In deze paragraaf herhalen
we het rekenen met de gemiddelde snelheid.
De gemiddelde
snelheid van een voorwerp kunnen we als volgt berekenen:
$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = v_{gem}$$
Verplaatsing (Δx)
meter (m)
Tijdsduur (Δt)
seconde (s)
Gemiddelde snelheid (vgem)
meter per seconde (m/s)
De x staat voor de positie van een
voorwerp. Het Δ-teken staat voor 'de toename van'. Δx
staat dus voor de toename van de positie. We noemen dit ook wel de verplaatsing.
Stel dat een voorwerp verplaatst van positie x = 1 meter
naar positie x = 5 meter in 8 seconden. Het voorwerp is dan natuurlijk 4 meter
verplaatst. Om dit antwoord te vinden hebben we de eindpositie (5 meter) min de
beginpositie (1 meter) gedaan (5 1 = 4 m). In formuletaal wordt dit:
$$ \Delta x = x_{eind} - x_{begin} $$
$$ \Delta x = 5 - 1 = 4 \text{ m} $$
De snelheid
wordt in dit geval:
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
$$ v = \frac{4}{8} = 0,5 \text{ m/s} $$
Stel dat een
voorwerp achteruit beweegt van positie x = 5 meter naar positie x = 1 meter in
2 seconden. De snelheid kunnen we dan als volgt berekenen:
Merk op dat de snelheid hier automatisch negatief
wordt als een voorwerp achteruit beweegt.
De SI-eenheid voor de snelheid is meter per seconde,
maar in het dagelijks leven wordt ook vaak kilometer per uur gebruikt.
Het is belangrijk dat we deze eenheden in elkaar om kunnen schrijven.
Stel we willen 80 km/h omrekenen naar m/s. We rekenen dan
eerst kilometer per uur om naar meter per uur:
$$ 80 \text{ km/h} = 80 000 \text{ m/h} $$
Dan rekenen we
meter per uur om naar meter per seconde:
Vraag: Een leerling is aan het hardlopen. Zijn doel is om
binnen drie minuten 1,0 kilometer te rennen. De leerling rent 3,0 minuten
lang met een snelheid van 18 km/h. Bereken of de leerling zijn doel bereikt
heeft.
Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en reken ze zoveel
mogelijk om in dezelfde eenheden. In dit voorbeeld kiezen we voor meter en
seconde:
Stap 5: Schrijf de conclusie op. Leg uit hoe je aan deze conclusie
komt. Denk ook aan de eenheid achter het antwoord:
9,0 Χ 102
m is minder dan 1,0 kilometer, dus de leerling heeft zijn doel niet bereikt.
Als een
voorwerp geleidelijk versnelt of vertraagt, dan spreken we van een eenparige
versnelling. In dit geval kunnen we de gemiddelde snelheid ook als volgt
uitrekenen:
Met de gemiddelde snelheid
kunnen we de afstand uitrekenen:
$$\Delta x = v_{gem} \times \Delta t $$
$$\Delta x = 25 \times 10 = 250 \text{ m}$$
De auto heeft tijdens de
versnelling dus 2,5 Χ 102 m afgelegd.
Rekenen met snelheid
1.Een auto rijdt in 30 s een
afstand van 600 m. Bereken de snelheid van de auto.
2.Een werper bij honkbal werpt de
bal met een snelheid van 160 km/h naar de slagman. Deze staat op een afstand
van 18,45 m. Bereken na hoeveel seconden de bal bij de slagman is.
3.Een leerling is aan het
hardlopen. Zijn doel is om binnen 50 seconden 200 meter te rennen. De
leerling rent met een snelheid van 16 km/h. Bereken of de leerling zijn doel
bereikt heeft.
4.Een Boeing vliegt binnen 55
minuten van Amsterdam naar Londen. De afstand tussen de vliegvelden is 358
kilometer. Bereken de gemiddelde snelheid van het vliegtuig.
5.Een automobilist rijdt met een
snelheid van 100 km/h van Amsterdam naar Utrecht. De afstand tussen deze
plaatsen is 34 km. De automobilist verlaat Amsterdam om 16:52 uur en wil om
17:12 uur in Utrecht aankomen. Komt de automobilist op tijd aan?
