Hoofdstuk 1
Basisvaardigheden

§1       Grootheden en eenheden

In deze paragraaf herhalen we kort de belangrijkste grootheden, eenheden en SI-eenheden.

In de wetenschap beschrijven we de wereld door metingen te verrichten. Alle eigenschappen die we kunnen meten noemen we grootheden. Voorbeelden van grootheden zijn 'lengte', 'oppervlakte', 'volume', 'tijd', 'temperatuur' en 'snelheid'. De maten waarin we deze eigenschappen meten worden eenheden genoemd. Voorbeelden van eenheden zijn 'meter', 'vierkante meter', 'kubieke meter', 'seconden', 'minuten', 'graden Celsius' en 'meter per seconde'.

Een eenheid is gemakkelijk te herkennen doordat we het achter een getal kunnen plaatsen. We zeggen bijvoorbeeld 25 meter, maar niet 25 lengte. Meter is dus een eenheid, maar lengte niet. In het vak natuurkunde is het verplicht om bij het eindantwoord van een berekening altijd de eenheid te noteren.

De belangrijkste eenheden voor de lengte staan hieronder genoemd.

De belangrijkste eenheden voor de oppervlakte zijn:

De belangrijkste eenheden voor het volume zijn:

In de laatste afbeelding zien we dat het volume zowel in kubieke meter als in liter kunnen weergeven. 1 L is bijvoorbeeld exact hetzelfde als 1 dm³. Er geldt dus:

…

$$ 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$$
…

In BINAS tabel 36 kan je formules vinden voor het volume (V) en de oppervlakte (A) van een aantal veelvoorkomende figuren. Hieronder zien we een aantal voorbeelden hiervan.

De belangrijkste eenheden voor de massa zijn:

Normaal gesproken gebruiken we echter alleen de milligram, de gram en de kilogram:

In het dagelijks leven wordt voor de massa ook wel het woord 'gewicht' gebruikt. Dit is echter onjuist. In het hoofdstuk over kracht zullen we het verschil tussen massa en gewicht toelichten.

Het is belangrijk om het begrip volume en het begrip massa goed uit elkaar te houden. Het volume van een voorwerp beschrijft hoeveel ruimte een voorwerp inneemt. De massa beschrijft hoe zwaar een voorwerp is. In de rechter afbeelding wordt het verschil duidelijk. Het stuk piepschuim heeft het grootste volume, omdat het meer ruimte inneemt. De kogel heeft de grootste massa, omdat het zwaarder is.

Een aantal eenheden zijn in het verleden uitgeroepen tot standaardeenheden. We noemen dit ook wel de SI-eenheden (SI is een afkorting voor ‘Système international d'unités’ oftewel ‘standaard internationale eenheden’). De meest fundamentele SI-eenheden worden de SI-grondeenheden genoemd. Een aantal hiervan staan hieronder in de tabel:

Grootheid	SI-grondeenheid
Afstand	meter (m)
Tijd	seconde (s)
Massa	kilogram (kg)
Temperatuur	kelvin (K)

Door de SI-grondeenheden te combineren kunnen we alle andere SI-eenheden afleiden. Van de SI-grondeenheid meter (m) kunnen we bijvoorbeeld de SI-eenheid vierkante meter (m²) en kubieke meter (m³) maken. Met meter (m) en seconde (s) kunnen we bijvoorbeeld de SI-eenheid meter per seconde (m/s) maken. We noemen dit afgeleide SI-eenheden.

In de natuurkunde zal je regelmatig worden gevraagd om een bepaalde meetwaarde om te rekenen naar SI-eenheden. Hieronder zien we hiervan twee voorbeelden:

Voorbeelden

Vraag 1: Reken 500 g om in SI-eenheden.

De SI-eenheid van de massa is kilogram. Omgerekend wordt dit 0,500 kg.

Vraag 2: Reken 20 L om in SI-eenheden.

De SI-eenheid van het volume is de kubieke meter. We gaan liter dus omschrijven naar kubieke meter. Omgerekend wordt dit 20 L = 20 dm³ = 0,020 m³.

Omrekenen van eenheden en SI-eenheden

1. Beschrijf het verschil tussen massa en volume.

2. Vul de volgende tabel aan:

Massa	Kilogram
Volume	…
…	Liter

3. Schrijf de volgende waarden om:

a. 2,231 L = ... mL

b. 56,2 mL = ... L

c. 5600 cm³ = ... L

d. 66,08 mL = ... dm³

e. 0,0765 L = ... cm³

f. 1,54 dm³ = ... mL

g. 1,7 dm³ = ... mL

h. 150 mm³ = ... L

i. 0,23 m³ = ... cL

j. 0,9 dL = ... cm³

4. Schrijf de volgende waarden om:

a. 150 kg = ... g

b. 0,03kg = ... g

c. 23 000 g = ... kg

d. 0,025 g = ... mg

e. 1 250 mg = ... g

f. 0,25 kg = ... mg

g. 0,023 kg = ...mg

5. Schrijf de volgende maten om in SI-eenheden:

a. 340 cm³

b. 15000 mm³

c. 150 g

d. 25 L

e. 260 mL

f. 550 mg

g. 80 dm²

h. 400 km²

i. 24 uur

j. 2300 ms

6. Beschrijf hoe je een hoeveelheid liter omschrijft in SI-eenheden.

Bereken en bepalen van het volume

7. Een aquarium bevat 60 liter water. De lengte van het aquarium is 50 cm. De breedte is 30 cm. Hoe hoog staat het water?

