Extra stof hoofdstuk magnetisme
De Maxwellvergelijkingen

In deze paragraaf gaan we elektrische en magnetische velden iets formeler wiskundig beschrijven. We zullen hiermee uiteindelijk de zogenaamde wetten van Maxwell afleiden. We zullen ons in deze paragraaf nog even beperken tot elektrische en magnetische velden die niet veranderen in de tijd.

Vectorcalculus

Voordat we beginnen de wetten van Maxwell kunnen afleiden, is het eerst van belang dat we goed kunnen rekenen met vectoren. We beginnen met het zogenaamde inproduct tussen twee factoren. Er geldt:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} \equiv AB \;\cos(\theta) $$

De letters met een pijl erboven zijn vectoren. De letters zonder pijl staan voor de lengte van deze vectoren. De hoek θ is de hoek tussen de twee vectoren. We hebben zoiets dergelijk als een keer gezien in de definitie van de arbeid:

$$ W = Fs \; \cos(\theta) $$

Dit kunnen we dus ook schrijven als:

$$ W = \vec{F} \cdot \vec{s} $$

Als de vectoren loodrecht op elkaar staan, dan geldt θ = 90^o en vinden we:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 $$

Voor twee vectoren die in dezelfde richting wijzen geldt θ = 0^o en vinden we:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = AB $$

Een vector in drie dimensies heeft drie componenten:

$$ \vec{A} = A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z} $$

Het inprodukt van twee van dit soort vectoren wordt:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z}) \cdot (B_x\hat{x} + B_y\hat{y} + B_z\hat{z}) = $$ $$ A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z $$

Bij het uitwerken van de haakjes hebben we gebruikt dat het inprodukt van twee eenheidsvectoren die loodrecht opelkaar staan nul levert. Het inprodukt van twee dezelfde eenheidsvectoren levert het getal 1.

$$ \hat{x} \cdot \hat{x} = \hat{y} \cdot \hat{y} = \hat{z} \cdot \hat{z} = \cos{0^\circ} = 1 $$ $$ \hat{x} \cdot \hat{y} = \hat{x} \cdot \hat{z} = \hat{y} \cdot \hat{z} = \cos{90^\circ} = 0 $$

Ook definieren we de del-operator:

$$ \nabla = \partial_x\hat{x} + \partial_y\hat{y} + \partial_z\hat{z}$$

Een inprodukt van de del-operator met een vector wordt een divergentie genoemd. Er geldt:

$$ \nabla \cdot \vec{A} = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z$$

Naast het inprodukt bestaat ook het kruisproduct. Hier geldt:

$$ \vec{A} \times \vec{B} \equiv AB \; \sin{\theta} \; \hat{n}$$

De n met het dakje is een eenheidsvector die loodrecht staat op beide vectoren. We vinden de richting van deze vector met de rechterhandregel die hieronder is afgebeeld. De eerste vector in het kruisproduct wijst in de richting van de wijsvinger en de tweede vector in de richting van de middelvinden. De duim wijst dan in de richting van de vector n.

We hebben een dergelijke structuur al eens gezien bij de lorentzkracht:

$$ \vec{F}_L = l(\vec{I} \times \vec{B}) $$

Bijzonder bij het kruisproduct is dat de volgorde van de vermenigvuldiging ertoe doet. Als we B×A doen in plaats van A×B, dan wijst nu de wijsvinger in de richting van B en de middelvinger in de richting van A. Als gevolg wijst de duim nu in de tegenovergestelde richting. Dit levert een extra minnetje op:

$$ \vec{B} \times \vec{A} = - \vec{A} \times \vec{B} $$

Om het kruisproduct in componenten uit te drukken gebruiken we:

$$ \hat{x} \times \hat{x} = \hat{y} \times \hat{y} = \hat{z} \times \hat{z} =0 $$ $$ \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \hat{y} \times \hat{x} = -\hat{z} $$ $$ \hat{y} \times \hat{z} = \hat{x} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \hat{z} \times \hat{y} = -\hat{x} $$ $$ \hat{z} \times \hat{x} = \hat{y} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \hat{x} \times \hat{z} = -\hat{y} $$