6.Een etappe in de Tour de France
heeft een afstand van 175 km. De geschatte aankomsttijd bij een snelheid van
44 km/h is 15:50 uur. Bereken de starttijd.
7.De aarde draait elke 365 dagen
een keer om de zon heen. De snelheid van de aarde is 30 km/s. Hoeveel meter
legt de aarde af in een jaar?
8.Twee leerlingen gaan een stuk
fietsen. Ze vertrekken tegelijkertijd vanaf hetzelfde punt. De eerste
leerling fietst met een snelheid van 3 m/s en de tweede met een snelheid van
7,5 m/s. Na 49 seconden loopt de ketting van de tweede leerling vast. Hoeveel
seconden moet de eerste leerling vanaf dit moment nog fietsen totdat hij de
tweede leerling inhaalt?
Rekenen met de gemiddelde snelheid
9.Een auto versnelt eenparig in 12
seconden van 10 m/s naar 35 m/s. Bereken de afstand die de auto tijdens de
beweging heeft afgelegd.
10.Een auto trekt met een eenparige
versnelling vanuit stilstand op tot 40 m/s en legt een afstand van 950 meter
af. Bereken hoe lang de auto over de versnelling heeft gedaan.
11.Een automobilist die met een
snelheid van 80 km/h rijdt, trapt op zijn rem totdat hij eenparig tot
stilstand is gekomen. Het remmen duurt 4 seconden. Bereken de remweg van de
bestuurder.
12.Een parachutespringer valt met
een snelheid van 200 km/h. Dan trekt de springer zijn parachute open. Na 0,70
s is zijn snelheid eenparig afgenomen tot 40 km/h. Bereken hoeveel meter de
parachutist in de tussentijd heeft afgelegd.
13.Een auto trekt binnen 4,0 s op
met een eenparige versnelling tot een snelheid van 70 km/h. Bereken welke afstand
de auto heeft afgelegd tijdens het optrekken.
14.Een persoon laat een bal vanuit
stilstand vallen van een gebouw met een hoogte van 100 m. De bal versnelt
hierdoor eenparig tot een snelheid van 44 m/s. Bereken de valtijd van de bal.
15.Een persoon laat een bal vanuit
stilstand vallen van een gebouw met een hoogte van 100 m. Het duurt 4,5
seconde voordat de bal beneden aankomt.
a.Bereken de gemiddelde snelheid van de bal.
b.Bereken de eindsnelheid van de bal. Je mag ervan uit gaan dat de
versnelling eenparig was.
16.Een bestuurder van een brommer
probeert een tractor in te halen. Hij versnelt hiervoor eenparig gedurende 4
seconden en legt in deze tijd 100 meter af. Zijn beginsnelheid was 10 m/s.
Bereken de snelheid van de brommer na de versnelling.
17.Een automobilist versnelt
eenparig over een afstand van 1500 meter en behaalt een eindsnelheid van 40
m/s. De versnelling heeft 50 seconden geduurd. Bereken de beginsnelheid van
de auto.
In deze
paragraaf herhalen we het rekenen met de versnelling.
De versnelling
(a) van een voorwerp kunnen we als volgt uitrekenen:
$$ \frac{\Delta v}{\Delta t} = a $$
Toename van snelheid (Δv)
meter per seconde (m/s)
Tijdsduur (Δt)
seconde (s)
Versnelling (a)
meter per seconde per seconde (m/s2)
De eenheid van de versnelling is m/s2.
Wat betekent dit? Stel dat de snelheid van een voorwerp elke seconde 1 meter
per seconde toeneemt. We zeggen dan dat de snelheid 1 meter per seconde per
seconde toeneemt. De eenheid van de versnelling is dus m/s/s en dit
korten we ook wel af tot m/s2.
Δv staat voor de toename van de snelheid.
Hier geldt:
$$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$
Stel dat de
snelheid van een voorwerp oploopt van 1,0 m/s tot 4,0 m/s in 6,0 seconden. We
berekenen de versnelling dan als volgt:
$$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$
$$ \Delta v = 4,0 - 1,0 = 3,0 \text{ m/s} $$
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$
$$ a = \frac{3,0}{6,0} = 0,50 \text{ m/s}^2 $$
We hebben het in dit hoofdstuk gehad over de toename van
de snelheid (Δv) en de gemiddelde snelheid (vgem). Bij het
beantwoorden van vragen is het belangrijk deze begrippen goed uit elkaar te
houden. In het bovenstaande voorbeeld is de toename van de snelheid gelijk aan
4,0 - 1,0 = 3,0 m/s. De gemiddelde snelheid is (1,0 + 4,0)/2 = 2,5 m/s.
