Hoofdstuk 5
Moment (HAVO)

§1 Stabiliteit (NIEUW)
§2 Het moment
§3 De arm

§1 Stabiliteit

Dit hoofdstuk gaat over draaiende voorwerpen. Als een voorwerp omvalt, dan maakt het een draaibeweging. In deze eerste paragraaf bestuderen wanneer voorwerpen omvallen en wanneer niet.

Om te begrijpen wanneer een voorwerp omvalt en wanneer niet, hebben we de begrippen zwaartepunt en draagvlak nodig. Het zwaartepunt van een voorwerp, ook wel het massamiddelpunt genoemd, is de plek waar het voorwerp in balans is. Neem bijvoorbeeld een homogene balk. Dit is een balk die overal dezelfde dichtheid heeft. In dat geval zit het zwaartepunt netjes in het midden (zie de onderstaande afbeelding). Het zwaartepunt kan je vinden door diagonalen te tekenen in de balk. Het zwaartepunt bevindt zich dan op de plek waar de lijnen kruisen. Op deze plek zetten we vaak een dikke punt met de letter Z (voor zwaartepunt) of de letter M voor massamiddelpunt.

Bij een voorwerp met een ingewikkelde vorm, vind je het zwaartepunt door het voorwerp bijvoorbeeld op je vinger te balanceren. Het zwaartepunt bevindt zich dan op de lijn boven je vinger (zie de onderstaande afbeelding).

(Afbeelding: APN MJM; CC BY-SA 3.0-mod)

Het oppervlak tussen de verst liggende punten waarop een voorwerp staat noemen we het draagvlak. In het onderstaande linker voorwerp is het draagvlak simpelweg gelijk aan de onderzijde van het blok. Bij de stoel in de rechter afbeelding is het draagvlak niet alleen het oppervlak onder de stoelpoten, maar ook het oppervlak ertussen. Een voorwerp valt om als het zwaartepunt van het voorwerp zich niet meer boven het draagvlak bevindt. Dit is duidelijk te zien in de drie linker onderstaande afbeeldingen.

(Afbeelding: ... / MET; CC0)

We noemen een voorwerp stabiel als het moeilijk is het voorwerp om te duwen. Een voorwerp is stabieler als het draagvlak breder is en als het zwaartepunt lager ligt. Linksonder zien we het voordeel van een breder draagvlak. We moeten het blok bij een breder draagvlak onder een grotere hoek kantelen om het te laten vallen. Rechtsonder zien we het effect van een lager zwaartepunt op de stabiliteit. Ook bij een lager zwaartepunt moeten we het voorwerp onder een grotere hoek kantelen om het te laten vallen.

Het verlagen van het zwaartepunt voor meer stabiliteit wordt in het dagelijks leven vaak toegepast. Bij een grote parasol wordt de standaard aan de onderkant bijvoorbeeld gevuld met zand. Dit maakt de onderzijde zwaarder en verlaagt dus het zwaartepunt. Als gevolg valt de parasol minder snel om. Nog een voorbeeld. Als je met een caravan op vakantie gaat, dan is het aan te raden om zware spullen op de grond te plaatsen. Dit maakt de caravan meer stabiel, zodat hij niet met een flinke windvlaag omwaait.

Leerdoelen:

Zorg dat je weet dat het massamiddelpunt of zwaartepunt het punt is waar een voorwerp in evenwicht is. Op dit punt grijpt de zwaartekracht aan. Zorg ook dat je weet dat het massamiddelpunt of zwaartepunt van een homogene balk in het midden zit.

Zorg dat je weet dat een voorwerp omvalt als het zwaartepunt zich niet boven het draagvlak bevindt.

Zorg dat je weet dat een voorwerp stabieler is als het zwaartepunt laag is en het draagvlak groot.

Opdrachten

(3p) Leg uit waarom je meer kans maakt om een potlood op zijn onderkant te laten balanceren dan op zijn punt. Gebruik hier de begrippen zwaartepunt en draagvlak.

(3p) Hieronder is drie keer hetzelfde glas weergegeven. Het zwaartepunt van het glas is in de afbeelding weergegeven met de letter Z. Ga in elk van de gevallen na of het glas zal omvallen.

