Hoofdstuk 4
Gravitatie

§1 De vrije val
§2 Cirkelbewegingen
§3 Het heelal
§4 De middelpuntzoekende kracht
§5 Gewichtloosheid (VWO)
§6 De algemene gravitatiekracht

§1 De vrije val

In dit hoofdstuk gaan we de zwaartekracht bestuderen. In de eerste paragraaf kijken we naar de valbeweging op aarde. Daarna gaan we zien hoe de zwaartekracht er ook voor kan zorgen dat objecten in een baan om de aarde kunnen belanden.

Als een voorwerp ongehinderd valt, dan spreken we van een vrije val. Bij een vrije val werkt dus alleen de zwaartekracht op het voorwerp. Alle andere krachten zijn dan afwezig of verwaarloosbaar klein. Voor een vrije val geldt dus:

$$ F_{res} = F_z $$

Als we deze vergelijking uitwerken met de formules F_res = ma en F_z = mg, dan vinden we:

$$ ma=mg $$

Door aan beide kanten de massa weg te strepen vinden we dan:

$$ a = g $$

Een voorwerp dat een vrije val ondergaat heeft dus altijd een versnelling gelijk aan de valversnelling (g), ongeacht de massa van dit voorwerp. Dit betekent dus dat bij lage wrijving een vallend papiertje bijvoorbeeld even snel de grond moet raken als een zwaart blok hout. In het dagelijks leven zien we echter een blok hout sneller de grond raken. Dit komt echter alleen door de luchtwrijvingskracht.

Demonstratievideo

We demonstereren dit in het rechter filmpje:

DEMO-VIDEO:
Valsnelheid

Demonstratievideo

In het rechter filmpje is dit experiment uitgevoerd in een vacuüm. We zien dat een veertje en een muntje in een vacuüm een gelijke valtijd hebben:

DEMO-VIDEO:
Valsnelheid II

Demonstratievideo

Dit experiment is ook getest op de maan waar ook een vacuüm heerst:

DEMO-VIDEO:
Valsnelheid III

Het (v,t)-diagram van een vrije val is hieronder afgebeeld. Als we het diagram nauwkeurig aflezen, dan vinden we inderdaad de valversnelling (g):

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$ $$ a = \frac{49,05}{5,00} = 9,81 \text{ m/s}^2 $$

In het volgende (v,t)-diagram zien we een val waarbij de luchtwrijvingskracht niet te verwaarlozen is. Zoals je kunt zien wordt de versnelling steeds kleiner. Ook uit dit diagram kunnen we echter de valversnelling bepalen. Dit doen we door op t = 0 s een raaklijn te tekenen. Op dit punt is de snelheid van het voorwerp namelijk nog nul en is er dus ook geen luchtwrijvingskracht. Als gevolg hebben we op dit moment te maken met een vrije val en geldt dus ook a = g.

Een bijzondere eigenschap van een vrije val is dat je niet voelt dat je valt. Als je niet zou zien dat de grond op je afkomt, dan zou je denken dat je zweeft. We noemen dit gewichtloosheid.

Demonstratievideo

Hiernaast is een filmpje te zien waarbij een vliegtuig een vrije val maakt (het vliegtuig gebruikt een beetje motorkracht om precies de luchtwrijvingskracht op te heffen). In het filmpje is te zien dat de personen in het vliegtuig tijdens de val volledig gewichtloos zijn.

DEMO-VIDEO:
Gewichtloosheid

Om gewichtloosheid beter te begrijpen, definiëren we de gewichtkracht (F_gew). De gewichtkracht wordt ook wel het gewicht genoemd. In het dagelijks leven wordt gewicht vaak uitgedrukt in kilogram, maar dit is onjuist. Gewicht is een kracht en wordt dus uitgedrukt in newton. Het gewicht is de kracht die een voorwerp uitoefent op zijn ondersteuning of ophangpunt. In de eerste onderstaande afbeelding zien we een blok dat op de grond ligt. De aarde trekt het blok naar beneden (dit is de zwaartekracht). Als gevolg duwt het blok tegen de grond aan (dit is het gewicht). In de rechter afbeelding zien we een soortgelijk voorbeeld. De aarde trekt het blok naar beneden (dit is de zwaartekracht). Als gevolg trekt het blok aan het touw (dit is het gewicht). In deze twee voorbeelden zijn de zwaartekracht en de gewichtkracht even groot, maar dit is niet altijd het geval. In de derde afbeelding zien we een blok op een helling. Zoals we in het hoofdstuk kracht gezien hebben, kunnen we de zwaartekracht die op het blok werkt opdelen in een component waarmee het blok van de helling wordt geduwd en een component waarmee het blok tegen de helling aan wordt gedrukt. Deze laatste component is gelijk aan de gewichtkracht (en is in evenwicht met de normaalkracht).

Het verschil tussen zwaartekracht en gewicht is ook duidelijk te ervaren in een lift. Hieronder zien we links een lift die stil staat (of met een constante snelheid beweegt). In dit geval is de zwaartekracht in evenwicht met de normaalkracht. Dankzij de derde wet is de normaalkracht altijd gelijk aan het gewicht. Het gewicht is nu dus ook gelijk aan de zwaartekracht. In de tweede afbeelding zien we een lift die omhoog versnelt. Er werkt in dit geval dus een resulterende kracht omhoog. Dit betekent dat de normaalkracht groter moet zijn dan de zwaartekracht. Omdat de normaalkracht even groot is als het gewicht, is in dit geval dus ook het gewicht groter. Als gevolg kunnen we concluderen dat een persoon in een lift zich iets zwaarder voelt als deze lift omhoog versnelt. In de derde afbeelding versnelt een lift naar beneden en werkt er dus ook een resulterende kracht naar beneden. Als gevolg wordt de normaalkracht nu kleiner dan normaal het geval is. Dit zorgt ervoor dat we ons iets lichter voelen als een lift naar beneden versnelt. In de rechter afbeelding versnelt de lift naar beneden met g. De resulterende kracht is nu gelijk aan de zwaartekracht (ma = mg). Als gevolg moet de normaalkracht nul zijn. Ook het gewicht is hier dus nul. Het blok is nu gewichtloos.

Demonstratievideo

In het rechter filmpje tonen we aan dat een voorwerp in vrije val gewichtloos is. We zien we een massa die hangt aan een newtonmeter. Als we de newtonmeter laten vallen, dan geeft de newtonmeter vrijwel direct nul newton aan, terwijl het blok er nog steeds aan bevestigd is. Vallende voorwerpen zijn dus gewichtloos. Het blok weegt nu nul newton.

DEMO-VIDEO:
Gewichtloosheid II

INSTRUCTIE:
De valversnelling

INSTRUCTIE:
Examenvraag

INSTRUCTIE:
De valbeweging

INSTRUCTIE:
Gewichtloosheid

Leerdoelen:

Zorg dat je valbewegingen met en zonder wrijvingskracht met (x,t)- en (v,t)-diagrammen kan beschrijven.

Zorg dat je met een (v,t)-diagram van een valbeweging met wrijvingskracht de valversnelling kan bepalen met behulp van een raaklijn op tijdstip t = 0 s.