Ook vertraging kunnen we met deze formule
beschrijven. Stel dat een auto gedurende 4,0 seconden vertraagt van 40 m/s naar
12 m/s. Hoe groot is in dat geval de versnelling? Dit rekenen we als volgt uit:
$$ \Delta v = v_{eind} - v_{begin} $$
$$\Delta v = 12 - 40 = -28 \text{ m/s}$$
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$
$$ a = \frac{-28}{4,0} = -7,0 \text{ m/s}^2$$
Een versnelling
van -7,0 m/s2 is dus gelijk aan een vertraging van 7,0 m/s2.
Let er op dat dit niet hoeft te betekenen dat het voorwerp achteruit
beweegt! Een remmende auto vertraagt bijvoorbeeld, maar gaat wel vooruit.
Stappenplan: Rekenen met versnelling
Opdracht: Een auto versnelt eenparig van 36 km/h
naar 90 km/h en legt tijdens deze versnelling 105 meter af. Bereken de
versnelling van de auto.
Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en reken ze zoveel
mogelijk om in dezelfde eenheden.
Stap 3: Schrijf de formules op en geef aan
welke gegevens je weet en welk gegeven je wilt weten:
Stap 4: Bedenk welke formule je wilt gebruiken:
In dit
voorbeeld willen we de versnelling berekenen met de rechter formule, maar we
hebben nog niet alle gegevens om dit te kunnen doen. We beginnen daarom met
de linker formule.
Stap 5: Schrijf de formule zo nodig om en vul hem in:
$$ \Delta t = \frac{\Delta x}{v_{gem}} $$
$$ \Delta t = \frac{105}{17,5} = 6,0 \text{ s} $$
Stap 6: Gebruik nu de andere formule:
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$
$$ a= \frac{15}{6,0} = 2,5 \text{ m/s}^2 $$
Stap 7: Schrijf de conclusie op en denk aan de eenheid:
De
versnelling van de auto is 2,5 m/s2
Rekenen en redeneren met de eenheid van versnelling
1.Leg duidelijk uit waarom de
eenheid van de versnelling m/s/s (oftewel m/s2) is.
Rekenen met Δv/Δt = a en Δx/Δt = vgem
Level 1:
2.Een auto versnelt gelijkmatig
vanuit stilstand tot een snelheid van 30 m/s. Tijdens deze versnelling legt
de auto 90 m af. Bereken de versnelling van deze auto.
3.Een auto versnelt gelijkmatig van
20 km/h tot een snelheid van 100 km/h. De auto heeft gedurende deze periode
een versnelling van 5 m/s2. Bereken de afstand die de auto heeft
afgelegd.
4.Een F-18 wil door de
geluidsbarriθre heen en versnelt daarom gelijkmatig van 1000 km/h naar 1500
km/h. Gedurende deze versnelling heeft het vliegtuig een versnelling van 21,5
m/s2. Hoeveel meter heeft de F-18 tijdens deze versnelling afgelegd?
5.Een auto versnelt met een
versnelling van 2,5 m/s2. Tijdens deze versnelling was de
gemiddelde snelheid van de auto 75 km/h. De auto legt gedurende de
versnelling 400 m af. Bereken de toename van de snelheid.
6.De maffiabaas plaatst om zijn kantoorruimte
een dikke muur om zichzelf te beschermen. De muur is 120 cm dik en is gemaakt
van schuimplastic. De eigenaar test de muur door er op te schieten. Een kogel
wordt met een snelheid van 210 m/s loodrecht in de muur geschoten. De kogel
dringt 83 cm in het schuimplastic door voordat hij tot stilstand komt.
Bereken de versnelling van de kogel in het schuimplastic.
7.Een vliegtuig landt met 80 m/s op
de startbaan en remt in 20 s eenparig af tot stilstand. Bereken hoeveel meter
het vliegtuig aflegt voordat het tot stilstand komt.
8.Beschrijf het verschil tussen de
gemiddelde snelheid en de toename van de snelheid.