(2p) Hieronder zien we een vrachtauto die over een schuine weg rijdt. In de linker situatie zijn de zwaarste voorwerpen laag in de vrachtauto ingeladen. In de rechter situatie zijn de zware voorwerpen hoger geplaatst. Ga in beide gevallen na of de vrachtauto stabiel staat.

Hieronder zie je twee blokken met een homogene dichtheid. Beide blokken worden omgeduwd.

(2p) Teken beide blokken in de stand net voordat ze omvallen.

(1p) Leg aan de hand van deze opdracht uit waarom een voorwerp met een lager zwaartepunt stabieler is.

(2p) Bij veel vechtsporten leer je breed te staan en een beetje door de knieën te zakken. Geef twee redenen waarom deze houding je stabieler maakt.

Een bal die van een helling rolt is eigenlijk voortdurend aan het omvallen.

(1p) Hoe groot is het draagvlak van een perfecte bal.

(2p) Leg met het begrip draagvlak en zwaartepunt uit waarom een bal van een helling rolt.

§2 Het moment

In deze paragraaf gaan we rekenen met krachten werkende op draaiende voorwerpen. We gebruiken hiervoor het begrip moment. Ook gaan we momentevenwichten bestuderen.

In deze paragraaf gaan we het hebben over het principe van de hefboom. Met een hefboom kan je een kleine kracht omzetten in een grote kracht. In de onderstaande afbeelding wordt dit principe gebruikt bij het openen van verfpotten. Zoals je wellicht uit ervaring weet, gaat het openen van een verfpot veel gemakkelijker met een langere schroevendraaier. In de rechter afbeelding geldt hetzelfde principe. Een moer omdraaien met alleen je hand is lastig, maar als je de lengte van een sleutel gebruikt, dan kost dit weinig kracht.

Een hefboom heeft altijd een draaipunt. Dit is duidelijk te zien bij een wip. In de afbeelding linksonder zien we twee personen met gelijke massa die op gelijke afstanden van het draaipunt zitten. De wip is nu in evenwicht. In de rechter afbeelding gaat de linker persoon iets verder van het draaipunt zitten en als gevolg zal de wip aan deze kant dalen. Er geldt dus: hoe verder de persoon van het draaipunt gaat zitten, hoe meer invloed de persoon heeft op de draaiing van de wip. We zeggen in zo'n geval dat de persoon dan een groter moment uitoefent op de wip.

We kunnen het moment als volgt berekenen:

$$ M = F \times r $$

Moment (M)

newtonmeter (Nm)

Kracht (F)

newton (N)

Arm (r)

meter (m)

De arm (r) is grofweg de afstand van het draaipunt tot de kracht die op het voorwerp werkt. In de volgende paragraaf gaan we nog een iets preciezere definitie van de arm tegenkomen. De zwaartekracht tekenen we bij het bepalen van het moment altijd in het zwaartepunt.

In de onderstaande video zien we hoe het optillen van een blok meer kracht kost als de arm groter wordt. Volgens M = F × r zorgt dit namelijk voor een groter moment:

Demonstratievideo

In de rechter video zien we hoe het optillen van een blok meer kracht kost als de arm groter wordt. Volgens M = F × l zorgt dit namelijk voor een groter moment:

DEMO-VIDEO:
Moment

Als een voorwerp in evenwicht is, dan is de som van de momenten die het voorwerp linksom pogen te draaien gelijk aan de som van de momenten die het voorwerp rechtsom pogen te draaien. In formuletaal wordt dit:

$$ \Sigma M_{L} = \Sigma M_{R} \;\;\;\; \text{(evenwicht)}$$

Som van momenten linksom (M_L)

newtonmeter (Nm)

Som van momenten rechtsom (M_R)

newtonmeter (Nm)

We zien dit effect in het onderstaande filmpje. Als we de arm twee keer zo klein maken, dan moet de kracht (in dit geval de zwaartekracht) twee keer zo groot worden om beide momenten toch in evenwicht te houden:

