MAGNETISME

ASTROFYSICA

KWANTUM

...

antwoorden

antwoorden

antwoorden

antwoorden

videolessen

videolessen

videolessen

videolessen

oefentoets

oefentoets

oefentoets

oefentoets

Hoofdstuk 3
Kwantumfysica

§1 Golf- en deeltjesverschijnselen
§2 De Broglie
§3 Deeltje in een doos
§4 Het atoommodel
§5 Onzekerheid
§6 Tunneling

§1     Golf- en deeltjesverschijnselen

De kwantumfysica geeft ons een zeer nauwkeurige beschrijving van de kleine deeltjes waaruit de wereld bestaat. De eerste doorbraak in deze theorie was Einsteins ontdekking dat licht uit deeltjes bestaat. Deze deeltjes worden fotonen genoemd. Eerder was juist ontdekt dat licht uit golven bestaat. Dus is licht nu een golf of een deeltje of misschien een combinatie van beide? Dit wordt de golf-deeltje-dualiteit genoemd.

Als we licht op metaalatomen schijnen, dan kan dit licht geabsorbeerd worden door de elektronen in deze atomen. In sommige gevallen heeft het licht genoeg energie om elektronen uit de atomen trekken. De elektronen schieten dan weg van de metaalatomen. Dit wordt het foto-elektrisch effect genoemd.

In de 19^de eeuw werd ontdekt dat licht golfeigenschappen heeft. Als gevolg werd gedacht dat het ontsnappen van de elektronen zou moeten afhangen van de intensiteit  (en dus van de amplitude) van deze golven. Volgens deze theorie zou elke kleur licht elektronen moeten kunnen laten ontsnappen uit het metaal, als we het licht maar fel genoeg maken (zie de onderstaande afbeelding).

In werkelijkheid bleek dit echter niet het geval! In plaats van de intensiteit, bleek de frequentie (en dus de kleur) van het licht het verschil te maken. Als de frequentie boven een bepaalde grensfrequentie (f_grens) komt, dan ontsnappen de elektronen en anders niet. In BINAS vinden we voor verschillende stoffen deze grensfrequentie. Licht onder de grensfrequentie zal nooit elektronen doen laten ontsnappen, hoe fel we het licht ook maken.

Einstein concludeerde op basis van deze observatie dat licht behalve golf- ook deeltjeseigenschappen heeft. Volgens Einstein was licht opgebouwd uit kleine deeltjes genaamd fotonen. Als de lichtgolf het metaal raakt, dan is het niet de gehele golf die geabsorbeerd wordt, maar de individuele fotonen waaruit het licht bestaat. Als een enkel foton genoeg energie heeft, dan zal het elektron ontsnappen uit het atoom en anders niet. De intensiteit heeft hier geen invloed op. Hoe hoger de intensiteit, hoe meer fotonen, maar als elk afzonderlijk foton niet genoeg energie heeft, dan zal geen van deze fotonen in staat zijn een elektron te laten ontsnappen.

Demonstratievideo

In het rechter filmpje zien we dit effect in werking. In dit geval wordt het metaal eerst negatief geladen, om het foto-elektrisch effect gemakkelijker plaats te laten vinden. DEMO-VIDEO: Het foto-elektrisch effect

Naast de grensfrequentie bestaat ook de grensgolflengte. Voor een aantal metalen zijn ook deze waarden in BINAS te vinden. Met behulp van de formule E_f = hc / λ kunnen we zien dat een grotere golflengte zorgt voor een kleinere energie. Alleen bij golflengtes kleiner dan de grensgolflengte vindt dus het foto-elektrisch effect plaats.

Bij het foto-elektrisch effect moet het foton in ieder geval genoeg energie hebben om het elektron uit het metaal te trekken. Deze energie wordt de uittree-energie (E_uittree) of ook wel de ionisatie-energie genoemd. De uittree-energie is ook voor verschillende stoffen in BINAS te vinden. Als er dan nog energie over is, dan wordt deze energie meegegeven aan het elektron in de vorm van kinetische energie. Dit is de energie waarmee het elektron wegschiet uit het materiaal. Er geldt dus:

$$E_{foton} = E_{uittree} + E_{kin} \;\;\; \text{(bij ontsnappen elektron)}$$

We kunnen als volgt aantonen dat licht ook golfeigenschappen heeft. Als we licht op een plaatje met twee dunne spleetjes schijnen, dan ontstaan achter beide spleetjes cirkelvormige golven, die met elkaar gaan interfereren (zie de onderstaande linker afbeelding). We noemen dit het dubbele spleet experiment. Als we achter het scherm een detector plaatsen, dan zien we op dit scherm maxima en minima zoals we dat ook in het hoofdstuk "Trillingen" gezien hebben. Het interferentiepatroon is een aanwijzing dat licht een golf is. Als licht uit deeltjes zou bestaan, dan zouden we het rechter patroon verwachten, maar dit is niet wat we meten. Dit is merkwaardig, aangezien we in de vorige paragraaf juist geleerd hebben dat licht uit deeltjes bestaat. Als gevolg spreken we van de golf-deeltje-dualiteit.

Maar het wordt nog vreemder. Als we de individuele fotonen volgen om te zien hoe ze bewegen, dan krijgen we wel het rechter patroon te zien! Als we niet meten, dan gedraagt licht zich dus als een golf en als we wel meten, dan bestaat licht plotseling uit losse deeltjes.

We kunnen ook fotonen één voor één door de spleten sturen. In de onderstaande afbeelding zien we wat er in dat geval gebeurt. Ten eerste zien we dat de fotonen op specifieke punten op de detector terecht komen. Dit suggereert dat fotonen deeltjes zijn. Maar als we lang genoeg wachten, dan zien we een interferentiepatroon ontstaan. Dit suggereert juist dat fotonen golven zijn. Een dergelijk interferentiepatroon kan alleen ontstaan als elk foton door beide spleten is gegaan en met zichzelf heeft geïnterfereerd! Het moment dat de fotongolf echter tegen de detector botst, verschijnt het foton als een puntje op het scherm, alsof het juist een deeltje is! De golf is op dat moment dus ineen geklapt tot een deeltje. Dit lijkt onlogisch, maar toch is dit wat we meten. De bekende kwantumfysicus Niels Bohr zei over deze vreemde effecten: "Wie zegt de kwantumfysica te begrijpen, heeft het niet begrepen".

Maar wat bepaalt dan waar het foton op de detector terecht komt? Dit blijkt niet te voorspellen te zijn. Het is niet mogelijk van te voren uit te vinden waar het foton op het scherm zal komen. Het enige dat we weten, is dat als je genoeg fotonen afschiet, dat dan een voorspelbaar interferentiepatroon ontstaat. Bij de maxima is de kans op een foton het grootst en bij de minima is er geen kans het foton te vinden. De kwantumfysica is dus gebaseerd op kans en het interferentiepatroon vertelt ons hoe groot deze kans is. We noemen dit patroon daarom ook wel een waarschijnlijkheidsverdeling (P). Hieronder zien we een afbeelding van de waarschijnlijkheidsverdeling die bij dit experiment hoort.

Als je de kans wil vinden dat je een elektron in een bepaald gebiedje zal aantreffen, dan doe je dat door de oppervlakte onder de grafiek te bepalen. Het totale oppervlak onder de grafiek is altijd 1, oftewel 100%. Als je overal zoekt, heb je namelijk zekerheid dat je het elektron ergens zal vinden.

Met behulp van de onderstaande afbeelding gaan we begrijpen hoe het interferentiepatroon vormt. In de onderstaande afbeelding zien we een golf die aankomt bij een plaat met daarin twee spleten. Achter de spleten ontstaat bij elke spleet een cirkelvormige golf. In punt B is de weglengte van beide golven gelijk en als gevolg is het weglengteverschil nul en komen de golven dus in fase aan. Hier bevindt zich dus een maximum. We noemen dit het nulde orde maximum.