Zorg dat je weet dat bij een vrije val (zonder wrijvingskracht) geldt dat a = g en dat je je bij een vrije val gewichtloos bent.

Zorg dat je weet dat het gewicht of de gewichtkracht (F_gew) de kracht is die een voorwerp op een ondersteuning of een ophangpunt uitoefent.

Zorg dat je weet dat op een hellend vlak de gewichtkracht even groot is als F_z⊥.

Zorg dat je weet dat dankzij de derde wet van Newton de gewichtkracht altijd gelijk is aan de normaalkracht.

Zorg dat je het gewicht kan berekenen in een lift die omhoog of omlaag versnelt. De richting van de versnelling geeft ook de richting van de resulterende kracht. Als de resulterende kracht omhoog wijst, dan moet de normaalkracht (en dus de gewichtkracht) groter zijn dan de zwaartekracht. Als gevolg voelen voorwerpen zwaarder aan. Als de resulterende kracht omlaag wijst, dan moet de normaalkracht (en dus de gewichtkracht) kleiner zijn dan de zwaartekracht. Als gevolg voelen voorwerpen lichter aan.

Opdrachten

(2p) Schets een (x,t)- en een (v,t)-diagram van een vallende steen die een vrije val ondergaat.

(2p) Schets een (x,t)- en een (v,t)-diagram van een vallende steen met luchtwrijvingskracht.

In het onderstaande (x,t)- en (v,t)-diagram wordt een valbeweging beschreven.

(1p) Leg uit hoe je aan beide diagrammen kunt zien dat de wrijvingskracht niet te verwaarlozen is.

(1p) Bepaal de snelheid van het voorwerp op t = 0 s.

(1p) Bepaal de versnelling van het voorwerp op t = 0 s.

(3p) De maan heeft geen atmosfeer. Teken een (v,t)-diagram van de val van een steen op de maan.

In het onderstaande (v,t)-diagram is een parachutesprong weergegeven.

(2p) Op punt B opent de persoon zijn parachute en als gevolg wordt er een grote luchtwrijvingskracht omhoog uitgeoefend op de persoon. Vul de onderstaande zinnen aan en licht je keuzes toe:
De luchtwrijvingskracht is op dit moment groter / kleiner dan de zwaartekracht.
De persoon beweegt op dit moment persoon omhoog / omlaag.

(2p) De luchtwrijvingskracht werkende op de springer op punt A (parachute dicht) is gelijk aan de luchtwrijvingskracht in punt C (parachute open). Leg uit hoe je dit in het (v,t)-diagram kan zien.

(3p) Leg uit hoe het kan dat de wrijvingskracht op deze twee punten gelijk is.

(bron: examen VWO 2002-1)

(2p) Het onderstaande (v,t)-diagram beschrijft een sprong van een volleybalspeler.

Ga na of de wrijvingskracht die de springer ondervindt tussen t = 0,1 en t = 0,4 s verwaarloosbaar is.
(bron: examen VWO 2015-1)

(5p) In de onderstaande afbeelding zien we een zogenaamde bungeetrampoline. Een persoon kan hier met behulp van twee elastische koorden en een trampoline erg hoog springen. Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een aantal sprongen.

Ga na of de persoon op het hoogste punt nog steeds een kracht van de elastische koorden ondervindt of dat deze op dat moment niet gespannen zijn. Je mag ervan uitgaan dat de wrijvingskrachten op dat moment verwaarloosbaar zijn.
(bron: examen VWO 2011-1)

In Bremen staat een zogenaamde valtoren waarin voorwerpen over een afstand van 110 meter kunnen vallen in een vacuüm ruimte. In plaats van het voorwerp van bovenaf te laten vallen, kan het voorwerp ook van onderaan omhoog worden afgeschoten. Dit wordt gedaan met een soort katapult. In het onderstaande (h,t)-diagram is de beweging van het voorwerp te zien vanaf het moment dat het loskwam van de katapult.

(1p) Gedurende welke momenten is het voorwerp gewichtloos?

(6p) De katapult heeft er 0,40 seconde over gedaan om het voorwerp vanuit stilstand op snelheid te brengen. Bereken de gemiddelde kracht die de katapult op het voorwerp heeft uitgeoefend. Het voorwerp heeft een massa van 1,5 kg.
(bron: examen VWO 2008-2)

(6p) Hieronder is links een lift weergegeven die omhoog versnelt en rechts een lift die omlaag versnelt. Geef in beide gevallen aan of je je lichter of zwaarder voelt dan normaalgesproken het geval is. Leg dit telkens uit door de krachten werkende op de persoon te schetsen.

(VWO) Hieronder is het (a,t)-diagram van de beweging van een persoon met een massa van 75 kg in een lift weergegeven.

(4p) Geef aan op welke momenten de lift stilstaat, constant beweegt, versnelt of vertraagt. Je mag ervan uitgaan dat de lift op tijdstip t = 0 s stilstond.

(4p) Bereken voor elk deel van de grafiek de resulterende kracht werkende op de persoon.

(6p) De persoon stond tijdens de beweging op een weegschaal. Geef voor elk moment aan welke waarde de weegschaal aangeeft.

§2 Cirkelbewegingen

In de komende twee paragrafen gaan we de theorie uit het hoofdstuk "Beweging" en "Kracht" uitbreiden, zodat we hier ook cirkelbewegingen mee kunnen beschrijven. Dit stelt ons in staat om bijvoorbeeld de beweging van de aarde om de zon te begrijpen. In deze paragraaf bestuderen we het beweging-deel van de cirkelbeweging. In een latere paragraaf kijken we naar de kracht die hiervoor nodig is.

In hoofdstuk "Beweging" en "Kracht" hebben we rechtlijnige bewegingen bestudeerd. In dit hoofdstuk gaan we dit uitbreiden door voorwerpen te bestuderen die een bocht maken. Denk bijvoorbeeld aan een auto die de bocht door gaat of de beweging van de aarde om de zon. Om bochten goed te begrijpen bestuderen we eerst de cirkelbeweging. Hieronder zien we bijvoorbeeld een massa m, die een cirkelbeweging maakt om het middelpunt M. De afstand tussen m en M blijft gedurende de beweging constant. We noemen deze afstand de baanstraal (r).

Zoals altijd vinden we de snelheid van een voorwerp door de afgelegde afstand te delen door de tijdsduur. De afgelegde weg van één omwenteling is gelijk aan de omtrek van de cirkel (2πr). De tijd die nodig is voor een omwenteling noemen we de omlooptijd (T). De snelheid van massa m wordt dus gegeven door:

$$ v_{baan} = \frac{2\pi r_{baan}}{T} $$

Baansnelheid (v_baan)

meter per seconde (m/s)

Baanstraal (r_baan)

meter (m)

Omlooptijd (T)

seconde (s)

Cirkelbewegingen komen veel voor in de ruimte. Veel planeten in ons zonnestelsel maken bijvoorbeeld nagenoeg een cirkelbeweging om de zon (zie de onderstaande linker afbeelding). In tabel 31 van BINAS kan je een hele hoop gegevens vinden over de banen van verschillende planeten. Let er bij de opdrachten goed op of je de straal van de planeet nodig hebt (de afstand van het middelpunt van de planeet tot het oppervlak) of de baanstraal van de planeet (de afstand van het midden van de planeet tot het midden van de zon).