Level 2:
9.Een raceauto trekt vanuit een
onbekende beginsnelheid op naar een snelheid van 83,3 m/s. Het optrekken
duurt 3,4 s en de versnelling is 6,6 m/s2. Bereken de
beginsnelheid.
10.Een auto rijdt met een constante
snelheid op een rechte weg. Plotseling steekt een hert de weg over. De
automobilist maakt een noodstop en komt 4,3 s later en 45 meter verderop tot
stilstand. Bereken met welke snelheid (in km/h) hij oorspronkelijk reed.
11.Een vliegtuig wacht op de
startbaan om te vertrekken. Na goedkeuring door de verkeerstoren trekt het
vliegtuig vanuit stilstand eenparig versneld op. Na 35 s komt het vliegtuig
los van de startbaan. Het heeft dan 1200 m op de startbaan gereden. Bereken
met welke snelheid het vliegtuig loskomt van de grond.
12.Een maffiabaas plaatst een wand
van schuimplastic om zijn kantoor om zich te beschermen. De muur is 120 cm
dik. De eigenaar test de muur door er op te schieten. Een kogel wordt
loodrecht in de muur geschoten met een onbekende beginsnelheid. De kogel komt
er aan de andere kant weer uit met een snelheid van 120 m/s. De gemiddelde
snelheid van de kogel in de muur is 182 m/s. Bereken de vertraging van de
kogel in het schuimplastic.
13.Een parachutespringer opent zijn
parachute waardoor zijn snelheid 160 km/h afneemt. Zijn vertraging tijdens de
sprong was gelijk aan 22 m/s2. Tijdens deze vertraging heeft de
springer 50 m afgelegd. Bereken de snelheid op het moment dat de parachutespringer
zijn parachute opende.
In deze paragraaf herhalen we het werken met zogenaamde (x,t)-diagrammen.
Een (x,t)-diagram is een diagram met op de
horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de positie
(x). Hieronder is een aantal bewegingen beschreven met behulp dit type
diagram. Links zien we een grafiek die horizontaal loopt. De positie x
verandert hier niet in de tijd. Het voorwerp staat hier dus stil. In de
tweede afbeelding zien we een voorwerp dat zich geleidelijk verplaatst. Elke
seconde wordt er evenveel meter afgelegd. We spreken hier van een constante
snelheid of een eenparige beweging.
In de
onderstaande linker afbeelding zien we een grafiek die steeds steiler gaat
lopen. We zien dat in de eerste drie seconden slechts 0,5 meter wordt afgelegd
en dat in de laatste drie seconden wel 4,5 m wordt afgelegd. Hoe steiler
de lijn dus loopt, hoe sneller het voorwerp verplaatst. We hebben hier
dus te maken met een versnelling. Rechts zien we een grafiek die steeds
minder steil gaat lopen. Hier hebben we dus te maken met een vertraging.
Met behulp van
een (x,t)-diagram kunnen we ook de snelheid uitrekenen. In het onderstaande
diagram is de verplaatsing Δx gelijk aan 4,0 meter. De tijdsduur Δt
van de beweging is 6,0 seconden. De snelheid is dus gelijk aan:
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
$$ v = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}$$
In de
onderstaande afbeelding is de snelheid niet constant. Toch kunnen we hier
dezelfde formule gebruiken. We vinden in dat geval niet 'de snelheid', maar de gemiddelde
snelheid:
$$ v_{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
$$ v_{gem} = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}$$
Herkennen en schetsen van bewegingen in een (x,t)-diagram
1.
Behaal 15 punten:
2.Noteer waar je op moet letten bij
het aflezen van een (x,t)-diagram. Hoe herken je stilstand, constante
snelheid, versnelling en vertraging. En hoe herken je vooruit en achteruit
bewegen.
3.Beschrijf de beweging
van de voorwerpen in de volgende (x,t)-diagrammen.
4.Schets de volgende
(x,t)-diagrammen:
a.Mario rent een tijdje met constante snelheid vooruit. Daarna gaat hij
versnellen.
b.Mario staat eerst stil, maar dan gaat hij steeds sneller rennen. Als
hij zijn gewenste snelheid bereikt heeft rent hij met constante snelheid
verder.
c.Mario rent even met constante snelheid. Dan gaat hij steeds langzamer
rennen tot hij stil staat. Hij blijft dan even uitrusten, maar daarna gaat
hij weer versnellen.
d.Mario gooit zijn pet recht omhoog de lucht in. Uiteindelijk valt de
pet op de grond.
e.Mario laat zijn pet uit zijn hand vallen. Uiteindelijk valt de pet op
de grond.