We vinden hiermee:

$$ \vec{A} \times \vec{B} = (A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z}) \times (B_x\hat{x} + B_y\hat{y} + B_z\hat{z}) = $$ $$ (A_yB_z - A_zB_y)\hat{x} + (A_zB_x - A_xB_z)\hat{y} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{z} $$

Het kruisproduct met de del-operator met een vector wordt een rotatie genoemd. Er geldt:

$$ \nabla \times \vec{A} = (\partial_yA_z - \partial_zA_y)\hat{x} + (\partial_zA_x - \partial_xA_z)\hat{y} + (\partial_xA_y - \partial_yA_x)\hat{z} $$

Electrostatica

We zullen eerst de elektrische velden bestuderen van een collectie stilstaande ladingen. We noemen dit de elektrostatica. We gebruiken hiervoor de wet van Coulomb, die we eerder in dit hoofdstuk al gezien hebben. In vectornotatie wordt dit:

$$ \vec{F} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0r^2}\hat{r} $$

In plaats van de constante f hebben we hier gebruik gemaakt van de constante 4πε₀. Deze notatie zal formules laten in het hoofdstuk versimpelen. De eenheidsvector r is een vector van lengte 1 die van Q naar q loopt.

Met F/Q = E vinden we dan het elektrisch veld voor een puntlading Q gelijk is aan:

$$ \vec{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0r^2}\hat{r} $$

In principe kan je met deze formule alle electrostatische fenomenen beschrijven. Het loont echter ook met deze formule twee van de wetten van Maxwell af te leiden. We gebruiken hiervoor de flux van het elektrisch veld door een oppervlak. Er geldt:

$$ \Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{a} $$

Zoals je ziet heeft ook het oppervlakje da hier een richting gekregen. Dit richting van een oppervlak staat altijd loodrecht op dit oppervlak. Het inprodukt in de formule zorgt ervoor dat we telkens de component van het elektrisch veld vinden dat loodrecht op het oppervlak a staat.

Als we een puntlading q in de oorsprong plaatsen en dan de flux bepalen door een bolvormig oppervlak met straal r om de oorsprong, dan vinden we:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}\oint \hat{r} \cdot d\vec{a} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2} 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} $$

In de tweede formule hebben we gebruikt dat de straal van de bol constant is. Alle constanten in de formule mogen we voor de integraal zetten. In de derde formule hebben we gebruikt dat de eenheidsvector van r en het oppervlak da altijd loodrecht op elkaar staan. Als gevolg valt de cosinus in het inprodukt weg. De integraal is dan gelijk aan het oppervlak van de bol. Er geldt dus:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q}{\epsilon_0}$$

We noemen dit de wet van Gauss. Dit is tevens één van de vier wetten van Maxwell. De formule laat zien dat we met de sterkte van het elektrisch veld op een gesloten oppervlak de omsloten lading kunnen achterhalen. We hebben deze wet nu alleen bewezen voor een puntlading en een bolvormig oppervlak. Met een algemener bewijs kunnen we laten zien dat deze formule voor elke ladingsverdeling geldt en ook voor elk gesloten oppervlak.

Naast een oppervlakteintegraal kunnen we ook een lijnintegraal nemen om de lading heen. In het geval van een puntlading in de oorsprong waar we een cirkelvormig lusje omheen maken, vinden we::

$$ \oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0r^2} \oint \hat{r} \cdot d\vec{l} = 0 $$

In de laatste stap hebben we gebruikt dat de hoek tussen r-dakje en dl altijd 90 graden is. Het inproduct wordt hierdoor nul. Ook dit is één van de vier wetten van Maxwell:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0$$

Ook deze formule geldt voor alle ladingsverdelingen.