Een ander voorbeeld van een object dat een cirkelbaan maakt is een satelliet. Satellieten worden bijvoorbeeld gebruikt om tv-kanalen te ontvangen met een satellietschotel. Om ervoor te zorgen dat de satellietschotel telkens naar de satelliet blijft wijzen, is het nodig dat de satelliet precies meedraait met de aarde. Deze satellieten hebben dus een omlooptijd van 24 uur. Satellieten met deze omlooptijd worden geostationaire satellieten genoemd.

Naast de omlooptijd, gaan we in deze paragraaf ook rekenen met het toerental, hetgeen vaak gemeten wordt in rpm (dit staat voor revolutions per minute of in het Nederlands “omwentelingen per minuut”). Stel dat een wasmachine een toerental heeft van 1500 rpm, dan kunnen we met behulp van een verhoudingstabel gemakkelijk de omlooptijd T in seconden vinden:

1500 omwentelingen	1 omwenteling
60 seconden	... seconden

We vinden dan T = 1 × 60 / 1500 = 0,04000 s.

INSTRUCTIE:
Cirkelbeweging

INSTRUCTIE:
Heliocentrisch wereldbeeld

INSTRUCTIE:
Het zonnestelsel

Leerdoelen:

Zorg dat je kan rekenen met de baansnelheid met behulp van de formule "v_baan = 2πr_baan/T".

Zorg dat je de snelheid kan uitrekenen waarmee een planeet op de evenaar om zijn eigen as draait (gebruik hiervoor de "straal (equator)" in BINAS) en de snelheid waarmee een planeet om de zon beweegt (gebruik hiervoor de "baanstraal" in BINAS).

Als de hoogte boven het oppervlak van een planeet gegeven is, dan is de "r" in de formule gelijk aan de straal van de planeet plus deze hoogte.

Zorg dat je weet dat geostationaire satellieten precies meedraaien met de aarde en dus een omlooptijd hebben van 24 uur.

Zorg dat je kan rekenen met het toerental.

Opdrachten

(2p) Een steen wordt rondgeslingerd aan een touw. Het touw heeft een lengte van 2,0 meter. De steen maakt elke 0,50 seconden een rondje. Bereken de snelheid van de steen.

(2p) Een elektron in een waterstofatoom beweegt met een gigantische snelheid van 2,1877 × 10⁶ m/s om de atoomkern. Het elektron bevindt zich op een afstand van 5,29177211 × 10^-11 m van de atoomkern. Bereken hoelang één omwenteling duurt.

(3p) Bereken de snelheid waarmee de aarde om de zon draait. Gebruik hier BINAS tabel 31.

(3p) Bereken de snelheid van een persoon op de evenaar ten gevolge van de draaiing van de aarde om zijn eigen as.

(2p) Leg uit welke afstanden uit BINAS je hebt moeten gebruiken in vorige twee vragen.

Het internationale ruimtestation bevindt zich op 400 km boven het aardoppervlak en heeft een snelheid van 7,9 km/s.

(3p) Bereken de omlooptijd van het station.

(1p) Waar moest je in de vorige vraag op letten bij het rekenen met de hoogte boven het aardoppervlak.

(2p) Bereken hoeveel rondjes het ruimtestation per dag om de aarde maakt.

(4p) Geostationaire satellieten bevinden zich op 35786 km boven het aardoppervlak en maken een baan boven de evenaar. Bereken de snelheid van deze satellieten.

(VWO, 5p) Amsterdam bevindt zich op 52° noorderbreedte. Bereken de snelheid die een persoon in Amsterdam heeft ten gevolge van de draaiing van de aarde.

(4p) Een wasmachine heeft een toerental van 1500 rpm. De diameter van de wasmachine is 50 cm. Bereken de snelheid waarmee de wasmachine ronddraait.

Een spiraalboor heeft een diameter van 8 mm. Bij het boren door staal draait de boor met een snelheid van 35 m/min.

(4p) Bereken het toerental van de boor.

(2p) Zal bij het boren in hout het toerental groter of kleiner worden? En hoe zit dit met de omlooptijd? Licht je antwoord toe.

§3 Het heelal

In het heelal komen cirkelbewegingen vaak voor. Denk bijvoorbeeld aan het bewegen van de maan om de aarde om de zon. In deze paragraaf bespreken we een aantal van deze bewegingen

In de onderstaande linker afbeelding zien we tussen de planeet Mars en Jupiter de asteroïdengordel, bestaande uit allemaal brokstukken en een paar dwergplaneten, waarvan Ceres de grootste is. Het kan gebeuren dat één van deze brokstukken richting de aarde schiet. Een steen die vanuit de ruimte op aarde terecht komt noemen we een meteoriet. Een kleine meteoriet doet meestal geen schade, maar de meteoriet die 65 miljoen jaar geleden met de aarde botste had een diameter van ongeveer 10 km en heeft ervoor gezorgd dat de dinosauriërs zijn uitgestorven.

Ook bewegen er een aantal kometen in ons zonnestelsel. Een komeet is een object bestaande uit ijs, stof en steen. Het ijs van de komeet smelt door de zon en zorgt dat kometen vaak een staart hebben (zie de rechter afbeelding). De banen van kometen zijn zelden cirkelvormig en daarom zijn de formules uit dit hoofdstuk niet bruikbaar.

Om veel van de sterren die wij in de nacht zien draaien ook planeten. We noemen dit exoplaneten. Het ziet er niet naar uit dat we deze planeten snel zullen bereiken. De dichtstbijzijnde ster is namelijk zo’n 4,35 lichtjaren (4,35 lj) van ons vandaan. Een lichtjaar is gelijk aan de afstand die licht aflegt in een jaar. Volgens BINAS geldt dat 1 lj = 9,461 × 10¹⁵ m.

De afstanden binnen het zonnestelsel zijn wel haalbaar. In 1969 lukte het de mens voor het eerst om op de maan te landen. Hoewel de mens nog nooit op een andere planeet heeft gestaan, is het wel gelukt om robotjes te sturen naar verschillende hemellichamen in ons zonnestelsel. Afstanden meten we in dat geval vaak in astronomische eenheden (AE). 1 AE is gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon, oftewel 1,49598 × 10¹¹ m.

Een andere bekende cirkelbeweging in het zonnestelsel is de baan van de maan om de aarde. Ook andere planeten hebben manen. Hieronder zien we bijvoorbeeld de vier manen van Jupiter.

In de onderstaande afbeelding zien we de maan in zijn baan om de aarde. Ook zien we de zon die zowel de aarde als de maan verlicht. Aan de donkere kant van de aarde is het nacht en aan de lichte kant is het dag. Doordat de aarde om zijn eigen as draait, wisselen dag en nacht elkaar elke 24 uur af. De maan wordt in zijn baan om de aarde telkens vanaf dezelfde kant verlicht, maar vanaf de aarde gezien is telkens een wisselende hoeveelheid van de donkere en lichte kant te zien. We noemen dit de fasen van de maan. Als de maan zich tussen de zon en aarde bevindt, dan zien we alleen de donkere kant van de maan. We noemen dit de nieuwe maan. Als de maan zich aan de andere kant van de aarde bevindt, dan zien we een volledig verlichte maan. We noemen dit de volle maan. Tussen deze posities in zien we de maan deels verlicht en deels donker.