8. Bepaal het volume van de steen in de volgende afbeelding. Geef je antwoord in kubieke centimeters.

9. Bereken het volume en de oppervlakte van de aarde. Zoek hiervoor eerst de straal van de aarde op in BINAS tabel 31.

10. Een hoogspanningskabel heeft een diameter van 30 mm. De kabel is 25 km lang. Bereken het volume van de kabel.

11. Het raam in een verwarmd huis laat per seconde per vierkante meter 200 joule door. Het raam is hieronder weergegeven.

a. Ga na hoeveel energie er per jaar verloren gaat.

b. Het raam is 2,0 cm dik. Bereken het volume van het glas.

§2       Formules omschrijven

In deze paragraaf herhalen we het omschrijven van formules. Ook zullen we een aantal formules tegenkomen die iets complexer zijn dan de formules die we vorig jaar gezien hebben.

Stel een auto legt een bepaalde afstand af in een bepaalde tijd. De snelheid van de auto kan dan worden berekend met:

…

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

…

Snelheid (v)	meter per seconde (m/s)
Verplaatsing (Δx)	meter (m)
Tijdsduur (Δt)	seconde (s)

Om dit te doen hebben we een wiskundig trucje nodig. Als in een vergelijking aan de ene kant van de '=' wordt gedeeld door een bepaald getal, dan kan je in plaats daarvan ook de andere kant van de '=' vermenigvuldigen met ditzelfde getal. Hieronder zien we een getallenvoorbeeld waar dit wordt uitgevoerd:

$$ \frac{6}{3} = 2 $$ $$ \downarrow $$ $$ 6 = 2 \times 3 $$

De omgekeerde regel geldt ook. Als we aan de ene kant van de '=' met een waarde vermenigvuldigen, dan kunnen we ook aan de andere kant door deze waarde delen. Dit zien we hieronder:

$$ 6 = 2 \times 3 $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{6}{3} = 2 $$

We kunnen dit trucje gebruiken om formules om te schrijven in elke gewenste vorm. Dit doen we in twee stappen. Eerst zorg je dat je een eventuele breuk in de formule wegwerkt. Daarna schrijf je de formule om met het wiskundige trucje dat hierboven beschreven is.

Laten we dit toepassen op de formule voor de snelheid. Stel we willen de formule omschrijven in een formule om de tijd uit te rekenen. We voeren dan de volgende stappen uit:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; v \times \Delta t = \Delta \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \Delta t = \frac{\Delta x}{v} $$

Met het onderstaande programma kan je oefenen met omschrijven. Merk ook op in welke problemen je komt als je niet eerst de breuk wegwerkt.

Hieronder zien we een iets complexere formule. Met deze formule kan de kracht worden berekend waarmee een voorwerp in een cirkelbaan gehouden kan worden:

$$ F = \frac{mv^2}{r} $$

Hieronder schrijven we aan de linkerkant de formule om zodat we de massa (m) kunnen uitrekenen. Rechts doen we hetzelfde voor de snelheid (v):

$$ F = \frac{mv^2}{r} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;F \times r = mv^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \frac{F \times r}{v^2} = m $$

$$ F = \frac{mv^2}{r} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; F \times r = mv^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\frac{F \times r}{m} = v^2 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \sqrt{\frac{F \times r}{m}} = v $$

Omschrijven van formules

1. Ga naar de website en haal minimaal 10 punten bij het omschrijven van formules.

2. Schrijf de volgende formules in de aangegeven vorm:

A / B = C	A = ...
A / B = C	B = ...
X × Y = Z	Y = ...
X / Y = Z	Y = ...
1 / f = T	f = ...

3. Beschrijf de stappen die nodig zijn om een formule om te schrijven in een andere vorm.

4. De formule voor de zwaartekracht (Fz) wordt gegeven door:

$$F_z = mg$$

Geef de formule voor massa (m) en geef de formule voor de valversnelling (g).

5. De formule voor de kracht (F) waarmee een voorwerp in een cirkelbaan gehouden kan worden is gelijk aan:

$$ F = \frac{mv^2}{r} $$

Geef de formule voor de massa (m), de formule voor baanstraal (r) en de formule voor de snelheid (v).

6. De formule voor de snelheid (v) van een voorwerp dat in een cirkelbaan beweegt is:

$$ \frac{2\pi r}{T} = v $$

Geef de formule voor de omlooptijd (T) en de formule voor baanstraal (r).

7. De relatie tussen de omlooptijd van een planeet (T) en de afstand tot de zon (r) wordt gegeven door:

$$ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} $$

Geef de formule voor de omlooptijd (T), de formule voor baanstraal (r) en de formule voor de massa (M).

8. De formule voor het volume (V) van een bol is:

$$ \frac{4}{3}\pi r^3 = V $$

Geef de formule voor de straal (r).