De eerstvolgende maxima bevinden zich bij punt A en C. We noemen dit de eerste orde maxima. Rechts zien we een close-up van de twee golven die aankomen in punt A. Het weglengteverschil tussen de twee lichtstralen die bij punt A uitkomen is in deze afbeelding Δx genoemd. Deze afstand is een zijde van een driehoek waarvoor geldt:

$$ \sin{\theta} = \frac{\Delta x}{d} $$

Zoals je je misschien nog kan herinneren uit het hoofdstuk "Trillingen" geldt dat constructieve interferentie optreedt als er precies een heel aantal golflengtes in dit weglengteverschil Δx passen. Op deze manier komen de golven namelijk in fase aan bij de detector. Er geldt dus: Δx = nλ, waarbij n een heel getal is. Als we deze twee formules combineren, dan vinden we:

$$n\lambda = d\sin{\theta}$$ Orde (n) - Golflengte (λ) meter (m) Afstand tussen de spleten (d) meter (m) Hoek van de nde orde bundel ten opzichte van de middellijn (θ) graden (o)

Dezelfde formule geldt ook voor een zogenaamde tralie. Dit is een plaatje met daarin niet twee maar een hele hoop spleten. Het voordeel van een tralie is dat op veel meer punten destructieve interferentie voorkomt, waardoor de pieken van het interferentiepatroon dunner worden. Dit werkt als volgt. Als we in de onderstaande afbeelding twee golven naast elkaar optellen, dan vindt geen destructieve interferentie plaats. Als we echter een golf overslaan, dan treedt de destructieve interferentie in dit geval wel op. Omdat tralies honderden spleten per millimeter kunnen hebben, zorgt dit voor zoveel destructieve interferentie dat alleen de punten heel dicht bij de maxima nog oplichten.

 

Demonstratievideo

In het rechter filmpje zien we laserlicht door een tralie schijnen. We zien inderdaad goed gedefinieerde punten met constructieve interferentie en daarnaast stukken met destructieve interferentie. DEMO-VIDEO: De tralie

Leerdoelen:

Zorg dat je weet dat met het foto-elektrisch effect elektronen vrijgemaakt worden uit metalen met behulp van licht. Zorg dat je begrijpt dat als licht zich als golf zou gedragen, dat licht van welke kleur dan ook met genoeg intensiteit zal zorgen voor het foto-elektrisch effect. Dit is niet wat we waarnemen. Zorg dat je weet dat licht zich hier als deeltjes (fotonen) gedraagt, waarbij het foto-elektrisch effect optreedt als de energie per foton boven de grensfrequentie (fgrens), boven de uittree-energie (Euittree) of onder de grensgolflengte (λgrens) uitkomt. Zorg dat je begrijpt dat bij het dubbelspleetexperiment deeltjes door beide spleten tegelijken gaan (golfverschijnsel), maar toch als gelokaliseerde deeltjes op een detector verschijnen (deeltjesverschijnsel). Bij veel deeltjes wordt een interferentiepatroon zichtbaar (golfverschijnsel). Dit is een voorbeeld van golf-deeltje-dualiteit. Zorg dat je kan redeneren met de waarschijnlijkheidsverdeling (P). Het oppervlak onder deze grafiek keer 100 komt overeen met de kans het deeltje aan te treffen. Het totale oppervlak moet altijd gelijk zijn aan 1. Zorg dat je met het weglengteverschil kan verklaren waar de maxima van het interferentiepatroon van een dubbelspleet of een tralie te vinden zijn. Zorg dat je kan rekenen met dsinθ = nλ en dat je deze formule ook kan afleiden. Bij "θ = 0o" vinden we de nulde orde. Aan weerszijden bevinden zich de hogere orden. De hoek kan in deze formule niet boven de 90o uitkomen. In dit geval geeft de formule een "error". Hiermee wordt het totaal aantal orden bepaald.

Opdrachten

(2p) Leg uit hoe je met het foto-elektrisch effect kan aantonen dat licht uit fotonen bestaat. (2p) Leg uit hoe je met de grensfrequentie en de grensgolflengte kan bepalen of een metaalatoom zal ioniseren of niet. (3p) Ga na of blauw licht sterk genoeg is om elektronen in een stuk zilver te ioniseren. (2p) Fotonen met een golflengte van 300 nm worden op een stuk zink geschoten. Leg uit of de elektronen in het zink zullen ioniseren. (2p) Leg uit hoe wetenschappers hebben aangetoond dat fotonen zowel een golf- als een deeltjeskarakter hebben. Een leerling schijnt een laser door een tralie met 700 spleten per millimeter. De hoek richting de eerste orde maxima is 27 graden. (4p) Laat met een berekening zien dat de golflengte van het gebruikte licht 650 nm is. Welke kleur heeft dit licht? (3p) Bepaal hoeveel maxima er maximaal op het scherm te zien zijn. (6p) Hoeveel maxima zijn er als we een tralie nemen met slechts 100 lijnen per millimeter? Zelfs bij een enkele spleet krijg je een interferentiepatroon te zien. Bij een enkele spleet spreken we van diffractie. Hieronder is dit patroon te zien. (Bron: Jordgette; CC BY-SA 3.0) (1p) Leg uit hoe er zelfs bij een enkele spleet interferentie kan optreden. Leg ook uit waarom hier niet de afstand tussen spleten, maar de dikte van de spleet zelf van belang is. (4p) Een spleet heeft een dikte van 1,0 μm. Bereken hoeveel maxima zichtbaar zijn. In de onderstaande afbeelding is schematisch een waterstofjodide-atoom afgebeeld. Het waterstofatoom trilt heen en weer. In de afbeelding zien we een klassieke kansverdeling, waaruit de kans kan worden afgelezen dat het waterstofatoom zich op een bepaalde plek bevindt. (2p) Leg uit waarom P(u) een minimum heeft voor u = 0 en een maximum voor u = ±A. (2p) Leg uit hoe de waarschijnlijkheidsverdeling P(u) in breedte en hoogte verandert als de totale energie van de trilling groter wordt. Een elektronenbundel wordt tussen twee condensatorplaten versneld en op een dun stukje grafiet geschoten. De meeste elektronen gaan door het stuk grafiet heen, maar veranderen wel iets van richting doordat ze reflecteren tegen de grafietatomen. Deze afgebogen elektronen komen uiteindelijk op een fosforscherm terecht, waar een interferentiepatroon zichtbaar wordt. De koolstofatomen in een stukje grafiet liggen in een patroon van regelmatige zeshoeken. Zoals je in de onderstaande afbeelding kan zien, liggen de atomen langs een aantal evenwijdige lijnen in het rooster. Deze lijnen gedragen zich als een tralie voor de inkomende elektronenbundel. In de rechter afbeelding zien we een reflectie van twee elektronenstralen plaatsvinden tegen twee van deze lijnen. (1p) Geef in de rechter afbeelding aan wat het weglengteverschil is tussen de twee elektronenbundels. (4p) Leid hiermee af dat: $$ 2d\sin{(\alpha)} = n\lambda \;\;\text{ met n = 1,2,3,...} $$ (2p) Hieronder zien we de twee belangrijkste evenwijdige lijnen in het rooster en de bijbehorende afstanden d1 en d2. Bij een interferentiepatroon aan een monokristallijne laag grafiet (dat wil zeggen een laag die uit één kristal grafiet bestaat) ontstaat het patroon op het fosforscherm dat linksonder is weergegeven. Als er in de diffractiebuis geen monokristallijne laag grafiet zit maar een polykristallijne laag (dat wil zeggen dat er vele kristallen kriskras door elkaar zitten), ziet het interferentiepatroon eruit zoals rechts is weergegeven. Leg uit of de buitenste ring komt van interferentie aan lijnen met afstand d1 of met afstand d2. (3p) Bij het verlagen van de versnelspanning verdwijnt op een gegeven moment het interferentiepatroon. Leg uit hoe dit komt. Gebruik hiervoor o.a. de volgende formule voor de versnelspanning: $$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$$ (3p) Hieronder zien we een diagram waarbij de straal van beide ringen is uitgezet tegen de debroglie-golflengte van de elektronen. Voor kleine afbuigingshoeken geldt bij benadering: $$ r = \frac{2R}{d}n\lambda $$ R is hier de straal van de diffractiebuis (65 mm). Bepaal met behulp van het diagram zo nauwkeurig mogelijk de grootte van d voor de buitenste ring. (bron: examen VWO 2019-2)

 

§2     De Broglie

In de vorige paragraaf hebben we gezien dat licht zowel deeltjes- als golfeigenschappen heeft. Hetzelfde bleek ook te gelden voor deeltjes met massa, zoals elektronen en protonen. De Broglie vond één vergelijking, waarmee zowel de golflengte van deeltjes met als zonder massa gegeven kan worden. In deze paragraaf introduceren we deze formule.