Magnetostatica

We gaan nu magnetische velden bestuderen die niet veranderen in de tijd. Deze magneetvelden ontstaan door constante ladingsstromen. We noemen dit de magnetostatica. De rol die de wet van Coulomb innam in de elektrostatica, wordt nu vervuld door de wet van Biot-Savart. Er geldt:

$$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec{J} \times \hat{R}}{R^2}dV $$

J is hier de stroomdichtheid. Hierover later meer. Wij gaan deze formule echter direct versimpelen naar het veld voor een oneindig lange rechte ééndimensionale stroomdraad. In dat geval versimpelt de formule tot:

$$ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\hat{\theta} $$

r is hier de afstand vanaf de draad. De eenheidvector van θ geeft aan dat het veld om de draad heen draait. De richting van dit veld is zoals altijd te bepalen met de rechterhandregel.

Ook hier gaan we eerst kijken naar de magnetische flux door een gesloten oppervlak. Voor de magnetische flux geldt:

$$ \Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{a} $$

Bij een gesloten cilindervormig oppervlak rond een oneindig lange rechte draad vinden we:

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{a} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \oint \hat{\theta} \cdot d\vec{a} = 0 $$

In de laatste stap hebben we gebruikt dat theta-dakje en het oppervlak da loodrecht op elkaar staan. Het inproduct wordt hierdoor nul. Ook hiermee hebben we een van de vier wetten van Maxwell gevonden:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{a} = 0$$

Een cirkelvormige lijnintegraal op straal r van de draad levert:

$$ \oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \oint \hat{\theta} \cdot d\vec{l} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} 2\pi r = \mu_0I $$

In de tweede formule hebben we gebruikt dat θ en dl in dezelfde richting wijzen. De cosinus in het inprodukt valt hierdoor weg. Als we de integraal uitvoeren vinden we de omtrek van de cirkel. We vinden hiermee:

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0I $$

We noemen dit de wet van Ampère. Ook dit is één van de vier wetten van Maxwell.

Electrodynamica: De Maxwellvergelijkingen

In deze paragraaf zullen we de wetten van Maxwell afleiden voor elektrische en magnetische velden die wel veranderen in de tijd. We noemen dit de elektrodynamica. We zullen ontdekken dat bij een veranderend magneetveld automatisch een elektrisch veld geïnduceerd wordt en dat bij een veranderend elektrisch veld automatisch een magnetisch veld geïnduceerd wordt.

We beginnen het beschrijven van de elektrodynamica met een voorbeeld uit een eerdere paragraaf. Een gesloten stroomlusje wordt met snelheid v een magneetveld uit getrokken (zie de onderstaande afbeelding). Op het lijnstukje AB zal hierdoor een lorentzkracht gaan werken. Met de linkerhandregel vinden we dat deze kracht de elektronen in het lijnstukje omhoog duwt. Als gevolg ontstaat bij punt A een negatieve pool en bij B een positieve pool. Er is dus een spanningsbron ontstaan.

In het reguliere hoofdstuk hebben we gezien dat de inductiespanning gelijk is aan de verandering van de flux. Dit schrijven we wiskundig op als:

$$ U_{ind} = -\frac{d\Phi}{dt} $$

Maar wat als we de volgende situatie bestuderen. In de onderstaande afbeelding is het niet de stroomlus die beweegt uit het magneetveld, maar het magneetveld dat beweegt uit de stroomlus. Relatief gezien zijn beide situaties identiek (als ik zou meebewegen met het magneetveld, dan zie ik de lus uit het magneetveld bewegen zoals in het eerdere voorbeeld). Ook is de fluxverandering identiek.

Toch ontstaat er een probleem. Als de stroomlus stil staat, dan staan de ladingen in eerste instantie dus ook stil en dit zou betekenen dat de lorentzkracht ook nul moet zijn (want F_L = Bqv en v is nul). Als gevolg zouden de elektronen dus helemaal niet in beweging moeten komen, maar in de praktijk gebeurt dit wel. Faraday vond een oplossing voor dit probleem. Wat als een veranderend magneetveld nu altijd gepaard gaat met het ontstaan van een elektrisch veld? Als in dit geval het elektrische veld van beneden naar boven loopt (zie de onderstaande afbeelding), dan zou dit kunnen verklaren waarom de ladingen van A naar B gaan stromen.