9. De formule voor de gravitatiekracht (Fg) is:

$$ F_g = \frac{GMm}{r^2} $$

Geef de formule voor de gravitatieconstante (G), de formule voor massa (M) en de formule voor de afstand (r).

10. De trillingstijd (T) van een blokje dat trilt aan een veer wordt gegeven door deze formule:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$

                Geef de formule voor de massa (m) en voor de veerconstante C.

§3       Dichtheid

In deze paragraaf herhalen we het concept dichtheid.

Niet alle stoffen zijn even zwaar. Een kubieke centimeter goud is bijvoorbeeld zwaarder dan een kubieke centimeter aluminium. We beschrijven dit verschil met de zogenaamde dichtheid.

Een kubieke centimeter goud heeft bijvoorbeeld altijd een massa van 19,3 gram. We zeggen daarom dat de dichtheid van goud gelijk is aan 19,3 g/cm³. Aluminium heeft bijvoorbeeld altijd een dichtheid van 2,7 g/cm³. Aluminium heeft dus een kleinere dichtheid dan goud. Als we in het dagelijks leven zeggen dat goud 'zwaarder' is dan aluminium, dan bedoelen we eigenlijk dat de dichtheid van goud groter is dan van aluminium.

We kunnen de dichtheid van een stof als volgt berekenen:

…

$$\rho = \frac{m}{V}$$

…

massa (m)	kilogram (kg)
volume (V)	kubieke meter (m^3)
dichtheid (ρ, spreek dit uit als 'rho')	kilogram per kubieke meter (kg/m^3)

In SI-eenheden wordt de dichtheid gegeven in kg/m³, maar zoals we in de tekst gelezen hebben, wordt ook regelmatig gebruik gemaakt van g/cm³. Als je met kg/m³ werkt, dan moet je vanzelfsprekend de massa in kg invullen en het volume in m³. Als je met g/cm³ werkt, dan moet je de massa in g invullen en het volume in cm³.

De dichtheden van een heel aantal stoffen kan je opzoeken in BINAS. De eenheid boven de tabel is hier 10³ kgm^-3. De tienmacht vertelt ons dat we de waarde uit de tabel nog met 10³ moeten vermenigvuldigen. kgm^-3 is een andere schrijfwijze van kg/m³.

Stappenplan dichtheid

Vraag: Wat is de massa van 1,2 dm³ ijzer?

Stap 1: Schrijf de gegevens uit de vraag op en zoek de dichtheid op:

                V = 1,2 dm³

                ρ = 7870 kg/m³

                m = ?

Stap 2: Schrijf de gegevens om in SI-eenheden:

                V = 0,0012 m³

Stap 3: Schrijf de formule ρ=m/V om in de juiste vorm:

                We willen de massa m uitrekenen. De formule wordt:

…

Stap 4: Vul de formule in en reken het antwoord uit. Denk eraan de eenheid achter het antwoord te schrijven.

                0,0012 × 7870 = 9,4 kg

Begrijp het begrip dichtheid

1. De dichtheid van aluminium is 2,7 g/cm³. Wat betekent dit?

2. Beschrijf het verschil tussen massa, volume en dichtheid.

3. Hieronder zie je drie blokjes die uit hetzelfde stuk hout zijn gesneden.

a. Welke blokjes hebben dezelfde massa? Leg je antwoord uit.

b. Welke blokjes hebben hetzelfde volume? Leg je antwoord uit.

c. Welke blokjes hebben dezelfde dichtheid? Leg je antwoord uit.

4. Stel je wil de dichtheid van een voorwerp meten. Leg uit hoe dit moet. Vertel hierbij welke metingen je moet verrichten, hoe je deze metingen uitvoert, welke berekeningen je maakt en welke eenheid je achter het antwoord zet.

5. Leg uit waar je op moet letten bij het aflezen van de dichtheid uit BINAS. 

6. Een koperen voorwerp heeft hetzelfde volume als een ijzeren voorwerp. Welk voorwerp heeft de grootste massa?

7. Een koperen voorwerp heeft dezelfde massa als een ijzeren voorwerp. Welk voorwerp heeft het grootste volume?

Rekenen met dichtheid

8. Bereken in de volgende drie gevallen de dichtheid:

Massa	Volume	Dichtheid
2,3 g	0,8 cm^3	...... g/cm^3
2000 g	0,550 dm^3	...... g/cm^3
2500 mg	665 mL	...... kg/m^3

9. Een plank heeft een massa van 1,0 kg. De plank is 2,0 cm dik, 10 cm breed en 80 cm lang. Bereken de dichtheid van de plank in kilogram per kubieke meter.

10. In de onderstaande afbeelding wordt een steentje ondergedompeld. Het steentje heeft een massa van 15 gram. Bepaal de dichtheid.

11. Een voorwerp heeft een massa van 200 gram en een volume van 76,9 cm3. Van welke stof is dit voorwerp gemaakt?

12. Bereken de massa van 0,0050 m³ koper.

13. Bereken de massa van 1,5 dm³ koper.

14. Bereken het volume van 20 gram aluminium.

15. Een lege kamer heeft een lengte van 8,0 m, een breedte van 5,0 meter en een hoogte van 2,5 meter. Wat is de massa van de lucht in de kamer?