Het dubbele spleet experiment dat in de vorige paragraaf beschreven is, werd op een later moment ook uitgevoerd voor deeltjes met massa, zoals elektronen, protonen en zelfs hele moleculen. In alle gevallen vonden we hetzelfde resultaat als bij fotonen. Ook deeltjes met massa hebben dus zowel golf- als deeltjeseigenschappen. Een massief deeltje als een elektron kunnen we dus ook voorstellen als een golfje en moet dus ook een golflengte hebben.

De natuurkundige De Broglie vond een formule waarmee de golflengte van deeltjes met en zonder massa gegeven kan worden. Hiervoor is het begrip impuls (p) nodig. In de relativiteitstheorie was bekend dat de impuls voor deeltjes zonder massa (zoals fotonen) gegeven wordt door E = pc. Voor deeltjes met massa gold al in de Newtoniaanse mechanica dat:

$$p = mv$$ Impuls (p) kg m/s Massa (m) kilogram (kg) Snelheid (v) meter per seconde (m/s)

Door de formule  E_f = pc en E_f = hc / λ te combineren, vond de wetenschapper Louis de Broglie één formule waarmee de golflengte te vinden is voor zowel deeltjes met als zonder massa. We noemen dit de debroglie-golflengte:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$ De debroglie-golflengte (λ) meter (m) De constante van Planck (h) 6,62606957 × 10-34 Js Impuls (p) kilogram keer meter per seconde (kgm/s)

Dit is één van de belangrijkste formules in de kwantummechanica. Omdat de impuls zo vaak gebruikt wordt in de kwantummechanica, gaan we de formule voor de kinetische energie als volgt herschrijven:

$$E_{kin} = \frac{p^2}{2m}$$ Impuls (p) kg m/s Massa (m) kilogram (kg) Kinetische energie (Ekin) joule (J)

Als we deze formule uitschrijven met p = mv, dan vinden we:

$$ E_{kin}= \frac{m^2v^2}{2m}= \frac{mv^2}{2} = \frac{1}{2}mv^2 $$

Zoals je ziet vinden we hier de formule voor de kinetische energie terug.

In het dagelijks leven merken we weinig van de golfeigenschappen van deeltjes. Dit komt omdat de constante van Planck (h) in de formule van de Broglie erg klein is. Aan de formule λ = h/p zien we dat de golflengte alleen groot wordt als de impuls (p) erg klein is. Dit gebeurt bijvoorbeeld als we een stof extreem koud maken. In dat geval wordt de snelheid en dus ook de impuls van de deeltjes klein.

De formule van de Broglie speelt o.a. een rol in de microscopie. Om dit te begrijpen moeten we eerst een begrip bespreken genaamd buiging, ook wel diffractie genoemd. Golven buigen namelijk om voorwerpen heen. Bij geluid kennen we dit effect allemaal. We kunnen bijvoorbeeld iemand horen die om een hoek staat, omdat het geluid de hoek om buigt.

Hieronder zien we golven die zich door een dunne en een brede spleet bewegen. Als de spleet klein is ten opzichte van de golflengte, dan treedt veel buiging op. Zo niet, dan treedt juist weinig buiging op. Bij een erg brede spleet vindt bijna helemaal geen buiging plaats. Dankzij de kleine golflengte van zichtbaar licht, merken we weinig van het buigen van licht in het dagelijks leven. Voor radiogolven is dit echter een ander verhaal. Radiogolven hebben een veel grotere golflengte en buigen daarom gemakkelijk om alledaagse voorwerpen heen. Dit is waarom een radio bijna overal ontvangst heeft. De radiostraling buigt zich om alle voorwerpen heen en komt zo in alle uithoeken terecht.

In de onderstaande afbeelding wordt een voorwerp beschenen met licht. Ook hier treedt buiging op. Als het voorwerp klein is ten opzichte van de golflengte, dan treedt veel buiging op. Zo niet, dan vindt weinig buiging plaats. Links in de afbeelding treedt dus weinig buiging op en als gevolg is er achter het voorwerp een duidelijke schaduw te zien. Rechts is de buiging zo extreem dat de golven hun pad vervolgen alsof er helemaal geen voorwerp aanwezig is.

Dit effect zorgt voor een limiet bij het gebruik van lichtmicroscopen. Als de golflengte van zichtbaar licht groter is dan het voorwerp dat je wilt bekijken, dan krijg je door buiging geen goed beeld. Bij erg kleine voorwerpen moet dus een ander type microscoop gebruikt worden. Een voorbeeld is een elektronenmicroscoop. Stel dat de elektronen in dit type microscoop met een snelheid van 2,3 × 10⁵ m/s worden afgeschoten op het voorwerp dat we willen bekijken, dan vinden we de volgende debroglie-golflengte:

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$ $$ \lambda = \frac{6,63\times 10^{-34}}{9,31\times 10^{-31} \times 2,3 \times 10^5}=3,0 \;\text{nm} $$

Dit is klein genoeg om bijvoorbeeld een virus te kunnen bekijken, hetgeen met een normale microscoop niet mogelijk is.

Leerdoelen:

Zorg dat je kan rekenen met de formules "p = mv", "Ekin = p2/(2m)" en "λ = h/p". "λ" wordt in deze formmule de debrogliegolflengte genoemd. Deze formule is van toepassing op deeltjes met en zonder massa. Zorg dat je weet dat buiging (ook wel diffractie genoemd) bij een golf door een spleet optreedt als de spleet klein is ten opzichte van de golflengte.

Opdrachten

(2p) Als je je hand onder zonlicht houdt, dan ontstaat op de ondergrond een scherpe schaduw. Wat zegt dit over de golflengte van zonlicht? Gebruik in je antwoord het woord buiging. (2p) Een paal staat in de zee. Als golven met een golflengte van een paar meter langskomen, dan worden de golven even vervormd door de aanwezigheid van de paal, maar even later gaan de golven verder alsof de paal er niet geweest was. Leg uit hoe dit kan. (2p) Leg uit waarom radiogolven geschikt zijn voor het ontvangen van wifi. (2p) Laat zien dat een virus van 250 nm niet met zichtbaar licht waargenomen kan worden door een microscoop. Met een elektronenmicroscoop kunnen kleinere voorwerpen zichtbaar worden gemaakt dan met een lichtmicroscoop. (1p) Leg uit waarom dit het geval is. (5p) Elektronen worden met een snelheid van 2,3 × 105 m/s op een virus geschoten ter grootte van 150 nm. Ga met een berekening na of het mogelijk is om hiermee het virus te bekijken. (1p) Bereken of het mogelijk is om met deze microscoop een watermolecuul ter grootte van 0,15 nm zichtbaar te maken. In 1923 deed Louis de Broglie de veronderstelling dat deeltjes een golfkarakter vertonen en dus een golflengte bezitten. In 1927 toonden Clinton Davisson en Lester Germer experimenteel aan dat de veronderstelling van De Broglie juist was. Davisson en Germer gebruikten de opstelling die hieronder schematisch is weergegeven. Weergegeven is een elektronenbundel die versnelt wordt door een versnelspanning U. De bundel komt terecht op een nikkelplaatje. Elektronen die reflecteren tegen het plaatje kunnen worden opgevangen door een detector. Deze kan verdraaid worden rondom het nikkelplaatje. De afstand tussen (het midden van) het plaatje en de detector blijft daarbij gelijk. De detector vangt de elektronen op die terugkomen met een hoek θ ten opzichte van de invallende bundel. Hieronder staan de meetresultaten van dit experiment bij verschillende hoeken. (1p) Leg aan de hand de bovenstaande afbeelding uit dat elektronen zich hier gedragen als golven. (1p) Leg uit of dit patroon ook zichtbaar zou zijn als de elektronen één voor één werden afgeschoten. (4p) In de onderstaande afbeelding is schematisch de reflectie van de elektronengolf weergegeven. De punten geven de nikkelatomen weer. De afstand d is de afstand tussen de atomen. De meetresultaten van Davisson en Germer kunnen worden beschreven met: $$n\lambda = d\sin{\theta}$$ n is hier een heel getal. Leid deze formule af met behulp van de tekening. (3p) Met de opstelling kan de debroglie-golflengte van de elektronen berekend worden met de formule: $$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$$ Leid deze formule af met formules uit BINAS. (4p) Met de meetresultaten van Davisson en Germer is de afstand tussen de atomen te bepalen. Bepaal deze afstand. Ga hier uit van een versnelspanning van 54 V. (bron: examen 2016 voorbeeldopgaven)

 

§3     Deeltje in een doos

Om kwantumeffecten beter te begrijpen, bestuderen we in deze paragraaf het simpelste kwantumsysteem: het deeltje in een doos.