Voor de spanning vinden we in dit geval (met behulp van de formule E_elek=qU):

$$ U_{ind} = \frac{E_{elek}}{q} = \int \frac{F_E}{q} \cdot d\vec{l} = \int \vec{E} \cdot d\vec{l} $$

Er geldt nu dus:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt} $$

Als we de flux uitwerken, dan vinden we:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \oint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{a} $$

We vinden hier dus een ander resultaat dan bij de elektrostatica! We noemen dit de wet van Faraday. Als we echter alleen statische magneetvelden beschouwen, dan wordt de rechter term nul en vinden we de oude formule terug.

De wet van Ampère blijkt ook aangepast te moeten worden in de elektrodynamica. Dit werd ontdekt door James Maxwell. Maxwell ontdekte een fout in de formule zoals we die eerder gevonden hebben. Hieronder zien we een condensator en in rood is een lus aangegeven waarlangs we het magneetveld integreren. Volgens de formule die we eerder gevonden hebben, vinden we:

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0I $$

I is hier de stroom door het gele oppervlak. Toen bedacht hij dat de formule ook zou moeten werken als we het oppervlak om de condensator heen zouden buigen (het paarse oppervlak). We zouden in dat geval op hetzelfde antwoord moeten uitkomen, maar omdat er geen stroom door dit oppervlak loopt, vinden we echter:

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = 0 $$

Dit kan natuurlijk niet kloppen!

Maxwell loste dit probleem toen hij realiseerde dat door het gele oppervlak wel een elektrisch veld steekt dat steeds groter wordt. Hij zorgt toen naar een term waarin een veranderd elektrisch veld voorkomt, waarbij hij hetzelfde antwoord vond als bij het paarse oppervlak:

$$ \mu_0 I = \mu_0 \frac{dq}{dt} $$

Met de wet van Gauss (∫Eda = q/ε₀) wordt dit:

$$ \mu_0 I = \mu_0\epsilon_0 \oint \frac{d\vec{E}}{dt} \cdot d\vec{a} $$

Dit is precies de term die we nodig hadden! We nieuwe wet van Ampère wordt hiermee:

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0I + \mu_0\epsilon_0 \oint \frac{d\vec{E}}{dt} \cdot d\vec{a} $$

Nu komen we voor beide oppervlakken op hetzelfde antwoord uit.

Met deze aanpassing maakte Maxwell de wetten voor de elektrodynamica compleet. Dit zijn de Maxwellvergelijkingen in z'n volledige vorm:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q}{\epsilon_0} $$ $$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \oint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{a} $$ $$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{a} = 0 $$ $$ \oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0I + \mu_0\epsilon_0 \oint \frac{d\vec{E}}{dt} \cdot d\vec{a} $$

In combinatie met elektrische en de magnetische kracht, kunnen we met deze wetten alle elektromagnetische effecten beschrijven:

$$ \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}) $$

Construeren van golven met fouriertransformatie

Een één dimensionale elektronenbundel wordt van links naar rechts geschoten.

Een persoon meet het magnetische en het elektrische veld rond deze bundel. Beschrijf de vorm van deze velden.

De persoon besluit nu zijn meetapparaten mee te laten bewegen met de ladingen. Beschrijf hoe de velden er nu uit zien.

Leg op basis van deze opdracht uit dat elektrische en magnetische velden niet twee losse fenomenen zijn, maar dat beide velden beter te beschrijven zijn als één elektromagnetische veld.

Een stuk metaal wordt met constante snelheid naar rechts bewogen door een magneetveld. Het magneetveld wijst het papier in.

Door de beweging wordt er een spanning opgebouwt in het stuk metaal. Leg uit welke kracht hiervoor zorgt.