16. Bereken de gemiddelde dichtheid van de aarde. Gebruik hiervoor gegevens uit BINAS.

17. Een koperen stroomdraad heeft een diameter van 2,0 mm en een lengte van 40,0 m. Bereken de massa van de draad.

18. Een aluminium kabel heeft een massa van 188 gram en een diameter van 2,5 mm. Wat is de lengte van de kabel?

§4       Significante cijfers

In deze paragraaf herhalen we hoe we afronden in de natuurkunde. Dit doen we met behulp van significante cijfers.

In de natuurkunde werken we met metingen en metingen zijn vaak onnauwkeurig. Het ligt daarom voor de hand dat we cijfers in de natuurkunde afronden op basis van de nauwkeurigheid van de meting. Hoe nauwkeuriger de meting is, op hoe meer getallen we de meetwaarde afronden.

Neem bijvoorbeeld het potlood in de volgende afbeelding. De meeste mensen zullen waarschijnlijk zeggen dat dit potlood een lengte van 11 cm heeft. We kunnen de lengte van het potlood echter nauwkeurig genoeg aflezen, dat we zeker weten dat het eerste getal achter de komma een nul moet zijn. We zeggen daarom dat de lengte van dit potlood 11,0 cm is. We zien hier dus dat bij natuurkunde de nullen achter de komma van belang zijn!

De cijfers die we van een meetwaarde mogen noteren noemen we significante cijfers. De meetwaarde 11,0 cm bestaat dus uit drie significante cijfers.

Belangrijk is om te weten dat nullen aan de linkerkant van een meetwaarde niet meetellen als significante cijfers. De meetwaarde 0,0040 meter heeft dus slechts twee significante cijfers.

Maar wat nu als we een rekensommetje doen met verschillende meetwaarden? Op hoeveel cijfers moeten we het antwoord van dit sommetje dan afronden? De regel is dat we het antwoord schrijven in evenveel significante cijfers als de meetwaarde met het minst aantal significante cijfers.

Laten we een voorbeeld bespreken. Stel een auto rijdt 200,0 meter in 20,6 seconden. Als we de snelheid op onze rekenmachine berekenen, dan vinden we:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$                                 $$ v = \frac{200,0}{20,6} = 9,708737864 \text{ m/s}$$

200,0 heeft vier significante cijfers en 20,6 heeft er drie. Drie is het minst, dus we willen het antwoord ook op drie cijfers afronden:

$$ v = \frac{200,0}{20,6} = 9,71 \text{ m/s}$$

Nog een voorbeeld. Stel een ruimteschip vliegt 3000 meter in 2,0 seconden. De snelheid wordt dan:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$                                 $$ v = \frac{3000}{2,0} = 1500 \text{ m/s} $$

3000 heeft vier significante cijfers en 2,0 heeft er twee. Het antwoord willen we dus ook maar in twee cijfers noteren. Maar hoe noteren we het getal 1500 in slechts twee cijfers? Dit doen we met behulp van machten van tien. We schrijven:

$$ v = \frac{3000}{2,0} = 15 \times 10^2 \text{ m/s} $$

Machten van tien werken als volgt. 15 × 10² is gelijk aan 1500. Als we een waarde vermenigvuldigen met 10², dan schuift de komma dus twee plaatsen op naar rechts. Het getal 15 × 10^-2 is gelijk aan 0,15. Als we een waarde vermenigvuldigen met 10^-2, dan schuift de komma dus twee plaatsen op naar links.

In de praktijk is het niet nodig om bij elke rekenstap het antwoord in het juiste aantal significante cijfers te schrijven. Bij het eindantwoord is dit echter wel verplicht! Als je het eindantwoord gevonden hebt, kijk dan terug in de vraag naar alle meetwaarden die je gebruikt hebt en kijk welke waarde het minst aantal significante cijfers heeft. Schrijf je antwoord dan ook in dit aantal significante cijfers op.

Naast machten van tien is het soms ook mogelijk om voorvoegsels te gebruiken. In de onderstaande tabel staan de bekendste voorvoegsels:

G	giga	10^9
M	mega	10^6
K	kilo	10^3
H	hecto	10^2
Da	deca	10^1
D	deci	10^-1
C	centi	10^-2
M	milli	10^-3
Μ	micro	10^-6
N	nano	10^-9

Met voorvoegsels kunnen we een meetwaarde als 3,45 × 10^-6 m bijvoorbeeld ook schrijven als 3,45 μm.

Er zijn ook getallen in de natuurkunde die wel precies zijn. Neem bijvoorbeeld het aantal leerlingen in een klaslokaal, het aantal ramen in een gebouw, het aantal zijden van een vierkant enzovoorts. We noemen deze precieze getallen telwaarden. Omdat deze waarden precies zijn, hebben ze dus een oneindige hoeveelheid significante cijfers. Als gevolg is het bij berekeningen nooit nodig om naar de significante cijfers van telwaarden te kijken.