In deze paragraaf bestuderen we een deeltje dat alleen naar links en rechts kan bewegen in een één-dimensionale ruimte die aan beide zijden is afgesloten (zie de onderstaande afbeelding). We noemen systeem ook wel het deeltje in een doos. Omdat de wanden van dit systeem gezien worden als oneindig sterk, spreken we hier ook wel van de oneindig diepe energieput.

Als de doos groot is ten opzichte van de kansgolf van het deeltje, dan zal de kansgolf zich als een deeltje gedragen. De kansgolf zal dan heen en weer botsen in het doosje alsof het een deeltje is (zie de onderstaande afbeelding).

Als de doos echter klein is ten opzichte van de kansgolf, dan beginnen we golfverschijnselen te merken. Als de golf reflecteert tegen de wanden, dan begint deze namelijk met zichzelf te interfereren. Net als bij trillingen in een snaar ontstaat hierbij dan een staande golf met knopen en buiken. Net als bij een snaar geldt dan ook:

$$L = \frac{1}{2}\lambda n \;\;\;\; \text{(twee vaste uiteinden)}$$

In het geval van een deeltje in een doos noemen we n = 1 de grondtoestand en n = 2, 3, ... de aangeslagen toestanden. n = 2 noemen we de eerste aangeslagen toestand. n = 3 noemen we de tweede aangeslagen toestand. Etc. Hieronder zien we een aantal toestanden van een deeltje in het doosje. Uit metingen is gebleken dat het kwadraat van de kansgolf gelijk is aan de waarschijnlijkheidsverdeling (P) die we in de vorige paragraaf besproken hebben. Deze verdelingen zijn rechts in de onderstaande afbeelding weergegeven. Merk op dat door het kwadraat de kansverdeling overal positief is geworden. Dit is maar goed ook, want negatieve kansen bestaan niet.

Als we de formule L = ½ λn combineren met λ = h/p, dan vinden we:

$$p=nh/2L$$

Als we deze formule combineren met E_kin = p²/(2m), dan vinden we:

$$E_{kin,n} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$$ Kinetische energie (En) joule (J) Energieniveaus (n) - De constante van Planck (h) 6,62606957 × 10-34 Js Massa van het deeltje (m) kilogram (kg) Lengte van de doos (L) meter (m)

Een aantal dingen kunnen we aan deze formule opmerken. Ten eerste zien we dat het elektron in het doosje niet zomaar elke kinetische energie (en dus niet elke snelheid) kan aannemen. Alleen de waarden die overeenkomen met de staande golven zijn mogelijk. We zeggen daarom dat de energie gekwantiseerd is. Merk ook op dat het niet mogelijk is dat het deeltje geen kinetische energie heeft. Zelfs in de grondtoestand n = 1, de laagste toestand, heeft het deeltje namelijk volgens de formule nog gewoon energie. We noemen dit de nulpuntsenergie. Een deeltje in een doos kan dus niet stilstaan!

Als de lengte L van de doos groot wordt, dan kan je aan de formule zien dat de energieniveaus erg dicht op elkaar komen te liggen. Op een gegeven moment komen deze niveaus zo dicht bij elkaar te liggen dat het lijkt alsof het deeltjes gewoon alle energieniveaus kunnen aannemen. Dit is waarom we in het dagelijks leven niks merken van de kwantisering.

Een deeltje in een doosje kan naar een hoger energieniveau springen door o.a. een foton te absorberen met een energie die precies overeenkomt met het verschil tussen het huidige energieniveau en een hoger niveau. Er geldt dus:

$$E_{foton} = \Delta E_n$$ Fotonenergie (Ef) joule (J) Energieverschil tussen twee schillen (ΔE) joule (J)

Dezelfde formule geldt als een elektron terugvalt naar een lager niveau. In dat geval komt er juist een foton vrij. Stel dat een elektron in een doosje met een lengte van 2,0 nm terugvalt van de eerste aangeslagen toestand naar de grondtoestand. Er geldt dan:

$$E_{foton} = \Delta E_n = E_2 - E_1$$ $$E_{foton} = \frac{2^2h^2}{8mL^2} - \frac{1^2h^2}{8mL^2}$$ $$E_{foton} = \frac{3h^2}{8mL^2}$$ $$E_{foton} = \frac{3 \times (6,6 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9,1 \times 10^{-31} \times (2,0 \times 10^{-9})^2} = 4,5 \times 10^{-20} \text{ J} = 0,28 \text{ eV}$$

Hieronder zien we een praktijkvoorbeeld van staande elektrongolven. Een aantal ijzeratomen zijn in een cirkel geplaatst en vormen zo een tweedimensioneel "doosje". De elektronen van een daarondergelegen laag aan kopereatomen worden door de ijzeratomen begrenst en gaan met elkaar interfereren. Hierbij ontstaat een staande golf.

(Afbeelding: Julian Voss-Andreae; CC BY-SA 3.0; Afbeelding is een reproductie van een afbeelding gemaakt door Don Eigler, IBM Almaden Research Center)

Leerdoelen:

Zorg dat je weet dat een deeltje in een doosje, ook wel een deeltje in een oneindig diepe energieput genoemd, staande golven vormt. n = 1 komt overeen met de grondtoestand en n = 2,3,... met de aangeslagen toestanden. Bij n = 2 hoort de eerste aangeslagen toestand. Zorg dat je weet dat het kwadraat van de golffunctie geinterpreteerd kan worden als de waarschijnlijkheidsverdeling van waar je het deeltje kan aantreffen. De kinetische energie van een deeltje in een doos met energieniveau n wordt gegeven door "Ekin,n = n2h2/(8mL2)". Zorg dat je met deze formule kan beargumenteren dat energie gekwantiseerd is en dat deeltjes in een doos in hun grondtoestand nulpuntsenergie hebben (en dus niet stil staan). Zorg dat je weet dat een deeltje naar een hoger energieniveau getild kan worden door een foton te absorberen met precies de energie gelijk aan het verschil tussen de energieniveaus (Ef = ΔEn). Zorg dat je weet dat bij terugval naar een lagere toestand, het foton weer uitgezonden wordt. Het deeltje kan ook in meerdere stappen terugvallen, waarbij meerdere fotonen worden uitgezonden.

Opdrachten

(2p) Leg uit dat een elektron niet stil kan staan in een doosje. (5p) Een elektron bevindt zich in een afgesloten ruimte van 200 nm in zijn eerste aangeslagen toestand. Bereken de snelheid van dit elektron. (4p) Een elektron bevindt zich in een afgesloten ruimte van 200 nm en beweegt met een snelheid van 9,1 × 103 m/s heen en weer. Bereken in welke toestand het deeltje zich bevindt. (1p) Leg uit waarom geldt dat Ef = ΔEn. (6p) Een foton brengt een proton in een doosje van 300 nm lang van de tweede naar de vierde aangeslagen toestand. Bereken de frequentie van het foton dat hiervoor nodig is. (2p) Leg met behulp van een formule uit waarom we er in het dagelijks leven weinig van merken dat elektronen in afgesloten ruimtes slechts bepaalde snelheden kunnen aannemen. Ga naar de website en beantwoord deze vraag met behulp van de animatie. Een elektron in een doosje kan zich ook in meerdere toestanden tegelijk bevinden. In de onderste animatie kan je verschillende toestanden aan en uit zetten. Gebruik deze animatie bij het beantwoorden van de volgende vragen. (1p) Een leerling beweert dat de kansgolf niet verandert in de tijd als het elektron zich in slechts één toestand bevindt. Leg uit of de leerling gelijk heeft. (1p) Een leerling beweert dat de kansgolf zich meer kan gaan gedragen als een deeltje als het elektron zich in een aantal toestanden tegelijk bevindt. Leg uit wat de leerling hier bedoelt. Met een inktwisser kun je lichtblauwe vulpeninkt onzichtbaar maken door middel van een chemische reactie. Laten we eerst de inktmoleculen bestuderen. In elk inktmolecuul kan één elektron vrij heen en weer bewegen. Het molecuul kan daarom opgevat worden als een energieput met lengte L. De overgang van de grondtoestand van dit elektron naar de eerste aangeslagen toestand komt overeen met de energie van een foton uit het geel-groene deel van het spectrum met een golflengte van 550 nm. (4p) Bereken de lengte van de inktmolecuul. (1p) De inktwisser zorgt voor de reactie die hieronder is weergegeven: In het molecuul dat ontstaat, kunnen de elektronen niet meer langs het centrale koolstofatoom bewegen. Hierdoor is de lengte van de energieput gehalveerd. Het energieverschil tussen de grondtoestand en de eerste aangeslagen toestand wordt daardoor 4 keer zo groot. Leg dit uit. (3p) Het nieuwe molecuul is kleurloos. Leg dit uit met behulp van een berekening en BINAS. (bron: examen VWO 2016-pilot)

 

§4     Het atoommodel

Met de kwantumfysica kunnen we ook het waterstofatoom en zelfs het gehele periodiek systeem beschrijven. In deze paragraaf gaan we zien hoe dit werkt.

