0 V. Laat zien dat de cilinder met een snelheid van 300 m/s bewogen moet worden om het lampje op deze manier te laten branden. Bereken hiervoor eerst de fluxverandering die in de eerste seconde zou ontstaan. We zouden deze snelheid ook op een andere manier kunnen uitrekenen. Als we de cilinder in de richting weg van de lamp bewegen, dan gaat er een lorentzkracht werken op de elektronen in de cilinder. Hierdoor ontstaat aan de ene kant van de cilinder een ophoping van negatieve ladingen en aan de andere kant een ophoping van positieve ladingen. De cilinder werkt dan als een spanningsbron, waardoor er een stroom gaat lopen door het lampje. Ga na aan welke kant van de cilinder de positieve ladingen ophopen en aan welke kant de negatieve ladingen ophopen. Geef op basis van dit antwoord de stroomrichting door het lampje. De ophoping van ladingen aan de uiteinden van de cilinder zorgt voor een spanningsverschil. Dit spanningsverschil bouwt op totdat de elektrische kracht opgewekt door dit spanningsverschil even groot is als de lorentzkracht. Er geldt dan dus: $$ F_{el} = F_L $$ Bereken hiermee nogmaals de snelheid waarmee we de cilinder moeten bewegen. Gebruik hierbij dat: $$ E = \frac{U}{d} $$ d is hier de afstand tussen de polen (oftewel de lengte van de cilinder). Een spoel met 200 windingen wordt aan een krachtmeter gehangen in een homogeen magneetveld. Tussen punten P en Q wordt een spanningsbron aangesloten. In de grafiek wordt de relatie beschreven tussen de stroomsterkte in de draad en de kracht zoals deze werd afgelezen op de krachtmeter. Leg uit wat er gebeurt als de stroomsterkte toeneemt. Waarom begint de grafiek niet in de oorsprong? Hoe groot is de magnetische inductie B bij een stroomsterkte van 0,4 A? Loopt de stroom van P naar Q of van Q naar P? De spanningsbron wordt afgekoppeld en de punten P en Q worden met elkaar verbonden. We trekken de spoel een stukje uit zijn evenwichtstand en laten de spoel dan los. De spoel begint hierdoor op en neer te trillen in het magneetveld. Hieronder zien we de spoel op verschillende momenten tijdens een trilling afgebeeld. Schets een (flux,tijd)-diagram en een (spanning,tijd)-diagram, gebruikmakend van de tijden in de bovenstaande afbeelding. Geef in deze diagrammen met kruisjes aan op welke momenten de inductiestroom in de draad het grootst is. Een leerling maakt een opstelling bestaande uit twee magneten en een spoel (zie de onderstaande afbeelding). De twee magneten stoten elkaar af en als gevolg blijft de tweede magneet een stuk zweven boven de eerste magneet. Door de zwevende magneet een tikje te geven, begint deze te trillen. Dankzij inductie ontstaat dan een meetbare inductiestroom in de spoel. In het rechter diagram zien we hoe deze inductiespanning verandert in de tijd. De meting is niet direct bij het loslaten van de magneet gestart. Geef in het diagram aan op welke momenten de magneet zich in zijn uiterste standen bevindt. (bron: examen VWO 2005-2) Een persoon monteert een zelfgemaakte dynamo op zijn fietswiel. De persoon doet dit door een magneet aan een spaak te bevestigen en een spoel aan de voorvork van de fiets (zie de onderstaande foto). Als het wiel ronddraait, dan beweegt de magneet periodiek langs de spoel en creëert zo een inductiespanning. In het rechter diagram is deze spanning uitgezet tegen de tijd. Telkens als de magneet langskomt, wordt de spanning zowel negatief als positief. Leg uit waarom dit gebeurt. De oppervlakte onder de positieve piek is gelijk aan de oppervlakte onder de negatieve piek. Leg uit waarom dit noodzakelijk het geval moet zijn. Bij een inductiekookplaat wordt warmte opgewekt in de metalen bodem van een pan door middel van inductie. In de inductiekookplaat zit namelijk een spoel die aangesloten is op een wisselspanning. Leg uit hoe de pan verwarmd wordt door de inductiekookplaat. Een transformator kan worden gebruikt om spanning te verhogen of verlagen. Een dergelijk apparaat zit bijvoorbeeld in de adapter van een laptop. Hiermee wordt de 230 V van het stopcontact verlaagt wordt naar een spanning waarop de laptop goed functioneert. Een transformator bestaat uit twee spoelen (zie de onderstaande afbeelding). Leg uit hoe de transformator werkt. Leg ook uit waarom een transformator alleen werkt met een wisselspanning. Een leerling sleept een vierkant stroomlusje met zijden van 10 cm een homogeen magneetveld met een sterkte van 0,10 T binnen. De leerling trekt het lusje met een snelheid van 30 cm/s het magneetveld in. In het stroomlusje is ook een weerstand van 5,0 mΩ en een ampèremeter toegevoegd. Bereken wat de ampèremeter aan zal geven. Als we een magneet door een metalen buisje gooien, dan zal de magneet een stuk langzamer vallen dan je misschien zou verwachten. Leg uit hoe dit komt. Je laat een magneet door een stroomlusje vallen. In de onderstaande afbeelding zie je de magneet op verschillende momenten van de val. Schets in de onderstaande twee diagrammen hoe de spanning en de flux in de tijd zullen veranderen in de lus. Een persoon roteert een vierkante stroomlus in een homogeen magneetveld (zie de onderstaande afbeelding). De magnetische inductie van het veld is 0,50 T en de stroomlus heeft zijden van elk 3,0 cm. Bereken (!) in de drie bovenstaande afbeeldingen de flux. In de tweede afbeelding staat de stroomlus onder een hoek van 45 graden met de horizon. De lus draait met een omlooptijd van 1,0 seconde. Maak een (φ,t)-diagram van een volledige omlooptijd. Geef aan in welk van de bovenstaande afbeeldingen de inductiespanning nul is en in welke maximaal. Licht je antwoord toe. Bij het roteren wordt automatisch een wisselspanning opgewekt. Leg uit dat dit het geval is. Maak nu een (U,t)-diagram van een volledige omlooptijd. Bedenk hiervoor eerst hoe je de maximale inductiespanning kan bepalen met behulp van de grafiek die je bij vraag b getekend hebt. De lus wordt nu vervangen door een spoel met 300 windingen. Leg uit hoe het (U,t)-diagram hierdoor verandert.