Wellicht dat je je afvraagt hoe we ooit een volle maan zien. Het lijkt in de bovenstaande afbeelding immers dat bij volle maan het licht van de zon geblokkeerd zal worden door de aarde en de maan dus helemaal niet zou bereiken. Dat dit niet het geval is, kunnen we goed zien door de bovenstaande afbeelding eens van de zijkant te bekijken (zie de onderstaande afbeelding). We zien hier dat de baan de maan onder een hoek staat. Als gevolg kan de volle maan het zonlicht toch bereiken.

Af en toe staat de maan echter wel precies achter de aarde of tussen de zon en de aarde. Als de maan zich precies tussen de zon en de aarde bevindt, dan vindt een zogenaamde zonsverduistering plaats. Het licht van de zon wordt hier geblokkeerd door de maan. De maan kan ook door de schaduw van de aarde trekken. In dat geval spreken we van een maansverduistering.

In de onderstaande foto zien we een maansverduistering.

In de onderstaande foto's zien we links een zonsverduistering en rechts zien we de schaduw die de maan door de zonsverduistering op de aarde werpt.

De seizoenen ontstaan doordat de as van de aarde onder een hoek staat. Dit is goed te zien in de onderstaande linker afbeelding. Als de aarde in deze afbeelding links van de zon staat, dan wordt de onderkant van de aarde iets beter verlicht dan de bovenkant. Het is nu in het zuidelijk halfrond zomer en in het noordelijk halfrond winter. Als de aarde rechts van de zon staat, dan wordt de bovenkant iets beter verlicht dan de onderkant. Nu is het juist in het noordelijk halfrond zomer. Vanaf de aarde zien we ditzelfde effect doordat de baan van de zon in de zomer hoger boven de horizon staat. In de rechter afbeelding is dit te zien.

Er zijn ook cirkelbewegingen te vinden op nog grotere schaal. Onze zon is slechts één ster in een gigantisch melkwegstelsel, ook wel een sterrenstelsel genoemd, bestaande uit miljarden sterren. Hieronder is een foto van zo'n melkwegstelsel te zien. Al deze sterren maken cirkelbewegingen om het centrum van dit melkwegstelsel. In het centrum bevindt zich een superzwaar zwart gat. Een zwart gat is een object dat zo zwaar is dat zelfs licht er niet aan kan ontsnappen. Door de sterren te bestuderen die rond dit zwarte gat bewegen (zie de rechter afbeelding), is achterhaald dat het zwarte gat een massa moet hebben gelijk aan 4 miljoen keer de massa van de zon.

In de onderstaande afbeelding zien we een enorme hoeveelheid melkwegstelsels, elk bestaande uit miljarden sterren. Melkwegstelsels die ver van elkaar af staan, bewegen langzaam uit elkaar. Hieruit blijkt dat het heelal steeds groter aan het worden is. We noemen dit ook wel het uitdijen van het heelal. Omdat het heelal steeds groter aan het worden is, moet het dus in het verleden kleiner geweest zijn. Door de snelheid van het uitzetten te achterhalen, is het wetenschappers gelukt om uit te rekenen wanneer het hele heelal zich in één punt bevond. Uit dit punt is het hele heelal ontstaan. We noemen dit de oerknal.

Leerdoelen:

Zorg dat je weet wat asteroïden, meteorieten, kometen, exoplaneten, melkwegstelsels en zwarte gaten zijn.

Zorg dat je weet dat het heelal uitdijt en dat dit een aanwijzing is voor de oerknal.

Zorg dat je kan rekenen met lichtjaren (lj) en astronomische eenheden (AE). Beide waarden kan je in BINAS vinden.

Zorg dat je kan redeneren over de positie van de maan gedurende de verschillende maanfasen.

Zorg dat je weet wat een zonsverduistering en een maansverduistering is en zorg dat je begrijpt dat zons- en maansverduisteringen niet elke omlooptijd van de maan voorkomen.

Zorg dat je begrijp dat de seizoenen ontstaan doordat de aardas onder een hoek staat (en niet door de elliptische baan van de aarde om de zon). In de zomer komt de zon hierdoor hoger aan de horizon.

Opdrachten

In de volgende afbeelding zien we de rotatiekromme van een melkwegstelsel. Deze grafiek vertelt ons de snelheid van sterren in het melkwegstelsels op verschillende afstanden van het middelpunt van het stelsel. Deze afstanden worden gemeten in kiloparsec (kpc).

(1p) Leg uit waar de verticale lijnen door de meetpunten voor staan.

(1p) Leg uit waar de grafiek (de doorgetrokken lijn) voor staat.

(4p) Bepaal de omlooptijd van de gemiddelde ster op een afstand van 12,0 kpc in jaren.

De planeet Saturnus staat bekend om zijn prachtige ringen (zie de onderstaande afbeelding). In de 17^de eeuw liet de astronoom Cassini met een telescoop zien dat de ring eigenlijk uit twee ringen bestond, waartussen zich een scheiding bevond die later de Cassinischeiding werd genoemd. Later werden nog meerdere scheidingen ontdekt. Op de onderstaande afbeelding zie je bijvoorbeeld ook de kleinere Enckescheiding.
Deze Enckescheiding blijft mooi leeg doordat deze schoongehouden wordt door een kleine maan genaamd Pan die elke 13,8 uur een baan maakt om de planeet (zie de onderstaande afbeelding). Schat met behulp van de bovenstaande foto en BINAS de baansnelheid van Pan.

De bekendste maan van Saturnus is Titan (zie de onderstaande afbeelding). Bijzonder aan Titan is dat deze maan bedekt is met wolken. Het is de enige maan in ons zonnestelsel met een atmosfeer! Titan beweegt met een snelheid van 5,57 km/s om Saturnus en heeft een omlooptijd van 15,945 dagen. Bereken hiermee hoe hoog Titan zich boven het oppervlak van Saturnus bevindt.

Vroeger dacht men dat de sterren elke 24 uur een rondje om de aarde maakten.

(2p) Leg uit waarom men dit dacht en geef hiervoor een verklaring.

(3p) De dichtstbijzijnde ster is Promixa Centauri. Bereken de baansnelheid van deze ster als deze elke 24 uur om de aarde zou draaien.

(2p) Leg uit waarom het resultaat bij vraag b bewijst dat de aarde om zijn eigen as moet draaien.

De maan draait in iets meer dan 27 dagen in een baan om de aarde.

(2p) Leg uit wanneer zons- en maansverduisteringen plaatsvinden tijdens deze beweging.

(1p) Leg uit waarom niet elke 27 dagen een zons- en een maansverduistering plaatsvindt.

(2p) Leg uit of er in de middag een volle maan zichtbaar kan zijn.