De kwantummechanische beschrijving van het waterstofatoom wordt ook wel het atoommodel van Bohr genoemd. Net als in het geval van het deeltje in een doos, kan ook het elektron in een waterstofatoom gezien worden als een staande golf. Ook het elektron in waterstof kan zich in de grondtoestand of één van de aangeslagen toestanden bevinden. In elke toestand bevindt het elektron zich in een andere schil om de kern (zie de onderstaande afbeelding).

In elke schil heeft het elektron een specifieke energie. Deze energie bestaat uit een combinatie van kinetische en elektrische energie. In een opdracht onder aan deze paragraaf zullen we bewijzen dat de energieniveaus die bij deze toestanden horen gegeven worden door:

$$E_n(\text{eV}) = \frac{-13,6}{n^2} \;\;\;\; \text{(waterstofatoom, energie in eV)}$$ Energie (En) electronvolt (eV) Energieniveau (n) -

Merk op dat de energie in deze formule in elektronvolt is gegeven. De energieniveaus uit de formule zijn hieronder ook schematisch weergegeven. Deze afbeelding is ook te vinden in BINAS.

Zowel in de formule als in het diagram zien we dat het elektron in zijn grondtoestand (n = 1) een energie heeft van -13,6 eV. Het elektron ontsnapt dus als het een foton absorbeert van boven de 13,6 eV. In dat geval zeggen we dat het waterstof atoom geïoniseerd is. De ionisatie- of uittree-energie van waterstof is dus gelijk aan 13,6 eV.

Net als bij het deeltje in het doosje, kan een elektron in waterstof verspringen naar een hoger energieniveau door een foton op te nemen en kan het elektron verspringen naar een lager niveau door dit foton weer uit te zenden. Bij een overgang van n = 3 naar n = 2, komt bijvoorbeeld een foton vrij met de volgende energie:

$$E_f = \Delta E = \frac{-13,6}{3^2} - \frac{-13,6}{2^2} = 1.9 \text{ eV}$$

Op den duur valt een aangeslagen elektron helemaal terug naar zijn grondtoestand. Soms gebeurt dit in één stap en soms in meerdere stappen. Hieronder zien we bijvoorbeeld de verschillende manieren waarop een elektron in een waterstofatoom van de derde aangeslagen toestand (n = 4) kan terugvallen naar de grondtoestand (n = 1).

De fotonen die vrijkomen als elektronen van een willekeurige aangeslagen toestand naar de eerste aangeslagen toestand (n = 2) vallen, behoren tot de zogenaamde Balmerserie (zie de onderstaande afbeelding).

De eerste vier fotonen uit de balmerserie vallen in het zichtbare spectrum. Deze golflengten komen precies overeen met de spectraallijnen van waterstof die we in het hoofdstuk "Astrofysica" hebben gezien. Niels Bohr was hiermee de eerste die de spectraallijnen kon verklaren.

Demonstratievideo

Hiernaast zien we drie van de vier lijnen van het waterstofspectrum door met een tralie naar een waterstoflamp te kijken. De vierde lijn is in dit experiment niet sterk genoeg om te zien. Naast de lijnen is ook een deel van de rest van het spectrum te zien. Dit komt door licht uit de omgeving. DEMO-VIDEO: Spectrum van waterstof

Een nauwkeurigere beschrijving van het waterstofatoom vinden we met behulp van de zogenaamde schrödinger-vergelijking. Deze vergelijking bespreken we in de extra stof op de website. Als je deze vergelijking oplost voor het elektron in een waterstofatoom, dan blijkt dat het elektron zich in de eerste schil slechts in één toestand kan bevinden, in de tweede schil zijn dit er 4, in de derde schil 8, de vierde schil 16, etc. (in de onderstaande afbeelding zijn de verschillende toestanden per energieniveau met punten aangegeven).

Als we de schrödingervergelijking voor complexere atoomsoorten oplossen, dan wordt dit plaatje iets ingewikkelder. Dit komt omdat deze atomen meerdere elektronen hebben die ook elkaar kunnen afstoten. In dat geval vinden we:

De schillen bevatten nu 1 toestand, 4 toestanden, weer 4 toestanden, 9 toestanden, etc. De wetenschapper Wolfgang Pauli merkte op dat dit rijtje getallen maal twee overeenkomt met het aantal elementen per regel in het periodiek systeem , namelijk 2, 8, 8, 18, etc. (zie de onderstaande afbeelding).

Met behulp van dit inzicht zag Pauli de mogelijkheid om het hele periodiek systeem te verklaren met de kwantummechanica. Hij moest hiervoor de schrödingervergelijking wel op twee manieren repareren. Ten eerste bedacht hij nog een extra toestand genaamd spin. Een elektron kan op elke positie in het energiediagram zowel spin-up (↑) als spin-down (↓) hebben. Grofweg kan je de spin opvatten als de draairichting van het elektron. Met de spin erbij verdubbelt het aantal toestanden en komen de schillen netjes overeen met de rijen in het periodiek systeem.

Om dit te laten werken moest Pauli ook aannemen dat elke toestand in een atoom slechts één elektron tegelijk kon bevatten. We noemen dit tegenwoordig het uitsluitingsprincipe van Pauli. Alleen zo kon hij verklaren dat er bijvoorbeeld slechts twee elektronen in de eerste schil passen. Als er een spin-up en een spin-down elektron in de eerste schil zit, dan zit de schil "vol”".

Pauli had geen idee of deze twee spintoestanden daadwerkelijk bestaan, maar niet veel later werd spin daadwerkelijk ontdekt. Dit werd gedaan door Stern en Gerlach, die een bundel elektronen door een inhomogeen magneetveld stuurden. In het magneetveld gedragen de elektronen met spin zich als kleine magneetjes die door het externe veld worden afgebogen. Er werd verwacht dat elektronen aangetroffen zouden worden met alle draairichtingen, maar dit bleek niet het geval. Elektronen hadden alleen spin-up of spin-down, precies zoals Pauli voorspeld had (zie de onderstaande afbeelding).

Later werd ook onderzoek gedaan naar de energietoestanden van halfgeleiders. Over het algemeen geldt bij vaste stoffen dat de discrete atomaire toestanden combineren tot vrijwel continue energiebanden, zodat het lijkt alsof de elektronen hier alle energiewaarden kunnen aannemen. In het geval van halfgeleiders combineren de toestanden tot twee continue banden bevinden met tussen die banden een “lege energieruimte” waar zich geen toestanden bevinden. We noemen dit de bandgap (zie de onderstaande afbeelding).

Van deze bandgap wordt goed gebruik gemaakt in bijvoorbeeld zonnecellen. In zijn grondtoestand zitten alle elektronen in het materiaal in de onderste band (ook wel de valentieband genoemd). Als een foton van de zon met genoeg energie op het materiaal valt, dan kan het een elektron naar de bovenste band (de geleidingsband) tillen. Halfgeleiders zijn isolatoren als alle elektronen in de onderste band zitten, maar beginnen te geleiden als er elektronen in de bovenste band zitten. Als gevolg kan er een stroom gaan lopen.

We kunnen hiermee ook de werking van een LDR begrijpen. Ook een LDR bestaat uit halfgeleiders. Als er licht op dit onderdeel valt, dan springen elektronen naar de geleidingsband en neemt de weerstand van de LDR dus af.