Leg uit welke kant van het stuk metaal positief geladen wordt en welke kant negatief geladen wordt.

Nu bekijken we deze beweging gezien vanaf een waarnemer die met het stuk metaal meebeweegt. Volgens deze waarnemer kan het niet de lorentzkracht zijn die voor de spanning zorgt. Leg uit waarom niet.

In plaats daarvan wordt de kracht veroorzaakt door een elektrisch veld. Leg uit in welke richting dit veld moet werken.

Een homogeen magneetveld prikt het papier uit door een cirkelvormig stroomlusje met straal r. Buiten het lusje is het magneetveld nul. Als het magneetveld wordt versterkt, gaat er een inductiestroom lopen door de lus.

Leg dit uit met behulp van het begrip fluxverandering.

De inductiestroom die ontstaat is zelf ook weer verantwoordelijk voor een magneetveld. De richting van deze stroom is te bepalen met de wet van Lenz:

De richting van de geïnduceerde stroom is zodanig dat het geïnduceerde magnetische veld de verandering van de flux tegenwerkt.

Bepaal met de wet van Lenz in welke richting de stroom door de lus zal stromen.

Leg uit dat de lorentzkracht niet verantwoordelijk kan zijn voor deze inductiestroom.

De inductiestroom ontstaat in plaats hiervan door een elektrisch veld. Leg uit hoe dit elektrisch veld eruit komt te zien.

Laat zien dat het elektrische veld in de lus gegeven wordt door: $$ \vec{E} = \frac{1}{2}r\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$ Gebruik hiervoor de volgende formule uit de paragraaf: $$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt} $$ Je mag ervan uit gaan dat het elektrische veld op elke afstand r vanaf het centrum van de lus constant is.

De Maxwellvergelijkingen

De maxwellvergelijkingen zijn ook in een andere vorm te schrijven. Hiervoor hebben we twee wiskundige gelijkheden nodig die we niet zullen bewijzen. De eerste is het theorema van Gauss:

$$ \oint \vec{A} \cdot d\vec{a} = \int (\nabla \cdot \vec{A})dV $$

De tweede is het theorema van Stokes:

$$ \int (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{a} = \oint \vec{A} \cdot d\vec{l} $$

Laten we beginnen met ∫Eda = q/ε₀. Nu gaan we de lading q iets anders schrijven. We gaan hiervoor een formule gebruiken die lijkt op de dichtheid:

$$ m = \int \rho dV $$

In plaats van de dichtheid geldt alleen hier de ladingsdichtheid (we gebruiken hiervoor ook het symbool ρ):

$$ q = \int \rho dV $$

De formule wordt hiermee:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \int \frac{\rho}{\epsilon_0} dV $$

Als we hier het theorema van Gauss op toepassen, dan vinden we:

$$ \int (\nabla \cdot \vec{E})dV = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV$$

Er moet dus gelden dat:

$$ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

Laten we nu kijken naar ∫Edl=-∫dB/dtda. Als we hier het theorema van Stoke's op toepassen, dan vinden we:

$$ \oint (\nabla \times \vec{E})\cdot d\vec{a} = - \oint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{a} $$

Er geldt dus:

$$ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$

Dan pakken we ∫Bda=0. Met het theorema van Gauss wordt dit:

$$ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $$

Als laatste bestuderen we ∫Bdl=μI + μ₀ε₀ ∫dE/dtda. Hiervoor moeten we eerst een aanpassing maken. Tot nu toe hebben we altijd gedaan alsof stroom altijd door een één-dimensionale draad loopt. In werkelijkheid loopt stroom natuurlijk door een drie-dimensionale draad. De stroom die door een oppervlak da stroomt noemen we de stroomdichtheid (J). Er geldt:

$$ I = \int J \cdot d\vec{a} $$

Als de deze uitspraak in de formule stoppen, dan vinden we:

$$ \oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \int \left(\mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{d\vec{E}}{dt} \right) \cdot d\vec{a} $$