(1p) Leg uit hoe de seizoenen ontstaan.

§4 De middelpuntzoekende kracht

In deze paragraaf bestuderen we de kracht die nodig is om een object in een cirkelbaan te houden. We noemen dit de middelpuntzoekende kracht.

In de vorige paragraaf hebben we geleerd over cirkelbewegingen, maar hoe krijgen we een voorwerp in een cirkelbaan? Dit doen we door een kracht uit te oefenen loodrecht op de bewegingsrichting van het voorwerp. We zien dit gebeuren in de onderstaande linker afbeelding. Rechts is een voorwerp afgebeeld dat in een cirkelbaan beweegt. Merk op dat de kracht wederom loodrecht op de bewegingsrichting staat en dat de kracht hierdoor naar het middelpunt van de cirkelbaan wijst. We noemen een dergelijke kracht daarom ook wel een middelpuntzoekende kracht (F_mpz).

AFBEELDING

We kunnen deze beweging als volgt begrijpen. Volgens de eerste wet van Newton bewegen ongehinderde voorwerpen met een constante snelheid en in een rechte lijn (we noemen dit ook wel een eenparige beweging). We noemen dit ook wel een eenparige beweging. Een voorwerp dat een cirkelbeweging maakt, zou dus 'het liefst' op elk moment rechtdoor willen bewegen. De middelpuntzoekende kracht trekt het voorwerp echter elk moment terug richting het middelpunt van de cirkel. Op deze manier blijft het voorwerp in zijn cirkelbaan.

In de extra paragraaf aan het eind van dit hoofdstuk zullen we bewijzen dat voor het maken van een cirkelbeweging de grootte van deze kracht altijd gelijk moet zijn aan:

$$ F_{mpz} = \frac{mv_{baan}^2}{r_{baan}} \;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{Gebruik altijd SI-eenheden}$$

Middelpuntzoekende kracht (F_mpz)

newton (N)

Massa (m)

kilogram (kg)

Baansnelheid (v_baan)

meter per seconde (m/s)

Baanstraal (r_baan)

meter (m)

Het is belangrijk om te realiseren dat de middelpuntzoekende kracht niet een nieuwe soort kracht is. Het is de kracht die nodig is om een voorwerp in zijn baan te houden en dit kan in principe door elke kracht gedaan worden. Als we een steen horizontaal rondslingeren aan een touw, dan is het bijvoorbeeld de spankracht in het touw die ervoor zorgt dat de steen in zijn baan blijft. We zeggen in dat geval dat de middelpuntzoekende kracht geleverd wordt door de spierkracht. Een ander voorbeeld is het draaien van de aarde om de zon (zie de afbeelding linksonder). Ook hier werkt een middelpuntzoekende kracht. In dit geval wordt deze kracht geleverd door de gravitatiekracht.

Er werkt ook een middelpuntzoekende kracht als een auto een bocht maakt. In dit geval wordt de middelpuntzoekende kracht geleverd door de wrijvingskracht tussen de wielen en de weg (zie de middelste onderstaande afbeelding). Deze extra wrijvingskracht wordt veroorzaakt doordat de bestuurder de voorwielen van de auto draait. De auto "wil" rechtdoor, maar de wrijvingskracht forceert de auto in een cirkelbeweging. In de rechter afbeelding kan je zien dat auto's zo ontworpen zijn dat de wrijvingskracht op elk wiel naar hetzelfde middelpunt wijst.

Demonstratievideo

In het onderstaande filmpjes zien we dit effect. We zien o.a. dat bekerglazen met vloeistof over de kop geslingerd worden. De vloeistoffen blijven netjes in de glazen zitten. In dit geval is het de normaalkracht van de bodem van de glazen die de vloeistoffen in hun baan houden.

DEMO-VIDEO:
Middelpuntzoekende kracht I

DEMO-VIDEO:
Middelpuntzoekende kracht II

DEMO-VIDEO:
Middelpuntzoekende kracht III

Als inzittende van een auto lijkt het alsof je bij het maken van een bocht naar de buitenbocht wordt geduwd. Dit is echter een illusie! Wat er gebeurt, is dat de inzittenden in een rechte lijn willen voortbewegen, terwijl de auto de bocht om gaat. Het is dus niet zo dat je naar de buitenbocht wordt geduwd, maar juist dat de auto je de bocht in trekt!

Hetzelfde geldt voor het horizontaal rondslingeren van een steen aan een touw. Het lijkt alsof de steen een kracht naar buiten uitoefent, maar in werkelijkheid probeert de steen alleen maar rechtdoor te bewegen en is het jouw spierkracht die de steen in de cirkelbaan houdt. Als op een bepaald moment de middelpuntzoekende kracht zou wegvallen (bijvoorbeeld als het touw breekt), dan zou het voorwerp (volgens de eerste wet van Newton) wegschieten in een rechte lijn in de richting die het op dat moment heeft. Het voorwerp schiet dan dus weg langs een raaklijn van de cirkelbaan (zie de onderstaande linker afbeelding).

Als een vliegtuig een bocht wil maken, dan moet het vliegtuig zorgen voor een kracht loodrecht op de bewegingsrichting. Dit doet een vliegtuig door te kantelen (zie de onderstaande linker afbeeldingen). Op de vleugels werkt namelijk een liftkracht die altijd loodrecht op de vleugels werkt. Door te kantelen krijgt deze liftkracht een component in de horizontale richting (zie de middelste onderstaande afbeelding). Deze horizontale component staat loodrecht op de bewegingsrichting van het vliegtuig en zal dus fungeren als een middelpuntzoekende kracht.

Om het gemakkelijker te maken voor auto's om de bocht door te komen wordt een soortgelijk effect gebruikt. Het wegdek wordt een beetje gekanteld, zodat de normaalkracht van de weg een horizontale component krijgt en kan fungeren als middelpuntzoekende kracht. Zonder deze normaalkracht zou alleen de wrijvingskracht de middelpuntzoekende kracht kunnen leveren en als deze kracht niet voldoende is, dan vliegt de auto uit de bocht.

INSTRUCTIE:
Middelpuntzoekende kracht

Leerdoelen:

Zorg dat je weet dat een voorwerp de bocht om gaat als er een kracht werkt loodrecht op de bewegingsrichting.

Zorg dat je weet dat een voorwerp een cirkelbaan maakt als deze kracht gelijk is aan F_mpz = mv²/r. We spreken dan van de middelpuntzoekende kracht.

Zorg dat je in verschillende situaties kan achterhalen welke soort kracht de middelpuntzoekende kracht levert. Bijvoorbeeld, als een auto de bocht om gaat, dan levert de wrijvingskracht de middelpuntzoekende kracht en als een planeet een baan maakt om een ster dan levert de gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht.

Zorg dat je weet dat bij het wegvallen van de middelpuntzoekende kracht het voorwerp langs de raaklijn van de cirkel zal voortbewegen.

Zorg dat je begrijpt dat een vliegtuig de bocht om gaat door te kantelen. De liftkracht die loodrecht op de vleugels werkt krijgt dan een component loodrecht op de bewegingsrichting. Deze component levert de middelpuntzoekende kracht.