Leerdoelen:

Zorg dat je begrijpt dat in het atoommodel van Bohr het elektron in waterstof een energie heeft, gegeven door En = -13,6/n2. De energie wordt in deze formule altijd gegeven in eV. Zorg dat je met BINAS de overgangen behorende bij de Lyman, de Balmer en de Paschen series kan terugvinden. Zorg dat je weet dat bij het Stern-Gerlach experiment elektronen door een inhomogeen magneetveld worden geschoten. De bundel elektronen splitst dan op in een bundel met spin-up (↑) en een bundel met spin-down (↓). Zorg dat je weet dat twee elektronen in atoom zich niet in dezelfde toestand kunnen bevinden. In de eerste schil kunnen elektronen daarom niet allebei spin-up of spin-down hebben. Dit wordt het uitsluitingsprincipe van Pauli genoemd. In halfgeleiders kunnen elektronen zich in twee banden bevinden, de valentieband en de geleidingsband. Tussen deze banden zit de bandgap. Als een elektron van de ene naar de andere band wil springen dan moet het minimaal een energie hebben groter dan de bandgap. In een zonnecel worden elektronen met behulp van fotonen van de valentieband naar de geleidingsband getild. Met elektronen in de geleidingsband gedragen halfgeleiders zich als geleiders. Hierdoor gaat er een stroom gaan lopen. Hetzelfde gebeurt bij een LDR als er licht op valt. Als er elektronen in de geleidsband komen, dan neemt hierdoor de weerstand af.

Opdrachten

(3p) Een elektron in een waterstofatoom valt terug van de vierde naar de tweede aangeslagen toestand. Bereken of het foton dat hierbij vrijkomt in het zichtbare deel van het spectrum zit. Het trillen van het waterstofatoom in waterstofjodide kan alleen correct beschreven worden met de kwantummechanica. Het waterstofatoom kan zich in dit molecuul slechts in een paar toestanden bevinden. Hieronder is links het lijnenspectrum te zien van dit molecuul en rechts een afbeelding met daarin de bijbehorende energieniveaus. (3p) Teken in het rechter diagram welke overgangen horen bij welk van de spectraallijnen. Licht je antwoord toe. (3p) Bepaal de energie van het foton dat vrijkomt als het waterstofatoom van de eerste aangeslagen toestand terugvalt naar de grondtoestand. Druk je antwoord uit in eV. (bron: examen VWO 2016-1) In deze opdracht gaan we de formule voor de energie van het elektron in het waterstofatoom afleiden. (3p) Voor het elektron in zijn baan om het proton in het waterstofatoom geldt: $$\frac{fe^2}{r} = mv^2$$ Leid deze formule af met formules uit BINAS. (3p) Niels Bohr stelde het elektron in waterstof voor als een staande golf die rond het proton draait (zie de onderstaande afbeelding). Hij leidde hiermee af dat de snelheid van het elektron in de nde schil gelijk is aan: $$v_n = \frac{n\hbar}{ mr}$$ Er geldt hier dat ℏ gelijk is aan h/(2π). Leid deze formule af. (2p) Laat nu zien dat: $$r_n = n^2r_1$$ met: $$r_1 = \frac{\hbar^2}{ fme^2}$$ (2p) We gaan nu naar de energie van het elektron in het waterstofatoom kijken. Er geldt: $$E_{tot} = E_{kin}+E_{elek} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{fe^2}{ r}$$ Laat hiermee zien dat: $$E_n = -\frac{1}{n^2}\left(\frac{fe^2}{2 r_1}\right)$$ (4p) Reken de constante tussen haakjes uit en laat hiermee zien dat deze formule geschreven kan worden als: $$E_n = -\frac{13,60 \text{ eV}}{n^2}$$ (1p) In een heliumatoom zitten twee elektronen in de eerste schil. Leg uit waarom deze elektronen tegengestelde spin moeten hebben. (1p) In een heliumatoom zit één elektron met spin-up in de eerste schil en één elektron met spin-up in de tweede schil. Leg uit waarom dit elektron niet kan terugvallen zonder interactie met andere atomen. In een zonnecel zit de halfgeleider silicium. Silicium heeft een bandgap van 1,10 eV. (3p) Bereken welke golflengte de fotonen van de zon maximaal kunnen hebben om een elektron in de geleidingsband te tillen. (2p) Als de fotonen een grotere energie hebben dan nodig is om de bandgap te overbruggen, dan wordt het overschot aan energie omgezet in warmte. Deze warmte gaat verloren en als gevolg daalt het rendement van de zonnecel. Om het rendement te verhogen, worden dunne laagjes van andere halfgeleiders op het silicium aangebracht. Deze laagjes zijn zo dun dat fotonen erdoorheen kunnen schijnen. Hieronder staan de halfgeleiders die een bedrijf ter beschikking heeft. Bedenk welke drie halfgeleiders je het beste op het silicium kan aanbrengen en in welke volgorde. Materiaal Bandgap in eV CdTe 1,58 Ge 0,72 InSb 0,23 PbSe 0,27 Si 1,10 ZnS 3,60 ZnSe 2,70 (Bron: examen VWO 2021-1) Ook in zonnebrandcrème wordt slim gebruik gemaakt van stoffen met een bandgap. (2p) Leg uit dat het voor een zonnebrandcrème veel handiger is om een stof met twee banden te nemen dat een stof met enkel een paar discrete energieniveaus. (5p) De zonnebrandcrème moet de eigenschap hebben dat het UV-straling absorbeert (dit loopt door tot een golflengte van ongeveer 330 nm) en dat het zichtbaar licht niet absorbeert (dit start bij ongeveer 380 nm). Kies uit de volgende tabel welke stof hiervoor geschikt is: Materiaal Bandgap in eV Ga2O3 4,4 TiO2 3,3 Ag2O 1,5 (Bron: examen VWO 2019-1)

 

§5     Onzekerheid

In eerdere paragrafen hebben we gezien dat deeltjes zowel golf- als deeltjeseigenschappen hebben. In deze paragraaf gaan we dit beter begrijpen met behulp van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.

Met de animatie op de website kunnen we golf- en deeltjesverschijnselen beter begrijpen. Met behulp van de onderstaande animatie kunnen we de golf- en deeltjeseigenschappen beter begrijpen. Als je de slider helemaal naar links sleept, dan zien we aan de linkerkant een kwantumgolf met een nauwkeurig te bepalen golflengte, maar de positie van deze golf is onzeker. Het deeltje kan zich overal in de ruimte bevinden (zie de onderste twee afbeeldingen).

Als we de schuif meer naar rechts slepen, dan wordt de positie steeds beter te bepalen, maar nu wordt de golflengte onzeker. Een dergelijke golf is namelijk te maken door heel veel sinussen met verschillende golflengtes bij elkaar op te tellen. In de rechter afbeelding zijn de sinussen zichtbaar die hiervoor gebruikt zijn. We hebben hier dus niet te maken met één golflengte, maar met een hele serie.

.

Elk deeltje kan door zijn golfeigenschappen dus óf een redelijk te bepalen positie hebben óf een redelijk te bepalen golflengte, maar niet allebei. Omdat de golflengte gerelateerd is aan de impuls via de formule λ = h/p, kunnen we ook zeggen dat niet zowel de positie als de impuls tegelijk nauwkeurig kenbaar kunnen zijn. Dit idee wordt de onzekerheidsrelatie of ook wel de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg genoemd. Meestal wordt dit principe samengevat met behulp van een formule. We gaan deze formule bespreken, maar het is niet nodig hiermee te kunnen rekenen.

$$\Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$$ Onzekerheid in positie (Δx) meter (m) Onzekerheid in impuls (Δp) kg m/s Constante van Planck (h) 6,62606957 × 10-34 Js

De "delta's" in deze formule staan voor de onzekerheid. Zoals je in de formule kan zien kan de onzekerheid van de positie en de onzekerheid van de impuls niet nul zijn. Tevens geldt dat als Δx erg klein wordt, dat dan Δp wat groter moet worden en andersom, om zo toch nog aan de vergelijking te kunnen voldoen. Omdat p = mv, betekent een onzekerheid in de impuls ook een onzekerheid in de snelheid. Ook de snelheid van een deeltje kan dus niet geheel kenbaar zijn. Met p = h/λ vinden we dat de onzekerheid in de impuls ook een onzekerheid in de golflengte betekent (hoewel λ hier onder de deelstreep staat, betekent een grotere onzekere impuls natuurlijk niet een zekere λ. Een onzekere impuls levert natuurlijk ook een onzekere λ).