In sommige gevallen is het alleen nodig om een grove schatting te hebben van een meetwaarde. In dat geval maken we gebruik van de orde van grootte. Bij de orde van grootte ronden we een meetwaarde af op nul significante cijfers. 2,0 × 10³ wordt dan bijvoorbeeld 10³. 7 × 10² wordt 10³. In dit geval hebben we de '7' omhoog afgerond. 50 × 10² wordt 10⁴. Door de '5' omhoog af te ronden vinden we 100 × 10² en dit is gelijk aan 10⁴.

Schrijven van meetwaarde in aantal significante cijfers

1. Noteer het aantal significante cijfers van de volgende meetwaarden:

a. 25,0 kg/m³

b. 35600 m

c. 12 km/h

d. 0,350 m/s

e. 0,000001 m

f. 1,000001 m

2. Beschrijf waar je op moet letten bij het bepalen van het aantal significante cijfers van een meetwaarde.

3. Geef het aantal significante cijfers of geef aan dat er sprake is van een telwaarde:

a. Een baksteen heeft een massa van 1 kg.

b. De woonkamer heeft 3 grote ramen.

c. De diameter van een cirkel is gelijk aan 2r.

d. Er stromen per seconde 900 000 elektronen door de draad.

e. Er stromen per seconde 900 × 10³ elektronen door de draad.

f. De spanning van het stopcontact is gelijk aan 230V.

4. Na een berekening geeft je rekenmachine de volgende waarden aan. Schrijf ze in de aangegeven hoeveelheid significante cijfers:

a. Schrijf 2500 in twee significante cijfers.

b. Schrijf 0,0150 in twee significante cijfers

c. Schrijf 150 in één significant cijfer.

d. Schrijf 3400,8 in drie significante cijfers.

e. Schrijf 1 500 000 in vier significante cijfers.

f. Schrijf 0,00500000 in één significant cijfer.

g. Schrijf 150 × 10³ in twee significante cijfers.

h. Schrijf 1800 × 10^-5 in twee significante cijfers.

Rekenen met significante cijfers

5. Beschrijf hoe je het aantal significante cijfers bepaalt na een berekening.

6. Bereken de volgende opdrachten in het juiste aantal significante cijfers:

a. Een sprinter rent 400,0 m en doet hier 55 seconden over. Wat is de snelheid van de sprinter.

b. Een kamer heeft een lengte van 25,50 m en een breedte van 14 m. Wat is de oppervlakte van de kamer?

c. Een cirkel heeft een diameter van 15,2 cm. Wat is de omtrek van de cirkel?

d. Een kamer heeft een lengte van 5 m en een breedte van 3,51 m. Wat is de oppervlakte van de kamer?

7. Een leerling vertelt een andere leerling dat de massa van al de lucht in de kamer waarin hij staat zwaarder is dan de leerling zelf. De kamer heeft een lengte van 10 m, een breedte van 8,5 m en een hoogte van 2,5 m. Een kubieke meter lucht heeft een massa van 1,29 kg. Heeft de leerling gelijk of niet?

8. 18-karaats goud bestaat voor 75% uit goud en voor de rest bijvoorbeeld uit zilver. Een persoon heeft drie ringen gevonden van elk 10,4 gram bestaande uit 18-karaats goud. De persoon hoopt hiervan een mooi 2de hands brommertje te kopen ter waarde van 600 euro. Lukt dit?

9. Een kamer in een groot huis bevat 3 grote ramen met een lengte van 2,8 meter en een hoogte van 1,8 m. Het nadeel van ramen is dat er veel warmte door verloren gaat. Warmte wordt gemeten in joule en door elke vierkante meter glas blijkt gemiddeld 24 joule per seconde te stromen.

a. Bereken hoeveel warmte er per dag aan warmte wegstroomt uit de kamer.

b. 3 600 000 joule aan warmte kost zo'n 20 cent. Hoeveel geld ben je hier per jaar aan kwijt?

Metaal	Euro/kilogram
Koper	4,84
Zilver	466,34
Goud	30200,00

10. Een aquarium heeft een lengte van 60 cm en een breedte van 30 cm. De hoogte van het aquarium is 50 cm. Het aquarium wordt gevuld met water totdat het water op 30 cm hoogte uitkomt. Een kraan wordt aangezet en levert 300 mL per seconde. Hoe lang duurt het voordat het water in het aquarium de gewenste hoogte heeft bereikt?

11. Een stalen cilinder heeft een lengte van 10,0 m en een diameter van 2,00 cm. De dichtheid van staal is 7,810 × 10³ kg/m³. Wat is de massa van de stalen cilinder?

12. Een stuk metaal heeft een massa van 1,000 kg en een volume van 120,0 cm³. Een ander stuk metaal heeft een massa van 2,50 kg en een volume van 300,1 cm³. Zouden beide stukken van hetzelfde metaal gemaakt kunnen zijn?

13. De massa van één ijzeratoom is 9,27 × 10^-26 kg. Hoeveel atomen zitten er in 1,0 kg ijzer?

14. Lading wordt gemeten in Coulomb. Eén elektron heeft een lading van 1,6022 × 10^-19. Stel dat er 3,00 coulomb per seconde door een draad stroomt, hoeveel elektronen gaan er dan per seconde door de draad?