Als we Stoke's theorema hierop toepassen, van vinden we:

$$ \int (\nabla \times \vec{B}) \cdot d\vec{a} = \int \left(\mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{d\vec{E}}{dt} \right) \cdot d\vec{a} $$

Er geldt dus:

$$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$

We wetten van Maxwell zijn dus:

$$ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$ $$ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $$ $$ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$ $$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

Elektromagnetische straling

In deze paragraaf gaan we met de wetten van Maxwell aantonen dat licht niets anders is dan een elektromagnetische golf. We zullen deze ideeën gebruiken om radiocommunicatie te begrijpen.

In een gebied zonder ladingen (en dus ook zonder stromen), versimpelen de Maxwellvergelijkingen tot:

$$ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $$ $$ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $$ $$ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$ $$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

Merk op dat de vergelijkingen niet nul worden! Dit betekent dat elektrische en magnetische velden ook kunnen bestaan los van ladingen! We zullen in een paar stappen ontdekken dat deze losgekoppelde elektromagnetische velden zijn wat we in het dagelijks leven licht noemen.

Als we de rotatie nemen van de derde vergelijking, dan vinden we:

$$ \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = - \nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$

We kunnen deze formule uitschrijven met de volgende wiskundige gelijkheid (die we niet gaan bewijzen):

$$ \nabla \times (\nabla \times \vec{v}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2\vec{v} $$

We vinden hiermee:

$$ \nabla (\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2\vec{E} = - \nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$

Met behulp van de eerste wet van Maxwell kunnen we dit versimpelen tot:

$$ -\nabla^2\vec{E} = - \nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$

Als we nu beide zijden met -1 vermenigvuldigen en rechts de volgorde van de afgeleides omdraaien, dan vinden we:

$$ \nabla^2\vec{E} = \frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \vec{B}) $$

Met de vierde vergelijking van Maxwell vinden we dan:

$$ \nabla^2\vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} $$

Hetzelfde kunnen we doen door de rotatie van de vierde vergelijking te nemen:

$$ \nabla \times (\nabla \times \vec{B}) = \nabla \times \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$ $$ \nabla (\nabla \cdot \vec{B}) - \nabla^2\vec{B} = \nabla \times \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$

Als we links de tweede wet van Maxwell toepassen, dan vinden we:

$$ - \nabla^2\vec{B} = \nabla \times \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$

Als we wederom de volgorde van de afgeleides aan de rechter zijde omdraaien, dan vinden we:

$$ - \nabla^2\vec{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \vec{E}) $$

Door beide kanten te vermenigvuldigen met -1 en door rechts de derde vergelijking toe te passen, vinden we:

$$ \nabla^2\vec{B} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} $$

De twee formules in de grijze kaders hebben we vorm van een golfvergelijking (zie paragraaf golfvergelijking in het hoofdstuk trillingen):

$$ \nabla^2\vec{u} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} $$

Als we deze formule vergelijken met de golfvergelijkingen van het elektromagnetisch veld, dan vinden we dat de snelheid v gelijk moet zijn aan:

$$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} = 3,00 \times 10^8 \text{ m/s} $$

Deze snelheid is precies gelijk aan de lichtsnelheid! Toen Maxwell dit resultaat vond zag hij in dat dit geen toeval was. Licht is een elektromagnetische golf!

Oplossen van de golfvergelijking

Aan de statische wetten van Maxwell zou men nog kunnen opmaken dat elektrische en magnetische velden niet echt op zichzelf bestaan, maar slechts eigenschappen zijn van ladingen. Leg uit hoe je dit uit deze wetten zou kunnen opmaken.

De dynamische wetten van Maxwell, daarentegen, maakten het duidelijk dat elektrisch en magnetische velden ook los konden bestaan van ladingen. Leg uit hoe je dit uit deze wetten zou kunnen opmaken.