Bepalen van de snelheid met behulp van een (x,t)-diagram
5.Bereken de snelheid van de
voorwerpen die in de volgende (x,t)-diagrammen beschreven zijn.
6.Hiernaast zien we het (x,t)-diagram die de beweging
van een parachutespringer beschrijft. De x staat hier voor de hoogte van de
springer.
a.Bepaal op welke hoogte de parachute werd geopend. Leg uit hoe je op
dit antwoord bent gekomen.
b.Bereken de beginsnelheid van de springer. Leg uit hoe je op dit
antwoord bent gekomen.
c.Bereken de maximale snelheid die de springer bereikt. Leg uit hoe je
op dit antwoord bent gekomen.
7.Twee personen lopen elkaar
tegemoet. Op tijdstip t = 0 zijn ze 60 m van elkaar verwijderd. Persoon A loopt
met een snelheid van 2 m/s en persoon B rent met een snelheid van 4,5 m/s.
Vind uit op welke plek ze elkaar ontmoeten. Teken hiervoor eerst het
bijbehorende (x,t)-diagram.
8.Een schildpad en een haas
proberen elkaar te verslaan in een sprint. Omdat de haas veel vertrouwen
heeft in zijn snelheid, geeft hij de schildpad 100 meter voorsprong. De haas
heeft een snelheid van 5 m/s. De haas haalt de schildpad in na 25 seconden.
Bereken de snelheid van de schildpad. Teken hiervoor eerst het bijbehorende
(x,t)-diagram.
9.Hieronder zien we twee bewegingen
weergegeven in een (x,t)-diagram. Bepaal in beide gevallen de gemiddelde
snelheid. Vergelijk daarna de antwoorden. Verklaar wat je ziet.
In deze paragraaf herhalen we het werken met zogenaamde
(v,t)-diagrammen. We gaan hier ook bespreken hoe we beweging achteruit in deze
diagrammen weergeven.
Een (v,t)-diagram is een diagram met op de
horizontale as de tijd (t) en op de verticale as de snelheid
(v). Hieronder is een aantal voorbeelden afgebeeld. Links zien we een
grafiek waarbij de snelheid de gehele beweging gelijk is aan 0 m/s. De
auto staat in dit geval dus stil. In de tweede afbeelding zien we een
auto waarbij de snelheid de gehele tijd 2,0 m/s blijft. Hier hebben we dus te
maken met een constante snelheid.
In de linker
onderstaande afbeelding zien we een diagram waarbij de snelheid toeneemt. Er is
hier dus sprake van een versnelling. Rechts neemt de snelheid juist af.
Hier hebben we dus te maken met een vertraging. Let erop dat een
vertraging niet betekent dat het voorwerp achteruit gaat. In dit geval gaat het
voorwerp vooruit, maar steeds langzamer!
In een eerdere
paragraaf hebben we gezien dat voorwerpen die achteruit gaan een negatieve
snelheid hebben. In (v,t)-diagrammen betekent dit dat we gebruik moeten
maken van de negatieve as. Hieronder zien we een voorbeeld. We zien hier
een voorwerp dat eerst vooruit vertraagt en daarna achteruit versnelt.
Met een (v,t)-diagram kunnen we ook de versnelling bepalen. In het onderstaande
diagram is de toename van de snelheid Δv gelijk aan 4,0 m/s. De tijdsduur
Δt van de beweging is 6,0 seconden. De versnelling is dus gelijk aan:
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$
$$ a = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}^2 $$
In de
onderstaande afbeelding is de versnelling niet eenparig. Toch kunnen we hier
dezelfde formule gebruiken. We vinden in dat geval niet 'de versnelling', maar
de gemiddelde versnelling:
De gemiddelde snelheid is ook te bepalen met behulp van een
(v,t)-diagram. Stel dat we bijvoorbeeld de gemiddelde snelheid willen weten van
de onderstaande beweging van tijdstip t = 1,0 s tot t = 5,0 s. We trekken
hiervoor een horizontale lijn, waarbij oppervlaktes boven de grafiek
maar onder de lijn (A) gelijk zijn aan
oppervlaktes onder de grafiek maar boven de lijn (B). Deze
lijn geeft dan de gemiddelde snelheid aan. In dit geval is de gemiddelde
snelheid 3,7 m/s.