15. De aarde legt elk jaar een afstand van 9,4 × 10¹¹ m af in zijn baan om de zon.

a. Bereken de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon.

b. Bereken de snelheid waarmee de aarde om de zon draait in km/s.

c. Bereken hoeveel minuten het duurt voordat zonlicht de aarde bereikt.

16. Een koperen draad heeft een diameter van 2,0 mm en een lengte van 40,0 m. Bereken de massa van de draad in gram.

17. Een aluminium kabel heeft een massa van 188 gram en een diameter van 2,5 mm. Wat is de lengte van de kabel?

18. Een waterstofatoom bestaat uit een proton in de kern en een elektron in een baan om de kern. Het elektron is 5,29 × 10^-11 m verwijderd van de kern. De snelheid van het elektron is 2,19 × 10⁶ m/s.

a. Bereken hoe lang het duurt voordat het elektron een rondje maakt om de kern in nanoseconden.

b. Bereken hoe vaak het elektron in 1,0 seconde om de kern draait.

§5       Eenheden afleiden

In deze paragraaf gaan we herhalen hoe we de eenheid van onbekende grootheden kunnen achterhalen. We noemen dit een eenheidsbeschouwing.

Om systematisch met eenheden te werken is een wiskundige notatie bedacht. Neem bijvoorbeeld de zin, "de eenheid van de massa is kilogram". Dit kunnen we wiskundig opschrijven als:

$$ [m] = kg $$

De vierkante haakjes betekenen dus "de eenheid van". We kunnen deze schrijfwijze gebruiken om eenheden van onbekende grootheden te achterhalen. We noemen dit ook wel een eenheidsbeschouwing.

Stel bijvoorbeeld dat we de eenheid van de dichtheid willen weten, dan schrijven we:

$$ [\rho] = \frac{[m]}{[V]} = \frac{kg}{m^3}= \text{ kg/m}^3$$

De eenheid van de dichtheid is dus kg/m³.

Laten we nog een paar voorbeelden bespreken. Hieronder zien we de formule voor de versnelling (a). De versnelling is te berekenen door de toename van de snelheid (Δv) te delen door de tijdsduur (Δt):

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$

Stel we willen de eenheid van de versnelling weten, dan doen we:

$$ [a] = \frac{[\Delta v]}{[\Delta t]} = \frac{m/s}{s} = m/s^2 $$

De eenheid van de versnelling is dus m/s².

De formule voor de kracht (F) wordt gegeven door:

$$ F = ma $$

De eenheid van de kracht is:

$$ [F] = [m][a] = kg \; m/s^2 $$

De eenheid van de kracht is in SI-grondeenheden dus gelijk aan kgm/s². Meestal wordt deze eenheid afgekort tot de newton.

Nog een laatste voorbeeld. Hieronder zien we de formule voor de luchtwrijvingskracht:

$$ F_{w,lucht} = \frac{1}{2} k v^2 $$ \end{document}">

De k in de formule is een constante en v is de snelheid. Stel we willen de eenheid van deze constante k weten, dan schrijven we de formule eerst om:

$$ k = \frac{2F_{w,lucht}}{v^2} $$

De eenheid van k is:

$$ [k] = \frac{[2][F_{w,lucht}]}{[v^2]} = \frac{N}{m^2/s^2} = \frac{kg m/s^2}{m^2/s^2} = \frac{kg}{m}$$

Merk op dat het cijfer 2 geen eenheid heeft. In de laatste stap hebben we waarden boven en onder de deelstreep tegen elkaar weggestreept. De eenheid van k is dus kg/m.

Achterhalen van eenheden met behulp van formules

1. De eenheid van kracht is de newton. Geef de eenheid van kracht in SI-grondeenheden. Gebruik hiervoor de formule F = ma.

2. De zwaartekracht kan worden berekend met de formule Fz = mg. Vind de eenheid van de constante g. Laat zien dat deze eenheid zowel in N/kg als in m/s² kan worden geschreven.

3. De kracht werkend op draaiende voorwerpen wordt gegeven door:

$$ F = \frac{mv^2}{r} $$

F staat voor de kracht, m voor de massa, v voor de snelheid en r voor de baanstraal van de cirkelbeweging. Laat zien dat je met deze formule wederom vindt dat N = kgm/s².

4. De elektrische weerstand van een ijzeren draad is te berekenen met de volgende formule:

$$ R = \rho \frac{l}{A} $$

De l staat hier voor de lengte van de draad, A staat voor de oppervlakte van de doorsnede van de draad. De letter ρ is hier niet de dichtheid maar de zogenaamde soortelijke weerstand. Elke stof heeft zijn eigen soortelijke weerstand en deze is te vinden in BINAS tabel 8-12. R is de weerstand gemeten in Ω.

a. Laat zien dat de soortelijke weerstand wordt gegeven in 'Ohm keer meter'.

b. Een draad heeft een lengte van 20,0 m en een diameter van 3,0 mm. Bereken de weerstand van de draad.

c. Bereken ook de massa van de draad.