Opdrachten

(5p) Geef in de volgende situaties aan welke kracht de middelpuntzoekende kracht levert:

Een steen wordt horizontaal rondgeslingerd aan een touw.

De aarde wordt in zijn baan gehouden om de zon.

Een fietser gaat de bocht door.

Kleding wordt rondgedraaid in een wasmachine.

Een elektron wordt in zijn baan gehouden in een atoom.

(1p) Leg uit wat er bedoeld wordt met dat de middelpuntzoekende kracht geen nieuwe soort kracht is.

Een auto maakt een bocht naar links en jij zit op een stoel rechtsachter in de auto. Doordat de auto deze bocht maakt, hebt je het gevoel dat je uit de bocht geduwd wordt.

(3p) Leg uit wat er werkelijk aan de hand is. Waarom voelt het dan toch zo?

(1p) Schets welke kant je op zou vliegen als de auto een scherpe bocht maakt en er geen deuren zaten om je in de baan te houden.

(1p) Een fietser rijdt door de regen. Het wiel draait snel genoeg dat druppels van het wiel af schieten. Teken op verschillende plaatsen op het wiel in welke richting de druppels wegschieten.

(4p) Bereken de gravitatiekracht waarmee de maan in zijn baan om de aarde wordt gehouden. Bereken hiervoor eerst de snelheid van de maan met behulp van BINAS.

(3p) Bereken de middelpuntzoekende kracht die werkt op een persoon met een massa van 80 kg op de evenaar ten gevolge van de draaiing van de aarde om zijn eigen as.

(4p) Het internationaal ruimtestation heeft een massa van 4,2 × 10⁵ kg en ondervindt een zwaartekracht van 3,9 × 10⁶ N. Het ruimtestation bevindt zich in een baan 400 km boven het aardoppervlak. Bereken hoelang het duurt voordat het ruimtestation een rondje om de aarde gemaakt heeft.

(4p) Een proton wordt een magneetveld in geschoten en begint een cirkelbaan te maken. De magnetische kracht werkende op het proton is 8,18 × 10^-24 N en de cirkelbaan heeft een straal van 2,00 cm. De omlooptijd van het proton is 12,7 ms. Bereken hiermee de massa van het proton.

(4p) Een elektron beweegt binnen 1,52 × 10^-16 s om de atoomkern in een waterstofatoom. De snelheid van het elektron is 2,1877 × 10⁶ m/s. Bereken hiermee de elektrische kracht waarmee het elektron wordt aangetrokken tot de atoomkern.

Wetenschappers in de late middeleeuwen ontdekten dat beweging niet altijd voelbaar is. Ze concludeerden hieruit dat het mogelijk was dat de aarde beweegt, zonder dat we hier iets van merken.

(1p) Hoe noemen we dit principe?

(6p) Er werkt wel een middelpuntzoekende kracht op personen op aarde door de draaiing van de aarde om de zon en door de draaiing van de aarde om zijn eigen as. Laat in beide gevallen met een berekening zien dat we hier in het dagelijks leven weinig van merken.

Hieronder zien we een indoorwielrenner. Zoals je kunt zien loopt de wielrenbaan in de bochten schuin.

(2p) Waarom is de helling schuin gemaakt? Leg dit uit met behulp van de krachten die er werken.

(5p) De voorste wielrenner heeft een massa van 70 kg. Bepaal aan de hand van de foto de middelpuntzoekende kracht die op deze wielrenner werkt. Maak hiervoor eerst een tekening van de krachten die er werken.

In de film Elysium wordt een ringvormig ruimtestation beschreven. Door de snelle rotatie van het schip kunnen mensen op de binnenwand van het schip lopen alsof er zwaartekracht werkt.

(3p) Leg uit hoe men met de draaiing van het schip zwaartekracht kan simuleren.

(1p) Geef aan in welk van de onderstaande afbeeldingen de krachten correct zijn weergegeven.

(VWO) Een blokje aan een slinger maakt cirkelbewegingen zoals hieronder is aangegeven. De slinger heeft een lengte L van 20,6 cm en de hoogte h van 20 cm. De massa van het blokje is 200 g en de hoek θ is 12°. De afbeelding is niet op schaal weergegeven.

(4p) De snelheid van het blokje hangt niet af van de massa. Laat dit zien. Leid hiervoor eerst af dat: $$ v = \sqrt{gr\tan\theta} $$

(3p) Bereken de snelheid van het blokje.

(2p) Als een vliegtuig rechtdoor vliegt, dan is de zwaartekracht die op het vliegtuig werkt in evenwicht met de liftkracht die loodrecht op de vleugels werkt. Als het vliegtuig kantelt, dan zal het vliegtuig een bocht maken en ook een beetje dalen. Leg beide fenomenen uit aan de hand van de krachten die er werken.

(bron: examen VWO 2017-1)

Hieronder zien we een slinger die heen en weer beweegt. De lengte van het touw is 1,0 m en het blokje heeft een massa van 80 g.

(1p) Bij zijn maximale uitwijking is de middelpuntzoekende kracht die op het blokje werkt nul. Leg dit uit.

(1p) Op het laagste punt werkt er zowel een spankracht als een zwaartekracht. Leg uit dat de spankracht groter moet zijn dan de zwaartekracht.

(4p) De massa gaat met een snelheid van 0,40 m/s door het laagste punt. Bereken de spankracht in het touw.

§5 Gewichtloosheid (VWO)

In deze paragraaf kijken we nogmaals terug naar het begrip gewicht en gewichtloosheid. Deze keer passen we het toe op de cirkelbeweging.

Ook de middelpuntzoekende kracht kan ervoor zorgen dat een persoon gewichtloosheid ervaart. Dit kunnen we begrijpen met het volgende voorbeeld. In de onderstaande afbeelding zien we een aantal achtbaankarretjes door de bocht gaan. Als een karretje stil zou staan boven op deze bocht, dan zou een persoon in dit karretje met zijn volledige zwaartekracht tegen zijn stoel drukken. Als het karretje met een behoorlijke snelheid deze bocht maakt, dan is er een middelpuntzoekende kracht nodig om de persoon in zijn baan te houden. Deze kracht wordt geleverd door de zwaartekracht van de persoon. Een deel van de zwaartekracht van de persoon zal nu dus niet gebruikt worden om de persoon tegen de stoel te drukken, maar zal gebruikt worden als middelpuntzoekende kracht. Als gevolg voelt de persoon zich nu lichter.

Als de kar nog sneller gaat bewegen, dan komt er een moment dat de zwaartekracht gelijk wordt aan de middelpuntzoekende kracht. De volledige zwaartekracht wordt nu dus gebruikt als middelpuntzoekende kracht en er is dus geen kracht meer over waarmee de persoon tegen de stoel drukt. Als gevolg ervaart de persoon nu gewichtloosheid.

Hetzelfde effect vindt plaats in een satelliet in zijn baan om de aarde. We krijgen een satelliet in een baan om de aarde door het een snelheid mee te geven, waarbij de middelpuntzoekende kracht gelijk wordt aan de gravitatiekracht. Als gevolg is de satelliet gewichtloos en valt het niet terug naar de aarde. De satelliet bevindt zich dan in een baan om de aarde.