Redeneren met (v,t)-diagrammen
1.
Behaal ook hier 15 punten. Let op! Nu zitten (x,t)- en (v,t)-diagrammen door elkaar!
2.Noteer waar je op moet letten bij
het aflezen van een (v,t)-diagram. Hoe herken je stilstand, constante
snelheid, versnelling en vertraging. Noteer ook hoe je achteruit beweging
weergeeft.
3.Beschrijf de beweging in de volgende
diagrammen. Geef telkens aan of het voorwerp versnelt of vertraagt. Geef ook
aan of het voorwerp vooruit of achteruit beweegt.
4.Schets de volgende
v,t-diagrammen:
a.Mario gaat eerst met constante snelheid vooruit. Dan staat hij stil.
b.Mario begint langzaam te rennen met een constante snelheid. Na een
tijdje versnelt hij.
c.Mario begint erg snel te rennen, maar zijn snelheid neemt telkens een
beetje af. Op een gegeven moment heeft hij een snelheid bereikt waarbij hij
goed kan blijven rennen. Vanaf dat moment blijft hij met een constante
snelheid rennen.
d.Mario gooit zijn pet recht omhoog de lucht in. Uiteindelijk komt de
pet op de grond te liggen.
5.Schets bij de volgende
(x,t)-diagrammen het bijbehorende (v,t)-diagram:
6.Schets bij de volgende
(v,t)-diagrammen het bijbehorende (x,t)-diagram:
7.In het onderstaande (v,t)-diagram
wordt de beweging van een omhooggeschoten kogel beschreven.
a.Beschrijf de beweging tussen tijdstip t = 0 en t = 3
s.
b.Beschrijf de beweging tussen tijdstip t = 3 en t = 6
s.
8.In het onderstaande diagram is de
beweging van een raket beschreven die eerst opstijgt en daarna weer land.
a.Leg uit op welk tijdstip de raket zijn hoogste punt
bereikt.
b.Leg uit of de raket de eerste 5 seconden versnelt of
vertraagt.
c.Leg uit of de raket tussen t = 15 s en t = 25
seconde versnelt of vertraagt.
Bepalen van de versnelling en de gemiddelde snelheid in
een (v,t)-diagram
9.Bereken de versnelling van de
volgende beweging:
10.Het volgende diagram bestaat uit
drie delen. Bereken voor elk deel de versnelling.
11.Bepaal de gemiddelde snelheid van
de volgende bewegingen:
12.In de onderstaande afbeelding
zien we het (v,t)-diagram van een zwemslag. Zoals je ziet zitten er twee
pieken in de snelheid. De eerste komt van de beweging van de armen en de
tweede van de beweging van de benen.
a.Bereken de gemiddelde snelheid van de zwemmer tijdens de eerste 0,5
seconden.
b.Bereken hoeveel afstand de zwemmer in deze tijd heeft afgelegd.
(bron: examen VWO 2011-2)
In
deze paragraaf herhalen we hoe we in (x,t)-diagrammen de snelheid op een
bepaald tijdstip kunnen bepalen. We doen dit met de zogenaamde raaklijn.
In
het onderstaande (x,t)-diagram is de snelheid niet constant. Op elk tijdstip
hebben we hier dus een andere snelheid. Als we bijvoorbeeld de snelheid op
tijdstip A willen bepalen, dan kunnen we dit doen door een klein driehoekje te
tekenen en hiermee de snelheid te berekenen (zie de linker afbeelding). Dit is
echter lastig meten en levert daardoor een zeer onnauwkeurig antwoord op. We
kunnen dit probleem oplossen door het kleine lijnstukje in beide richtingen
zoveel mogelijk te verlengen (zie de rechter afbeelding). De verlengde lijn
noemen we een raaklijn. Omdat de raaklijn net zo steil loopt als het
oorspronkelijke lijntje vinden we hier dezelfde snelheid.