Demonstratievideo

We zien dit effect in het rechter filmpje. Als we de arm twee keer zo klein maken, dan moet de kracht (in dit geval de zwaartekracht) twee keer zo groot worden om beide momenten toch in evenwicht te houden:

DEMO-VIDEO:
Momentenevenwicht

Een bekend voorbeeld waar momenten een belangrijke rol spelen is de hijskraan. Deze gigantische kranen kunnen zware voorwerpen optillen zonder om te vallen. Dit kan omdat de kraan in evenwicht wordt gehouden door een contragewicht (zie de onderstaande afbeelding). Door de positie van dit contragewicht te verplaatsen, en dus de arm te veranderen, kan de kraan telkens in evenwicht worden gehouden.

Voorbeeld

Vraag:

In de volgende afbeelding tilt een persoon een bank op die op een verhoging ligt. De bank is van poot tot poot 4,0 m lang en heeft een massa van 10 kg. Bereken de spierkracht die de persoon moet uitoefenen om de bank in horizontale positie te houden.

Antwoord:

Het zwaartepunt van de bank bevindt zich in het midden van de bank. Op deze plek tekenen we dan ook de zwaartekracht (zie de rechter afbeelding). De arm van de zwaartekracht is de afstand van het draaipunt tot de zwaartekracht. Omdat de zwaartekracht in het midden van de bank werkt, is de bijbehorende arm dus 4,0 / 2 = 2,0 m lang. De afstand van het draaipunt tot de spierkracht is 4,0 meter.

De afstand van het draaipunt tot de spierkracht is 4,0 meter. De arm van de spierkracht is 4,0 m.

Dan maken we gebruik van het momentenevenwicht:
$$ F_z \times r_z = F_{spier} \times r_{spier} $$
We vullen nu de gegevens zo veel mogelijk in:
$$ 10 \times 9,81 \times 2 = F_{spier} \times 4 $$
Als we de linker zijde uitrekenen, dan vinden we:
$$ 196,2 = F_{spier} \times 4 $$
Hiermee kunnen we de spierkracht uitrekenen:
$$ F_{spier} = \frac{196,2}{4} = 49 \text{ N} $$

INSTRUCTIE:
Momentenevenwicht

Leerdoelen:

Zorg dat je weet hoe een hefboom werkt. Je hebt minder kracht nodig om een voorwerp te draaien als je een kracht uitoefent verder van het draaipunt vandaan.

Zorg dat je kan rekenen met de formule "M = Fr". "r" is de zogenaamde arm. Dit is de afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht die wordt uitgeoefend.

Zorg dat je weet dat een voorwerp in evenwicht is als het moment linksom en het moment rechtsom gelijk is.

Zorg dat je weet dat als je de arm vergroot en de kracht gelijk houdt, dat het moment dan groter wordt. En zorg dat je weet dat als je de arm vergroot en het moment gelijk houdt, dat de kracht dan kleiner wordt. Dit kan je zien aan de formule "M = Fr".

Opdrachten

Een persoon probeert met een grote ratel een moer vast te draaien (zie de onderstaande afbeelding). In eerste instantie oefent de persoon een kracht uit op punt A. Hiermee komt de moer echter niet los. Daarna oefent de persoon dezelfde kracht uit op punt B. Nu lukt het wel.

(Afbeelding: MrX; CC BY-SA 3.0-mod)

(3p) Leg uit waarom de persoon de moer wel los krijgt in punt B, terwijl hij op beide punten dezelfde kracht uitoefent.

(2p) De kracht die de persoon op punt B uitoefent is 100 N. Bepaal met behulp van de afbeelding hoeveel kracht de persoon op punt A moet uitoefenen om hetzelfde moment op de ratel uit te oefenen.

Maak het stencil op de volgende bladzijde.

Maak het eerste blad van het Stencil Momenten.

Een meisje met een massa van 45 kg staat op het uiteinde van een duikplank. De duikplank kan draaien om as A en ligt op steunpunt B. De afstand tussen as A en steunpunt B is 1,6 m. De afstand tussen as A het meisje is 4,8 m.