Een simpele oplossing van de twee golfvergelijkingen voor elektromagnetische golven is: $$ \vec{E} = \vec{E}_0 \sin{(z - ct)}$$ $$ \vec{B} = \vec{B}_0 \sin{(z - ct)}$$ De oplossing stelt een golf voor met amplitude E₀ en B₀ die in de z-richting beweegt. In deze opdracht gaan we een aantal eigenschappen van deze golven onderzoeken.

Stop de bovenstaande oplossing in de volgende wetten van Maxwell: $$ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $$ $$ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $$ Laat hiermee zien dat E_0,z en B_0,z gelijk moet zijn aan nul.

Leg uit waarom het resultaat van de vorige opdracht ons vertelt dat de elektromagnetische golf transversaal is.

Stop de oplossing nu in de volgende vergelijking van Maxwell: $$ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$ Laat hiermee zien dat: $$ E_{0,y} = -c B_{0,x} $$ $$ E_{0,x} = -c B_{0,y} $$

Het resultaat van de vorige opdracht kunnen we herschrijven tot: $$ \vec{B}_0 = \frac{1}{c} (\hat{z} \times \vec{E}_0) $$ Laat zien dat dit het geval is.

Leg uit dat we met de gegevens uit de vorige opdrachten kunnen concluderen dat de elektromagnetische golf de volgende vorm heeft:

Leg hier met name uit hoe we weten dat het elektrisch en het magnetisch veld loodrecht op elkaar en op de z-richting staan.

EXTRA: Energie van elektromagnetische velden

De elektromagnetische energie kunnen we net als elke energiesoort uitrekenen met behulp van de arbeid. Stel dat een elektrisch en een magnetisch veld een arbeid W uitoefenen op een lading en dat deze lading dan afstand dl aflegt in tijdsduur dt, dan is de arbeid gelijk aan:

$$ dW = \vec{F} \cdot d\vec{l} = q(\vec{E}+ \vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l} $$

Als we beide kanten nu afleiden naar de tijd, dan vinden we na wat heftige algebra:

$$ \frac{dW}{dt} = -\frac{d}{dt}\int \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 +\frac{1}{\mu_0} B^2 \right) dV - \frac{1}{\mu_0} \oint (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot d\vec{a} $$

We noemen dit Poynting's theorema. De eerste term aan de rechterkant is een volume-integraal en de tweede term een integraal over het oppervlak van dit volume. Als we het volume groot genoeg maken dat de elektromagnetische velden nul zijn aan dit oppervlak, dan versimpeld de vergelijking tot:

$$ \frac{dW}{dt} = -\frac{d}{dt}\int \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 +\frac{1}{\mu_0} B^2 \right) dV $$

De rechter integraal moet dus gelijk zijn aan de elektromagnetische energie in het volume V:

$$ \frac{dW}{dt} = -\frac{d E_{EM}}{dt} $$

Met het arbeid-energietheorema vinden we:

$$ \frac{d}{dt} (E_k + E_{EM}) = 0 $$

Dit vertelt ons dat de hoeveelheid kinetische en elektromagnetische energie tezamen behouden is in de tijd. In het geval dat de velden niet nul zijn aan het oppervlak van het volume, dan vinden we:

$$ \frac{d}{dt} (E_k + E_{EM}) = - \frac{1}{\mu_0} \oint (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot d\vec{a} $$

We zien dat in dit geval de energie binnen het volume niet behouden is. De linkerterm geeft ons de energie die per tijdseenheid wegstroomt door het oppervlak van het volume. Dit is gelijk aan het vermogen dat wegstroomt. Er geldt dus:

$$ P_{verlies} = \frac{1}{\mu_0} \oint (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot d\vec{a} $$

EXTRA: Straling

De oplossing van de statische Maxwellvergelijkingen kennen we al. Dit zijn de wet van Coulomb and Biot-Savart. Voor de dynamische versie van de Maxwellvergelijkingen vinden we als oplossing de zogenaamde Jefimenko vergelijkingen:

$$ \vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int \left( \frac{\rho}{R^2}\hat{R} + \frac{\dot{\rho}}{cR}\hat{R} - \frac{ \dot{\rho}\vec{v} + \rho \vec{a} }{c^2R} \right)dV $$ $$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \left( \frac{\vec{J}}{R^2} + \frac{ \dot{\rho}\vec{v} + \rho \vec{a} }{cR} \right) \times \hat{R} dV $$

Merk op dat in het statische geval deze formules versimpelen tot de wet van Coulomb en de wet van Biot-Savart.