INSTRUCTIE:
Gewichtloosheid

Leerdoelen:

(VWO) Zorg dat je begrijpt dat je in een satelliet gewichtloos bent. De gravitatiekracht die dan op je werkt wordt volledig gebruikt om je in de baan te houden (dus als middelpuntzoekende kracht). Als gevolg is er geen kracht meer over om tegen de grond te drukken. De gewichtkracht is dus nul.

Opdrachten

Een persoon in een achtbaankarretje gaat over de kop.

(2p) De persoon gaat net snel genoeg dat hij op het hoogste punt even gewichtloos is. Is de middelpuntzoekende kracht nu groter dan, kleiner dan of gelijk aan de zwaartekracht? Is er nu een normaalkracht aanwezig? Zo ja, geef dan ook de richting van de normaalkracht.

(3p) De persoon gaat nu sneller de looping door dan in vraag a. Is de middelpuntzoekende kracht nu groter dan, kleiner dan of gelijk aan de zwaartekracht? Is er nu een normaalkracht aanwezig? Zo ja, geef dan ook de richting van de normaalkracht.

(1p) Leg uit in welke omstandigheden men gewichtloosheid ervaart bij het maken van een cirkelbeweging.

(4p) Een persoon van 70 kg gaat met zijn vliegtuig over de kop. Zijn cirkelvormige baan heeft een straal van 20 meter. Hij gaat snel genoeg dat zijn stoel een normaalkracht op hem uitoefent van 200 N op het hoogste punte van de cirkelbaan. Bereken de snelheid waarmee het vliegtuig gaat.

(4p) Het is mogelijk om als mens door een kleine looping te rennen. De looping in de onderstaande afbeelding heeft een diameter van 2,8m.
Bereken de minimale snelheid die de persoon moet hebben om door de looping te rennen zonder te vallen. Laat hiervoor eerst zien dat: $$ v_{min} = \sqrt{gr} $$

Een persoon van 80 kg bevindt zich op de evenaar.

(4p) Laat met een berekening zien dat de middelpuntzoekende kracht die op de persoon werkt door de draaiing van de aarde om zijn as gelijk is aan 2,7 N.

(3p) Hoe groot is de normaalkracht die de grond op de persoon uitoefent in dat geval?

(3p) Hoe snel zou de aarde moeten draaien om de persoon gewichtloos te maken?

In de onderstaande afbeelding zien we een dubbelplanetoïde, bestaand uit twee brokstukken die om elkaar heen draaien. De grote wordt α genoemd en de kleine β.
In de onderstaande tabel staan een aantal gegevens van α:

Massa

2,6 × 10¹² kg

Diameter

1,5 km

Gravitatieversnelling

4,3 × 10^-4 m/s²

Rotatietijd om eigen as

2,5 h

(2p) α draait zo snel dat losliggende stenen op de planetoïde lichter aanvoelen dat je met alleen de zwaartekracht zou verwachten. Leg uit hoe de draaiing van de planetoïde hiervoor zorgt.

(4p) Bereken hoeveel procent een losliggende steen op α lichter aanvoelt dan je met de zwaartekracht alleen zou verwachten.

(4p) Als de planetoïde nog sneller zou bewegen, dan zouden losliggende stenen zweven op het oppervlak van de planetoïde. Bij welke omlooptijd gebeurt dit?
(bron: examen VWO 2014-pilot)

§6 De algemene gravitatiekracht

In deze paragraaf gaan we begrijpen hoe objecten in een baan om een hemellichaam terecht kunnen komen. We zullen ook de benodigde formules opstellen om deze baan te beschrijven.

Voor Newton's ontdekkingen, dachten wetenschappers dat de natuurwetten op aarde anders waren dan de natuurwetten in de ruimte. In de ruimte zien we objecten namelijk vaak in cirkelbanen bewegen, terwijl dit op aarde slechts zelden gebeurt. Newton liet echter zien dat met dezelfde formule zowel het vallen van voorwerpen op aarde als de planeetbanen verklaard konden worden. Newton's redenering was als volgt. Stel dat we een gigantisch kanon op aarde zouden bouwen (zie de onderstaande afbeelding en de animatie op de website)(zie de onderstaande animatie). En stel dat we dan een kogel zo snel af schieten dat de valbeweging van de kanonskogel dezelfde bocht maakt als de kromming van de aarde. In dat geval zou de kogel altijd vallen, maar nooit dichter bij de aarde komen. Toen claimde Newton dat de maan ook op deze manier om de aarde beweegt. De beweging van de maan was dus gewoon met de zwaartekracht te verklaren!

AFBEELDING

Satellieten die wij zelf in een baan om de aarde hebben gebracht, bewegen ook op deze manier. Een goed voorbeeld hiervan is het Internationale Ruimtestation (ISS). Mensen in dit station ervaren gewichtloosheid. Veel mensen denken dat dit komt doordat dit ruimtestation zo ver weg van de aarde staat dat zwaartekracht daar niet meer werkt. Dit is echter onjuist. Het internationale ruimtestation bevindt zich slechts op een hoogte van zo'n 400 km boven het aardoppervlak. Op deze hoogte is de zwaartekracht nog sterk aanwezig. De reden dat personen hier toch gewichtloosheid ervaren, is omdat ze een vrije val maken (zonder dichter bij de aarde te komen). In de eerste paragraaf hebben we geleerd dat een vrije val altijd zorgt voor gewichtloosheid.

Newton begreep ook dat alle voorwerpen in het universum elkaar aantrekken doormiddel van de gravitatiekracht. De gravitatiekracht is een ander woord voor de zwaartekracht, maar meestal gebruiken we het woord "zwaartekracht" (F_z) voor het beschrijven van vallende voorwerpen dicht bij het aardoppervlak (of het oppervlak van een ander hemellichaam) en het woord "gravitatiekracht" (F_g) voor het beschrijven van de beweging van objecten in de ruimte waar je de valversnelling g niet direct voorhanden hebt. In de extra paragraaf op de website zullen we bewijzen dat deze kracht gegeven wordt door:

$$ F_g = \frac{GMm}{r^2}$$

Gravitatiekracht (F_g)

newton (N)

Gravitatieconstante (G)

6,67384 × 10^-11 Nm²kg^-2

Grote massa (M)

kilogram (kg)

Kleine massa (m)

kilogram (kg)

Afstand tussen de massamiddelpunten (r)

meter (m)

Als we deze formule gelijkstellen aan de al bekende formule F_z=mg, dan vinden we:

$$ mg = \frac{GMm}{r^2} $$

Als we de massa m aan beide kanten wegstrepen, dan vinden we dat de valversnelling g te berekenen is met:

$$ g = \frac{GM}{r^2} $$

Valversnelling (g)

meter per seconde per seconde (m/s²)

Grootste massa (M)

kilogram (kg)

Gravitatieconstante (G)

6,67384 × 10^-11 Nm²kg^-2

Afstand tussen de massamiddelpunten (r)

meter (m)

Als we hier voor M de massa van de aarde invullen en voor r de straal van de aarde, dan vinden we de bekende waarde 9,81 m/s² terug.