5. De luchtwrijvingskracht die werkzaam is op een voorwerp is te berekenen met de volgende formule:

$$ F_w = \frac{1}{2}c_wA\rho v^2 $$

A is hier het frontaal oppervlak van het voorwerp, ρ is de dichtheid van de lucht en v is de snelheid. cw is een constante die afhangt van o.a. de vorm van het voorwerp. Laat zien dat deze constante geen eenheid heeft.

6. In de 18de eeuw mat de wetenschapper Cavendish de zwaartekracht tussen twee zware loden bollen. De zwaartekracht kan worden berekend met deze formule:

$$ F_z = \frac{Gm_1m_2}{r^2} $$

G is de zogenaamde gravitatieconstante (zie BINAS tabel 7). r is de afstand tussen de middelpunten van de twee bollen. Stel dat beide bollen een straal van 20,0 cm hebben en dat de bollen aan het oppervlak zich 2,50 cm van elkaar af bevinden.

a. Vind met behulp van de formule de eenheid van G.

b. Bereken de massa van één bol.

c. Bereken de zwaartekracht werkende op één bol.

7. De energie (E) van een voorwerp is te berekenen met de volgende formule:

$$ E = Fs $$

F is hier de kracht en s is de afstand die het voorwerp aflegt. Laat zien dat de eenheid voor de energie zowel gegeven kan worden in N×m als in kgm²/s².

8. De energie van een blokje aan een uitgerekte veer wordt gegeven door:

$$ E = \frac{1}{2}Cu^2 $$

u is hier de zogenaamde uitwijking. Dit is de lengte die de veer langer is geworden bij het uitrekken. C is de zogenaamde veerconstante. Laat zien dat je hier dezelfde eenheid vindt voor de energie als bij de vorige vraag.

9. De energie (Q) die nodig is voor een bepaalde temperatuurstijging (ΔT) van een bepaald voorwerp wordt gegeven door:

$$ Q = cm\Delta T $$

Laat zien dat de eenheid van de constante c gegeven kan worden door J/kg/K en door m²/s²/K. We hebben hier gebruikt dat de SI-grondeenheid voor de temperatuur gelijk is aan kelvin (K).

10. De formule voor de trillingstijd van een blokje aan een veer wordt gegeven door:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$

Laat zien dat de eenheid van C gelijk is aan N/m.

§6       Coördinatentransformaties (VWO)

In deze paragraaf gaan we leren hoe we een formule kunnen opstellen bij verschillende soorten grafieken.

Van een grafiek kunnen we een formule maken. Als een grafiek recht is en door de oorsprong gaat, dan spreken we van een recht evenredig verband. De bijbehorende formule heeft de volgende vorm:

$$y = ax$$

De constante a is hier gelijk aan de helling van de grafiek. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd. De helling wordt gegeven door:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

In het onderstaande voorbeeld vinden we dat de constante a gelijk is aan:

$$ a = \frac{3,5}{6,0} = 0,58 $$

In de volgende grafiek zien we een kwadratisch verband. De formule hiervoor is:

$$ y = ax^2 $$

Om ook hier de waarde voor a te vinden, moeten we van de grafiek eerst een rechte lijn maken. Dit doen we met behulp van een coördinatentransformatie. In dit voorbeeld doen we dit door als variabele voor de x-as niet de x te nemen, maar de x². Hieronder hebben we x²uitgerekend voor een aantal waarden. In de grafiek rechtsonder zien we dat deze meetwaarden inderdaad een rechte lijn opleveren.

X	x^2	y
0,00	0,00	0,00
1,00	1,00	0,25
2,00	4,00	1,00
3,00	9,00	2,25

De helling van deze rechte lijn is:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1,5}{6,0} = 0,25 $$

De formule wordt dus:

$$ y = 0,25 x^2 $$

In de onderstaande afbeelding zie je nog een aantal andere verbanden die vaak voorkomen. Het is van belang dat je deze verbanden uit je hoofd kent.

Laten we een praktisch voorbeeld bespreken. Stel we willen de relatie tussen de lengte van een slinger en de slingertijd bestuderen. In een grafiek linksonder zien we een aantal metingen die horen bij dit experiment. Als je deze grafiek vergelijkt met de bovenstaande grafieken, dan herken je hier een wortelverband in. Er geldt dus:

$$ T = a \sqrt{L} $$

Als we a willen bepalen, dan moeten we de grafiek lineariseren met behulp van een coördinatentransformatie. Op de x-as schrijven we nu niet L, maar √L. Het resultaat hiervan zie we in de afbeelding rechtsboven. De helling is hier:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6,0}{3,0} = 2,0 $$

De formule wordt dus:

$$ T = 2,0 \sqrt{L} $$

De formule voor de slingertijd wordt volgens BINAS gegeven door:

$$ T = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \sqrt{L} $$

De letter g is hier gelijk aan de zogenaamde valversnelling. Als we deze formule vergelijken met de formule die we gevonden hebben op basis van onze metingen, dan vinden we:

$$ 2,0 = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} $$

Als we deze formule omschrijven, dan kunnen we de valversnelling g uitrekenen:

$$ g= \left( \frac{2\pi}{2,0} \right)^2 = 9,9 \text{ m/s}^2 $$

Zoals je ziet komen we in de buurt van de correcte waarde 9,81 m/s². Als we nog nauwkeuriger hadden gemeten, dan hadden we nog dichter bij deze waarde uitgekomen.