(4p) Bereken de grootte van de kracht die door het steunpunt B op de plank wordt uitgeoefend als het meisje op de duikplank staat. Je mag de massa van de duikplank verwaarlozen.

(2p) Op punt A werkt ook een kracht. Leg uit waarom het niet nodig was rekening te houden met deze kracht in opdracht a.

(3p) Bereken de grootte van deze kracht werkende op punt A als het meisje stilstaat op de duikplank.

§3 De arm

In deze paragraaf gaan we het begrip arm iets nauwkeuriger definiëren. We kunnen hiermee met complexere momentevenwichten rekenen.

Nu is het tijd voor de iets nauwkeurigere definitie van de arm. Hieronder zien we links een kracht en het bijbehorende draaipunt. Om de arm te vinden tekenen we de lijn van de kracht eerst door in beide richtingen (zie de middelste afbeelding). We noemen dit de werklijn van de kracht. De arm voldoet dan aan de volgende twee eisen:

De arm loopt van het draaipunt tot aan de werklijn van de kracht.
De arm staat loodrecht op de werklijn van de kracht.

We hebben deze definitie hieronder toegepast. We zien hier een uithangbord dat omhoog gehouden wordt met een touw. De arm van de spankracht in het touw loopt hier van het draaipunt tot de werklijn van de spankracht en staat ook loodrecht op de werklijn. Deze arm voldoet dus aan de bovenstaande definitie.

Voorbeeld

Vraag:

Een persoon tilt aan één zijde een bank op met een massa van 15 kg (zie de onderstaande afbeelding). In de afbeelding is ook de spierkracht weergegeven die de persoon uitoefent. Bepaal de grootte van deze kracht. De afbeelding is op schaal weergegeven.

Antwoord:

Het zwaartepunt van de bank bevindt zich in het midden van de bank. Op deze plek tekenen we dan ook de zwaartekracht. In de rechter afbeelding zien we de arm van de zwaartekracht en de arm van de spierkracht getekend. Merk op dat in beide gevallen de arm loopt van het draaipunt tot de werklijn van de kracht en dat de arm loodrecht op deze werklijn staat.

Dan maken we gebruik van het momentenevenwicht:
$$ F_z \times r_z = F_{spier} \times r_{spier} $$
Omdat de afbeelding op schaal is afgebeeld, mogen we meten in de tekening. De arm van de spierkracht is 3,9 cm en de arm voor de zwaartekracht is 1,55 cm. We vullen dit in:
$$ F_{spier} \times 3,9 = 15 \times 9,81 \times 1,55 $$
Als we hiermee F_spier uitrekenen, dan vinden we:
$$ F_{spier} = 58 \text{ N} $$

INSTRUCTIE:
De arm

Leerdoelen:

Zorg dat je weet dat de arm loopt van het draaipunt tot aan de werklijn van de kracht en dat de arm loodrecht staat op de werklijn van de kracht.

Opdrachten

(2p) Beschrijf hoe je de arm van een kracht kan vinden.

Maak het stencil op de volgende bladzijde.

Maak het tweede blad van het Stencil Momenten.

(4p) Een uithangbord is aan een stok opgehangen. De zwaartekracht werkend op het bord is 40 N. De zwaartekracht werkende op de stok mag je verwaarlozen. De stok wordt op zijn plek gehouden met behulp van een touw. Bereken de spankracht in het touw.

In cadeauwinkels tref je de onderstaande flessenstandaard aan. Het is een stuk perspex met een gat waarin de hals van een fles geschoven kan worden. Het stuk perspex kan met de fles in evenwicht worden neergezet. Het is dan niet nodig het perspex aan de ondergrond vast te maken.

(1p) Arceer het gebied in de foto waarin het zwaartepunt van het geheel zich moet bevinden opdat er evenwicht is.

(5p) De fles wordt nu zo ver in het gat geschoven dat de standaard op het punt staat naar rechts te kantelen. Bepaal met behulp van de afbeelding de massa van de fles wijn. Ga ervan uit dat de figuur op schaal is weergegeven en dat de massa van de standaard gelijk is aan 0,45 kg.