Belangrijk is te realiseren dat deze onzekerheid niet ontstaat omdat onze meetinstrumenten niet goed genoeg zijn, maar omdat deeltjes en golven tegenstrijdige kenmerken hebben die niet tegelijk kunnen bestaan. In het dagelijks leven merken we echter weinig van deze onzekerheid, omdat h erg klein is.

De onzekerheidsrelatie speelt o.a. een grote rol bij elektronen in atomen. Door de kleine massa van een elektron, is de onzekerheid in de impuls vrij klein en als gevolg is de onzekerheid in de positie relatief groot. Als gevolg is de kansgolf van het elektron vaak in dezelfde orde van grootte als het hele atoom. Als we over elektronen in atomen spreken, spreken we daarom vaak van een elektronenwolk. De atoomkern heeft relatief gezien een veel grotere massa en dus ook een grotere onzekerheid in de impuls. Als gevolg kan de onzekerheid in de positie veel kleiner zijn. De atoomkern heeft dus een veel duidelijker gespecificeerde positie.

We kunnen met de onzekerheidsrelatie ook begrijpen waarom elektronen nooit in de atoomkern vallen, terwijl ze wel elektrisch aangetrokken worden tot de kern. Als het elektron namelijk in de kern zou vallen, dan zou het een veel beter gedefinieerde positie hebben en dus een slecht gedefinieerde snelheid. Met zoveel variatie aan snelheid verspreidt het elektron zich weer direct tot een wolk.

Leerdoelen:

Zorg dat je begrijpt dat een golf geen eenduidige positie heeft en een deeltje geen eenduidige golflengte. Dankzij golf-deeltje-dualiteit is zowel de positie als de golflengte niet met zekerheid te kennen. Weet je de één nauwkeurig, dan weet je de ander noodzakelijk minder nauwkeuriger. Zorg dat je begrijpt dat door de formule "λ = h/p" ook de afstand en de impuls niet met zekerheid te kennen zijn. Dit wordt de onzekerheidsrelatie of ook wel de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg genoemd. Zorg dat je begrijpt dat door de kleine massa van elektronen in atomen de onzekerheid in de impuls klein is en als gevolg de onzekerheid in de positie groot is. De positie van een elektron in een atoom is dus niet goed bepaald. Als gevolg spreken we van een elektronenwolk.

Opdrachten

(2p) We spreken bij atomen vaak over een "elektronenwolk". Leg dit uit met behulp van de onzekerheidsrelatie. (2p) Leg uit waarom we bij een atoomkern meestal niet over een "wolk" spreken. (3p) Leg aan de hand van de onzekerheidsrelatie uit dat een elektron zich niet in de atoomkern kan bevinden. (2p) Leg aan de hand van de onzekerheidsrelatie uit dat een deeltje in een doosje niet stil kan staan. (2p) Leg uit aan de hand van de onzekerheidsrelatie dat een grotere onzekerheid in de snelheid ook zorgt voor een grotere onzekerheid in de golflengte van een deeltje. Een gepulste laser bestaat niet uit een continue stroom van fotonen, maar uit pakketjes van fotonen. Omdat elk foton zich in een pakketje bevindt, is de onbepaaldheid in de plaats waar hij zich bevindt gelijk aan de lengte van het pakketje. (3p) Toon met behulp van de onzekerheidsrelatie aan dat de fotonen in een pakketje niet allemaal dezelfde golflengte kunnen hebben. (4p) In de praktijk is het nog niet mogelijk om de lengte van zo'n pakketje fotonen te meten. Wel kan de tijdsduur bepaald worden waarin het foton voorbij een bepaald punt komt. Om die reden gebruikt men in dit soort situaties vaak de zogenaamde tweede Heisenbergrelatie: $$\Delta E \Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$$ Leid deze relatie af met behulp van de onzekerheidsrelatie en formules uit BINAS. (6p) In de onderstaande grafiek zijn de golflengtes gegeven die in de laserstraal voorkomen bij een pulsduur van 20 femtoseconde. Ga na of de onbepaaldheid van de energie in deze meting overeenkomt met de tweede Heisenbergrelatie. (bron: examen VWO voorbeeldopgaven) (EXTRA) Eerder in dit hoofdstuk hebben we gezien dat een deeltje in een doosje in zijn grondtoestand een vaste kinetische energie heeft. Voor n = 1 geldt dat: $$E_1 = \frac{h^2}{8mL^2}$$ (3p) In eerste instantie lijkt dit niet in overeenstemming met de onzekerheidsrelatie. Leg uit waarom dit zo lijkt. (5p) In werkelijkheid moet de onzekerheidsrelatie natuurlijk gelden. De onzekerheid in dit systeem zit verstopt in het feit dat het elektron in het deeltje zowel naar links als naar rechts kan bewegen. Toon aan dat zo toch aan de onzekerheidsrelatie voldaan wordt. Laat hiervoor eerst zien dat: $$p = \pm\frac{h}{2L}$$ En daarna dat: $$\Delta x \Delta p = h$$

 

§6     Tunneling

Deeltjes in de kwantumfysica hebben nog een andere merkwaardige eigenschap. Ze kunnen door barrières heen dringen, waar ze volgens de wet van behoud van energie nooit doorheen zouden moeten kunnen komen. Dit proces wordt tunneling genoemd.

Stel dat we in de klassieke natuurkunde een deeltje over een heuvel willen rollen met een bepaalde beginsnelheid. Volgens de mechanica van Newton zal de bal alleen over de heuvel gaan als de kinetische energie gelijk of groter is dan de zwaarte-energie die de bal op de top zal hebben (we verwaarlozen de wrijvingskrachten). Als de kinetische energie niet voldoende is, dan zal de bal weer terugrollen. Deze situatie is linksonder geschetst. In de kwantumfysica bestaat er echter een kleine kans dat het deeltje toch door de barrière heen gaat. Dit is in de rechter afbeelding weergegeven. Dit effect wordt tunneling genoemd. Op macroscopisch niveau zien we tunneling eigenlijk zo goed als nooit gebeuren. Als de grootte van de kansgolf echter in de buurt begint te komen van de grootte van de barrière, dan begint dit effect merkbaar te worden. In die gevallen neemt de kans op tunneling toe als:

• de massa van het tunnelende deeltje kleiner wordt
• de barrière dunner wordt
• de energie van het deeltje groter wordt
• de energiebarrière kleiner wordt

Het effect is te begrijpen met behulp van de onzekerheidsrelatie. Een onzekerheid in de snelheid zorgt voor een onzekerheid in de kinetische energie (want E_kin = 1/2mv²) en deze onzekerheid zorgt ervoor dat tijdelijk even geen rekening gehouden hoeft te worden met behoud van energie—net lang genoeg om toch over de barrière te komen.

Examenstof 2025

Hieronder zien we de kansgolf van een deeltje in een doosje. Aan de linkerzijde komt het deeltje een muur van oneindig potentiële energie tegen. Hier kan het deeltje dus nooit doorheen. Rechts zien we een barrière met een eindige hoeveelheid energie. Hier kan het deeltje wel doorheen tunnelen. Als je de schrödingervergelijking oplost voor deze situatie, dan vinden we dat de kansgolf in de barrière exponentieel afneemt (zie de afbeelding). Aan de andere zijde van de barrière krijgt de kansgolf weer een sinusachtige vorm. Door de snelle afname in de barrière lekt maar een klein deel van de kansgolf weg. Hoe dikker de barrière is, hoe minder kansgolf er doorheen komt. Als we nu het deeltje gaan zoeken, dan vinden we hem óf links óf rechts van de barrière. Zoals altijd hangt de kans dat je het deeltje ergens aantreft af van het oppervlak onder de kansverdeling. Stel dat we het deeltje rechts vinden, dan is het volledige deeltje, inclusief al zijn energie, aan de rechterkant van de barrière verschenen.