De
snelheid op tijdstip A is in dit geval gelijk aan:
$$ v = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s} $$
Er
geldt dat hoe steiler de raaklijn loopt, hoe groter de snelheid
is.
We
kunnen iets soortgelijks doen in een (v,t)-diagram. In dit type diagram is de
raaklijn gelijk aan de versnelling op een specifiek tijdstip.
De
versnelling op tijdstip A is in het rechter geval gelijk aan:
$$ a = \frac{4,0}{6,0} = 0,67 \text{ m/s}^2 $$ Er geldt hier dat hoe steiler de
raaklijn loopt, hoe groter de versnelling is.
Bepalen van de snelheid op een tijdstip met een raaklijn
1.Bereken de snelheid op tijdstip t
= 2,0 s:
2.Beschrijf hoe je de snelheid kan
bepalen op een specifiek moment met behulp van een (x,t)-diagram.
3.Bereken de snelheid op tijdstip t
= 5,0 s.
4.Bereken de beginsnelheid, de
eindsnelheid en de snelheid op tijdstip t = 3,0 s.
5.In het onderstaande diagram wordt
de beweging van een bal beschreven die over de grond rolt en tot stilstand
komt. Op tijdstip t = 0 s werd de bal losgelaten. Wat was de beginsnelheid
van de bal?
6.Bereken de maximale snelheid in
het volgende diagram:
7.Bereken de versnelling op
tijdstip t = 20 s:
8.Hieronder is de beweging van een
optrekkende auto beschreven. Bereken de maximale versnelling en de maximale
snelheid tijdens de beweging.
9.Bereken de versnelling op
tijdstip t = 1,0 s en t = 4,0 s.
10.Hieronder is het (v,t)-diagram
weergegeven van de beweging van een jojo. Op tijdstip t=0 is het koord
volledig om de jojo gewikkeld en laat de persoon de jojo los.
a.Leg uit op welk moment de jojo op zijn laagste punt is.
b.Bereken de lengte van het koord.
c.Op het laagste punt ondergaat de jojo een plotselinge versnelling
waarbij de jojo van richting verandert. Geef de versnelling waarmee dit
gebeurt.
11.In het onderstaande (v,t)-diagram
zien we de versnelling van een karretje op een horizontale baan aan het begin
van een supersnelle achtbaan.
a.Een leerling analyseert de grafiek en concludeert dat we hier eerst
te maken hebben met een versnelling en dat het voorwerp daarna vertraagt
totdat de snelheid constant is. Heeft de leerling gelijk?
b.Vind de maximale versnelling die de achtbaankar ondergaat en druk je
antwoord uit in g
c.Bepaal de gemiddelde versnelling van de achtbaankar.
(bron: examen VWO 2010-1)
§6 De oppervlaktemethode
In deze paragraaf herhalen we de oppervlaktemethode,
waarmee we de verplaatsing kunnen bepalen in (v,t)-diagrammen.
We kunnen met een (v,t)-diagram ook de verplaatsing van
een voorwerp bepalen. De oppervlakte onder de (v,t)-grafiek blijkt
namelijk gelijk te zijn de verplaatsing (Δx) van het
voorwerp. In het linker onderstaande diagram is het oppervlak gelijk aan 6,0 Χ
3,0 = 18 m. Het voorwerp heeft hier dus 18 meter afgelegd. In het middelste
voorbeeld is het oppervlak een driehoek gelijk aan (6,0 Χ 3,0)/2 = 9,0 m. Dit
voorwerp heeft dus 9 meter afgelegd. In de rechter afbeelding bestaat het
oppervlak onder de grafiek uit een rechthoek en een driehoek. Het oppervlak
geeft een verplaatsing van 2 Χ 6 + (2 Χ 6)/2 = 18 m.
Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een remmend
voertuig. Op tijdstip t = 0 s springt een stoplicht op rood. Zoals je in het
diagram kunt zien, duurt het nog 1,0 seconde voordat de bestuurder hierop
reageert door op zijn rem te trappen. De reactietijd van de bestuurder
is dus 1,0 seconde. Na de reactietijd duurt het in dit voorbeeld nog 3 seconden
voordat het voertuig stil staat.