Eerder in dit hoofdstuk hebben we gezien dat licht bestaat uit electromagnetische velden. Maar hoe ontstaan deze velden nu eigenlijk. Dit blijkt te gebeuren als ladingen versnellen. Als ladingen stilstaan of met constante snelheid bewegen, dan blijven alle energie van de elektrische en magnetische velden rond de ladingen hangen. Als we echter een lading versnellen, dan koppelt een deel van het electromagnetische veld los van de ladingen met de lichtsnelheid. Deze velden kunnen ver weg van de bron nog steeds gedetecteerd worden. De energie die per tijdeenheid door een bolvorming oppervlak stroom op de grote afstand van de bron is gelijk aan:

$$ P_{straling} = \frac{1}{\mu_0} \oint (\vec{E}\times \vec{B})\cdot d\vec{a} $$

Als we naar de Jefimenko velden kijken, dan zien we dat de eerste termen de wet van Coulomb en Biot-Savart voorstellen. Beide termen nemen af met 1/r². Als we dit in de bovenstaande formule stoppen, dan vinden we dat de term tussen haakjes afhankelijk is van 1/r⁴. Omdat het bolvorming oppervlak zelf evenredig is met r², vinden we dat het vermogen dat wegstroomt gelijk is aan 1/r². Het totale vermogen zal dus nul worden op grote afstand. We kunnen hieruit concluderen dat de wet van Coulomb en Biot-Savart niet voor straling zorgen.

De termen in de velden die afhankelijk zijn van de versnelling nemen echter af met 1/r. Hetzelfde geldt voor de termen waar de ladingsdichtheid verandert in de tijd. Als we dit in de formule voor het vermogen stoppen, dan vinden we 1/r²×r² = 1. Het vermogen is nu dus niet afhankelijk van r. Ook op grote afstand zal deze energie dus meetbaar zijn. Hoe groot we de bol ook maken, we blijven hetzelfde vermogen vinden. Het is dus de versnelling van lading dat zorgt voor straling.

Een simpele manier om ladingen te versnelling is door ze heen en weer te laten bewegen. Dit gebeurt in de onderstaande animatie. In deze animatie zien we in het midden een stukje metaal waar ladingen door omhoog en naar beneden stromen. We noemen dit een antenne. In het zwart zijn de elektrische veldlijnen weergegeven. Als de bovenkant van het stukje metaal positief is en de onderkant negatief, dan lopen de veldlijnen in de buurt van de plus naar de min. Als de helft van de ladingen beneden zijn, dan is het stukje echter even neutraal en dit dwingt de elektrische veldlijnen in een loopje. Deze loopjes planten zich dan met de lichtsnelheid voort. Dit is licht!

In de volgende afbeelding zijn ook de magneetveldlijnen weergegeven. Ook dit vormen loopjes. Zoals verwacht staat deze loopjes loodrecht op de elektrische veldlijnen.

Het was Heinrich Hertz die liet zich dat hij met behulp van zo'n antenne radiogolven kon versturen. Dit was het begin van de radiocommunicatie. Hij gebruikte een tweede antenne om de golven te ontvangen. In de onderstaande animatie zien we een elektromagnetische golf (alleen het elektrische deel is afgebeeld) die aankomt bij een antenne. Dit elektrische veld oefent een kracht uit op de ladignen in het metaal en dit veld zorgt ervoor dat ladingen in de antenne heen en weer gaan stromen.

Extra stof hoofdstuk magnetisme De Maxwellvergelijkingen