Een ander voorbeeld van een barrière is de elektrische barrière die een elektron ervaart in een atoom door de aantrekkingskracht van de protonen in de kern. Als we een elektron willen laten ontsnappen, dan moet de kinetische energie van dit elektron normaalgesproken groter of gelijk zijn aan de elektrische energie. In de kwantummechanica heeft het elektron echter ook een kleine kans om uit het atoom te tunnelen als er niet voldoende energie is. Hier wordt o.a. gebruik van gemaakt bij de scanning tunneling microscoop (STM). De microscoop bestaat uit een dunne naald die over een aantal atomen beweegt. Hoe dichter de naald bij een atoom komt, hoe kleiner de barrière tussen het elektron en de naald en hoe groter de kans is dat het elektron naar de naald tunnelt. Deze tunnelende elektronen zorgen voor een meetbaar stroompje. Hoe groter deze stroom is, hoe dichter het atoom zich bij de naald bevindt. Door de naald over de atomen te trekken, kan zo een beeld worden gemaakt van de atomen.

Een ander voorbeeld van tunneling is alfastraling. Bij dit proces tunnelt een heliumkern (twee protonen en twee neutronen) uit een atoomkern. De deeltjes in de kern worden normaalgesproken goed bij elkaar gehouden door de zogenaamde kernkracht. In de kwantummechanica hebben deze deeltjes echter een kans door deze kernkracht-barrière heen te tunnelen. Hieronder zien we de bijbehorende energiediagrammen van dit proces. In de linker afbeelding heeft het deeltje niet genoeg energie om door de barrière heen te kunnen. In het middelste voorbeeld wel. In het rechter voorbeeld gaat het tunnelen nog een stuk gemakkelijker. Niet alleen heeft het deeltje hier meer energie, maar ook de barrière is hier dunner.

Ook bij kernfusie speelt tunneling een grote rol. In het binnenste van de zon worden waterstofatomen gefuseerd tot heliumatomen. De protonen in beide waterstofatomen moeten hiervoor enorm dicht bij elkaar gedrukt worden. Hier is veel kracht voor nodig, omdat protonen elkaar elektrisch afstoten. Volgens de newtoniaanse mechanica zou zelfs in het centrum van de zon de kracht niet groot genoeg zijn om dit voor elkaar te krijgen. Toch kan fusie plaatsvinden, omdat de protonen af en toe wel door tunneling samenkomen. Bij deze fusie komt het zonlicht vrij dat wij dagelijks waarnemen. Zonder tunneling zou de zon dus geen licht geven!

Leerdoelen:

Zorg dat je weet dat een deeltje in de kwantummechanica gedurende een korte tijd behoud van energie kan negeren en door een klassiek te hoge energiebarrière kan tunnelen Zorg dat je weet dat de tunnelkans aanzienlijk wordt als de grootte van de kansgolf gelijk of groter is dan de breedte van de barrière Zorg dat je weet dat de kansgolf door een eindige barrière kan dringen, waarbij de hoogte van de golf exponentieel afneemt. Als gevolg geldt dat hoe dikker de barrière is, hoe kleiner de tunnelkans wordt

Opdrachten

(5p) Geef bij elk van de volgende veranderingen aan of het de tunnelkans vergroot, verkleint of gelijk houdt: De massa van het tunnelende deeltje neemt toe De energiebarièrre wordt dunner De energie van het deeltje wordt groter De energiebarièrre wordt groter De snelheid waarmee het deeltje tegen de barrière komt wordt groter (1p) Het fuseren van waterstof in de zon tot helium zou niet plaatsvinden zonder tunneling. Leg uit waarom het fuseren van waterstof in de Newtoniaanse mechanica zelfs in de zon niet mogelijk is. (3p) Een elektron tunnelt van links naar rechts door de onderstaande barrière. Leg uit of de golflengte na het tunnelen groter of kleiner is geworden. In deze opdracht bestuderen we de volgende reactie: $$\text{OH} + \text{H}_2 \rightarrow \text{H}_2\text{O} + \text{H}$$ Zoals bij veel reacties moet bij deze reactie een activeringsenergie Ea toegevoegd worden voordat de reactie op gang komt. Dit is te zien in de onderstaande afbeelding. Deze reactie kan al plaatsvinden bij een temperatuur van 10 K. Bij deze temperatuur kan de reactie echter alleen plaatsvinden door middel van tunelling. Als het H2-deeltje en het OH-deeltje zich voldoende dicht bij elkaar bevinden, dan tunnelt een H-atoom van het H2-deeltje naar het OH-deeltje. (1p) Leg uit waarom het waterstofatoom niet net zo snel weer terugtunnelt. (4p) Tijdens deze reactie verhuist het H-atoom van het H2-deeltje een afstand van 1,0 × 10-10 m. Voor deeltjes met een massa m geldt voor de debroglie-golflengte: $$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}$$ kB is hier de constante van Boltzmann. Leg met behulp van deze formule uit of er onder deze omstandigheden een redelijke kans is op het tunneleffect. (1p) De reactie kan ook worden uitgevoerd als alle waterstofkernen (11H) vervangen worden door deuteriumkernen (21H = D). Dit levert de volgende reactie: $$\text{OD} + \text{D}_2 \rightarrow \text{D}_2\text{O} + \text{D}$$ In beide reacties zijn de hoogte en de breedte van de energiebarrière gelijk, maar toch is hier een andere kans op het tunneleffect. Leg uit of deze kans groter of kleiner is. (bron: examen VWO 2018-1) Atoomkernen zwaarder dan lood-208 ondergaan alfaverval. Bij alfaverval breekt een heliumkern vrij van de atoomkern. In de onderstaande afbeelding zien we een vereenvoudigd model van de energiebarrière van de atoomkern. Uit experimenteel onderzoek blijkt dat de tunnelkans exponentieel toeneemt als de kinetische energie van het alfadeeltje groter wordt. (2p) Geef twee redenen waardoor dit het geval is. Ga ervan uit dat beide deeltjes niet genoeg energie hebben om zonder tunneling de atoomkern te verlaten. Vergelijk Rn-218 en U-238 en ga hiermee na bij welke stof de alfadeeltjes in de kern meer kinetische energie hebben. (5p) Een alfadeeltje tunnelt uit een Polonium-212 kern. Bereken de debrogliegolflengte van het alfadeeltje als het net ontsnapt is. Gebruik hiervoor BINAS tabel 25. (bron: examen 2016 voorbeeldopgaven) Scanning tunneling microscopie (STM) is een techniek waarmee men op atomaire schaal een hoogtekaart van een metaaloppervlak kan maken. Men gebruikt een geleidende, scherpe naald waarvan de punt uit slechts enkele atomen bestaat. Tussen de naald en het metaaloppervlak legt men een kleine spanning aan. Als de naald dicht genoeg bij het oppervlak komt, worden er met het tunneleffect voldoende elektronen uit het metaal "gezogen" dat een meetbare stroomsterkte kan worden gemeten. (1p) Stel de naald beweegt van een plaats tussen twee atomen in, naar een plaats recht boven een atoom. Leg uit wat er dan gebeurt met de afstand tussen het atoom en de naald. Leg ook uit of de tunnelstroom hierdoor toeneemt of afneemt. (1p) Normaalgesproken moeten elektronen in atomen een energie-barrière ter hoogte van de uittree-energie overwinnen om te ontsnappen. Het tunnelen wordt bevorderd door een kleine spanning tussen de naald en het oppervlak aan te brengen. Geef de reden waarom hierdoor het tunnelen wordt bevorderd. De kans om door een barrière te tunnelen (T) wordt gegeven door: $$ T = e^{-2kd} $$ d is hier de dikte van de barrière en k wordt gegeven door: $$ k = \frac{2\pi \sqrt{2m(E_{pot} - E_{kin})}}{h} $$ Een elektron beweegt richting de barrière met een dikte van 5,0 nm met een snelheid van 1,0 × 105 m/s. De potentiële energie van de barrière is 10% groter dan de kinetische energie van het deeltje. (3p) Laat met een berekening zien dat de kans dat het elektron door de barrière tunnelt gelijk is aan 6,1%. (3p) Het elektron wordt tussen twee van deze barrières geplaatst. Bereken na hoeveel botsingen het elektron voor het eerst boven de 50% kans heeft te ontsnappen.

BINAS:
5	Elektronvolt
7	Constante van Planck, elektronlading, lichtsnelheid en massa elektron
21	Energieniveaus waterstof
24	Foto-elektrisch effect (uittree-energie, grensfrequentie en grensgolflengte)