Bepalen van constanten met behulp van een coördinatentransformatie

1. Een persoon doet onderzoek naar de relatie tussen de uitwijking van een veer en de veerkracht. De metingen zijn hieronder weergegeven:

De formule die de veerkracht beschrijft is:

$$ F=Cu $$

C wordt de zogenaamde veerconstante genoemd en deze is afhankelijk van het type veer dat gebruikt is. Bepaal met behulp van de grafiek de grootte van de veerconstante van de veer.…

2. In het onderstaande diagram zijn een aantal metingen zichtbaar waarbij gekeken wordt naar de relatie tussen de frequentie (f) en de energie (E) van fotonen (lichtdeeltjes):

a. De meetwaarden suggereren een recht evenredig verband. Leg uit hoe je dit kan zien.

b. De formule die bij deze grafiek hoort is:

$$ E=hf $$

Bepaal met behulp van de grafiek de constante h.

3. Hiernaast zien we een grafiek waarin het verband tussen de valtijd en valhoogte van een voorwerp is weergegeven.

a. Laat met coördinatentransformatie zien om welk verband het gaat.

b. De bijbehorende formule is:

$$ h=\frac{1}{2}gt^2 $$

s is hier de aflegde weg van het voorwerp en t de valtijd. Bepaal met behulp van de grafiek de valversnelling g.

4. Beschrijf hoe je met een coördinatentransformatie een constante uit een formule kan bepalen.

5. De luchtwrijvingskracht wordt gegeven door:

$$ F = \frac{1}{2}c_w\rho Av^2 $$

ρ is hier de dichtheid van de lucht, A het frontale oppervlak het voorwerp, v de snelheid van het voorwerp en c_w een constante die o.a. afhangt van de vorm van het voorwerp.

Een persoon wil c_w bepalen voor een bepaald voorwerp. Het voorwerp heeft een frontaal oppervlak van 0,050 m2. Bepaal met behulp van de onderstaande gegevens en een coördinaattransformatie zien wat de waarde van de constante cw in deze situatie.

Snelheid (m/s)	Wrijvingskracht (N)
1,0	0,030
2,0	0,103
3,0	0,232
4,0	0,413
5,0	0,645
6,0	0,929
7,0	1,264
8,0	1,651

6. In de onderstaande tabel kan je metingen zien van een experiment waarbij gekeken is naar de trillingstijd van een blokje aan een veer. Telkens zijn blokjes met een verschillende massa gebruikt.

Massa (g)	Trillingstijd (s)
10	0,063
20	0,089
30	0,109
40	0,126
50	0,140
60	0,154

a. Lineariseer de bijbehorende grafiek.

b. De bijbehorende formule is:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$
Bepaal met behulp van je grafiek de constante C.

7. In de 17de eeuw vond Kepler het volgende verband tussen de omlooptijd van een planeet (T) en de afstand van de planeet tot de zon (r):

$$ r^3 = aT^2 $$

a. Maak met behulp van BINAS een gelineariseerde grafiek van dit verband. Gebruik hiervoor de omlooptijd en de afstand r van de Mercurius, Venus, Aarde en Mars. Je kan deze waarden in BINAS vinden.

b. Newton bewees later dat de formule geschreven kon worden als:

$$ \frac{r^3}{T^2}= \frac{GM}{4\pi^2} $$
G is hier de gravitatieconstante (zie BINAS 7) en M staat voor de massa van de zon. Bepaal met behulp van de grafiek de massa van de zon.

8. Als je blaast langs de opening van flessen is een toon te horen. Voor sommige soorten flessen wordt de frequentie van het geluid gegeven door: 

$$f = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{Vl}}$$

Een leerling wil de geluidsnelheid bepalen met behulp van zo'n fles. De leerling gebruikt een fles met een opening met oppervlak A = 2,54 × 10^-4 m² en een halslengte l = 0,070 m. De leerling vult de fles dan met water, zodat het volume lucht V in de fles aangepast kan worden. De frequentie van het geluid bij verschillende volumes is hieronder weergegeven in zowel een tabel als een grafiek:

V (10^-6 m^3)	f (10^2 Hz)
94	3,3
172	2,4
298	1,9
448	1,6
630	1,3

a. Leg uit wat de eenheid langs de horizontale as moet zijn.

b. Leg met behulp van de formule uit dat de grafiek een rechte lijn is die door de oorsprong gaat.

c. Bereken de geluidssnelheid met behulp van de gegeven functie.

d. Je ziet dat de frequentie-metingen zijn gegeven in 2 significante cijfers, maar dat de helling van de getekende lijn gegeven is in 3 significante cijfers. Geef de reden dat hierbij het aantal significante cijfers toeneemt.
(Bron: examen VWO 2016-2)

Oefentoets paragraaf 1 t/m 9 + antwoorden

BINAS:
2	Voorvoegsels
3-5	Grootheden en eenheden
8-12	Dichtheid
31	Eigenschappen planeten
36	Volumes en oppervlaktes
35	Formules