De afstand die het voertuig gedurende de reactietijd
aflegt noemen we de reactieafstand. In dit geval is dit 50 Χ 1 = 50m. De
afstand die het voertuig tijdens het remmen aflegt noemen we de remweg. In
dit geval is dat (50 Χ 3)/2 = 75m. De reactieafstand en de remweg samen noemen
we de stopafstand. In het bovenstaande voorbeeld is de stopafstand dus
gelijk aan 50 + 75 = 125m.
In de onderstaande afbeelding kunnen we het oppervlak
niet met een simpele formule bepalen. We kunnen hier wel het aantal hokjes
onder de grafiek tellen. In de rechter afbeelding is te zien dat er 53 hele
hokjes onder de grafiek te vinden zijn. Bij het overgebleven oppervlak moeten
we zo goed mogelijk schatten hoeveel hokjes dit zijn. Ga zelf na dat dit er
ongeveer 9,5 zijn. In totaal hebben we dus 53 + 9,5 = 62,5 hokjes. Elk hokje
heeft een oppervlak van 0,5 Χ 0,5 = 0,25m. De totale verplaatsing is dus:
Het voorwerp heeft dus een
gemiddelde snelheid van 2,2 m/s gehad.
Rekenen met de oppervlaktemethode
1.Bereken de verplaatsing van de
bewegingen die in de onderstaande (v,t)-diagrammen beschreven zijn:
2.Bereken voor het volgende diagram
de verplaatsing:
3.Een bal wordt een heuvel
opgerold. Bereken de afstand die de bal aflegt:
4.Twee auto's vertrekken vanaf
dezelfde positie. Een leerling beweert dat de ene auto de ander na ongeveer
20 seconden inhaalt. Een andere leerling is het hier niet mee eens en beweert
dat de auto's elkaar pas na langer dan 30 seconden inhalen. Leg uit wie er
gelijk heeft. Leg ook uit hoe je aan je antwoord komt.
5.Hieronder zien we een (v,t)-diagram
van een auto die wordt weggesleept. De auto moet 20 meter verplaatst worden.
Zoals je in het diagram kan zien neemt de snelheid eerst toe. Na t = 12
seconden blijft de snelheid constant totdat de 20 meter gehaald is. Hoe lang
duurt het verplaatsen van de auto?
(bron: examen VWO 2002-2)
6.Het onderstaande (v,t)-diagram beschrijft
een sprong van een volleybalspeler.
a.Op welk moment bereikt de speler het hoogste punt van zijn sprong?
Leg je keuze uit.
b.Bepaal met behulp van het diagram hoe hoog de persoon gesprongen
heeft.
c.Bepaal de versnelling die de springer bij het begin van het afzetten
ondervond.
d.Schets hoe de grafiek eruit zou zien als de springer twee identieke
sprongen achter elkaar zou maken.
(bron: examen VWO 2015-1)
7.Bepaal hoeveel meter
is afgelegd in de beweging die in het onderstaande (v,t)-diagram is weergegeven:
8.Door hun grotere snelheid halen
grotere druppels kleinere druppels in. Als de druppels botsen, ontstaan
grotere regendruppels. In de volgende grafiek zien we een (v,t)-diagram van
het fuseren van de twee druppels A en B.
Bereken hoeveel meter druppel A achterliep op druppel
B op tijdstip t = 0 s.
(bron: examen VWO 1987-2)
9.Hieronder zien we een rail met in
het midden een knik. Op de rail wordt een karretje gezet, zoals hieronder te
zien is.
De kar wordt vanuit de beschreven positie op het tijdstip
t = 0 s losgelaten. Dit tijdstip noemen we tA. De kar gaat dan over de rail
heen en weer bewegen. Het laagste punt van de baan noemen we de
evenwichtsstand. De snelheid langs de baan van het zwaartepunt van de kar is
hieronder als functie van de tijd weergegeven. Als de kar naar links beweegt,
is de snelheid negatief gekozen.
a.Leg uit waar het karretje zich bevindt op tijdstip tc
b.De twee gearceerde oppervlaktes in het diagram zijn noodzakelijk even
groot. Leg uit waarom dit het geval is.
c.(VWO) Teken het bijbehorende (x,t)-diagram van de beweging van
tA tot tD. Zorg hier dat x positief is als de kar zich rechts van de
evenwichtsstand bevindt en negatief als de kar zich links van de evenwichtsstand
bevindt.
(bron: examen VWO 1986-2)