(bron: examen VWO 2000-1)

(5p) Aan de oever van de Theems in Londen werd voor de start van het jaar 2000 een enorm reuzenrad gebouwd: het Millenniumrad.

Op de foto kun je zien dat het rad met één kabel omhoog werd getrokken. De kabel was in het zwaartepunt Z van het rad vastgemaakt en liep via een katrol op een mast naar een motor op de grond. Tijdens het omhoogtrekken werd het rad aan één kant in een punt S op de grond vastgehouden, zodat het om dit punt kon kantelen. Het rad heeft een massa van 1,5 × 10³ ton. De bovenstaande tekening is op schaal afgebeeld. Bepaal de grootte van de kracht die de kabel op dit moment op het rad uitoefent.
(bron: examen VWO 2001-1)

(4p) Als een speler bij basketbal aan de ring gaat hangen, dan kan er schade aan het bord ontstaan. Om de kans op schade te verminderen, maakt men gebruik van een zogenaamde klapring (zie de onderstaande afbeelding. Deze afbeelding is op schaal weergegeven).

De kracht van de basketballer op de ring grijpt aan in punt P. Deze kracht is gelijk aan de zwaartekracht op de basketballer. Er werkt ook een veerkracht op de klapring in punt Q. Deze kracht is horizontaal naar rechts gericht. Bepaal de grootte van de veerkracht als een speler van 90 kg aan de ring hangt. Verwaarloos de massa van de ring zelf.
(bron: examen VWO 1998-1)

(4p) Bij een turnoefening duwt een persoon tegen een steunbalk (zie de onderstaande afbeelding). De balk oefent dan alleen een horizontaal gerichte kracht uit op de persoon. De massa van de persoon is 75 kg. Bepaal aan de hand van de afbeelding de grootte van de horizontale kracht van de steunbalk op de persoon.

(bron: examen VWO 2014-2)

Een persoon wil zo gemakkelijk mogelijk een groot blok in evenwicht houden dat aan één zijde op een steunpunt leunt. In de onderstaande afbeelding zien we de persoon in twee richtingen duwen tegen het blok. Het blok is niet op schaal weergegeven.

(4p) Leg met behulp van de bovenstaande afbeelding uit in welke richting de persoon minder kracht uit hoeft te oefenen om het blok in evenwicht te houden.

(8p) Het blok heeft een massa van 150 kg, de breedte van het blok is 50 cm en de hoogte is 120 cm. Bereken met deze gegevens spierkracht van de persoon in beide gevallen.

In de rechter afbeelding zien we een deel van een roeiboot, waarin zich een aantal roeiers bevinden. De roeiers bewegen de boot voort door een hoeveelheid water met de roeispanen in tegenovergestelde richting in beweging te brengen. Een van de roeispanen is hier zichtbaar. Op punt B oefent het blad van de roeispaan een kracht uit op het water. Als gevolg hiervan oefent het water een even grote kracht uit op de roeispaan. Deze krachten staan loodrecht op het blad.

De riem kan worden beschouwd als een hefboom die om een vast punt draait. Dit vaste punt is een pen. De afstand van de pen tot de plaats van de handen op de handgreep is 1,1 m. De afstand van de pen tot punt B is 2,5 m. Op een bepaald moment oefent de roeier een kracht van 660 N uit loodrecht op de roeispaan. Het blad wordt met constante snelheid door het water gehaald. Ook de roeiboot zelf gaat met een constante snelheid door het water.

(4p) Bereken de kracht die de roeispaan uitoefent op het water op punt B.

(2p) Als gevolg van de krachten die hierboven beschreven zijn, komt er ook een kracht te werken op de pen waar de roeispaan op zijn plek wordt gehouden. Leg uit waarom het niet nodig was rekening te houden met de kracht in opdracht a.

(2p) Bereken de grootte van de kracht die de pen op de roeispaan uitoefent.
(bron: examen VWO 1998-2)

Stencil Momenten

Hoofdstuk 5 Moment (HAVO)

§1 Stabiliteit

§2 Het moment

§3 De arm

Hoofdstuk 5
Moment (HAVO)