Als een object een cirkelbaan maakt dankzij de gravitatiekracht, dan geldt:

$$ F_{mpz} = F_g $$ $$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} $$

We kunnen hier aan beide kanten een m en een r wegstrepen en daarna kunnen we de formule herschrijven tot:

$$ v_{baan} = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$

Baansnelheid (v_baan)

meter per seconde (m/s)

Gravitatieconstante (G)

6,67384 × 10^-11 Nm²kg^-2

Grootste massa (M)

kilogram (kg)

Baanstraal (r)

meter (m)

Voorbeeld

Vraag:

In BINAS kan je de massa van de aarde opzoeken. Ga met een berekening na dat de waarde uit BINAS klopt.

Antwoord:

De massa van de aarde komt o.a. voor in de formule uit deze paragraaf met de valversnelling:
$$ g = \frac{GM}{r^2} $$
Als we deze formule omschrijven en dan voor r de straal van de aarde invullen, dan vinden we:
$$ M = \frac{gr^2}{G} $$ $$ M = \frac{9,81 \times (6,371\times 10^6)^2}{6,67384 \times 10^{-11}} = 5,98 \times 10^{24} \text{ kg} $$
Dit komt overeen met de waarde van BINAS. Op deze manier heeft Newton dus een manier gevonden om de massa van de aarde te berekenen!

Vraag:

Het internationale ruimtestation (ISS) maakt een baan om de aarde op een hoogte van 400 km boven het aardoppervlak. Bereken de snelheid van het ruimtestation.

Antwoord:

De afstand r van het centrum van de aarde tot de satelliet is in dit geval:
$$ r = 6,371 \times 10^6 + 400 \times 10^3 = 6,771 \times 10^6 \text{ m} $$
Met de laatste formule uit de theorie kunnen we dan de baansnelheid uitrekenen. Voor M vullen we de massa van de aarde in:
$$ v_{baan} = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$ $$ v_{baan} = \sqrt{\frac{6,67384 \times 10^{-11} \times 5,97 \times 10^{24}}{6,771 \times 10^6}} = 7,67 \times 10^3 \text{ m/s}$$
Met deze snelheid maakt het ruimtestation elke anderhalf uur een rondje om de aarde!

VWO

Als we de bovenstaande formule voor de baansnelheid (v_baan = √(GM/r)) combineren met v_baan=2πr/T, dan vinden we:
$$ \left( \frac{2\pi r}{T} \right)^2 = \frac{GM}{r}$$
Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ \frac{ r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2} $$

Omlooptijd (T)

seconde (s)

Gravitatieconstante (G)

6,67384 × 10^-11 Nm²kg^-2

Grootste massa (M)

kilogram (kg)

Baanstraal (r)

meter (m)

Deze formule wordt de derde wet van Kepler genoemd.

Voorbeeld (VWO)

Vraag:

In BINAS is de massa van de zon te vinden. Laat met een berekening zien dat deze massa correct is.

Antwoord:

We kunnen de massa bepalen door de baan van de aarde om de zon te bestuderen. We weten de afstand van de aarde tot de zon (r = 149,6 × 10⁹ m) en de omlooptijd van de aarde (T = 365,256 dagen). Als we de wet van Kepler omschrijven, dan kunnen we hiermee de massa van de zon uitrekenen:
$$ M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$$ $$ M = \frac{4\pi^2 \times (149,6 \times 10^9)^3}{6,67384 \times 10^{-11} \times (365,256 \times 24 \times 60 \times 60)^2} = 1,99 \times 10^{30} \text{ kg}$$ Dit is ook de massa die we in BINAS vinden.

INSTRUCTIE:
Gravitatiekracht

Leerdoelen:

Zorg dat je kan rekenen met de gravitatiekracht, gegeven door "F_g = GMm/r²". "r" is hier de afstand tussen de massamiddelpunten van de twee massa's.

Zorg dat je de formule g = GM/r² kan afleiden (door de gravitatiekracht gelijk te stellen aan de zwaartekracht) en dat je hiermee kan rekenen.

Zorg dat je de formule v_baan = √(GM/r) kan afleiden (door de gravitatiekracht gelijk te stellen aan de middelpuntzoekende kracht) en dat je hiermee kan rekenen.

(VWO) Zorg dat je de wet van Kepler, gegeven door "r³/T² = GM/(4π²)", kan afleiden en dat je hiermee kan rekenen. Zorg dat je weet dat de inverse van "tot de macht 3" gelijk is aan "tot de macht (1/3)" (of de derdemachtswortel).

Opdrachten

(2p) Laat met behulp van de formule van de gravitatiekracht zien dat de eenheid van G geschreven kan worden als Nm²kg^-2 en als m³kg^-1s^-2.

(2p) De wetenschapper Cavendish bepaalde in 1798 de constante G door de kracht te meten tussen een loden bol met een massa van 0,75 kg een andere loden bol met een massa van 158 kg. De bollen werden op een afstand van 230 mm van elkaar opgehangen (van middelpunt tot middelpunt). De kracht die Cavendish mat was gelijk aan 1,5 × 10^-7 N. Bereken hiermee de constante G.

(3p) Bereken de gravitatiekracht werkende op een persoon van 80 kg in het internationaal ruimtestation (400 km boven het aardoppervlak).

(VWO, 4p) Leid de derde wet van Kepler af.

Hieronder zien we de baan van de satelliet WMAP. De satelliet heeft een massa van 840 kg en bevindt zich in een zogenaamd Langragepunt op 1,50 miljoen kilometer afstand van de aarde. Voorwerpen in een Lagrangepunt hebben de eigenschap dat ze dezelfde omlooptijd hebben als de aarde. In deze opdracht gaan we begrijpen hoe dit mogelijk is.

(4p) Bereken met behulp van de afstand tussen de zon en de aarde dat de omlooptijd van de aarde ongeveer gelijk is aan 365 dagen.

(9p) Als we dezelfde berekening zouden doen voor WMAP, dan vinden we een omlooptijd van ongeveer 371 dagen. We hebben echter eerder gelezen dat de omlooptijd van WMAP gelijk is aan die van de aarde. Dit komt omdat we bij WMAP ook de gravitatiekracht van de aarde mee moeten rekenen. Laat zien dat we in dat geval toch weer op ongeveer 365 dagen uitkomen. Reken hiervoor eerst de totale gravitatiekracht uit die de zon en de aarde op WMAP uitoefenen.
(bron: examen VWO 2015-pilot)

In deze opdracht bestuderen we twee manieren waarop de massa van de maan gemeten is.

(3p) In 1966 lukte het de Russen voor het eerst om het ruimtevaartuig Luna 10 in een baan om de maan te krijgen. Luna 10 bevond zich 682 km boven het maanoppervlak en de omlooptijd was 178 minuten. Gebruik deze data om de massa van de maan uit te rekenen. Kijk daarna in BINAS of je de juist waarde gevonden hebt.

(2p) In 1969 lukte het de Amerikanen om op de maan te landen. Ze vonden dat op het oppervlak van de maan de valversnelling gelijk is aan 1,62 m/s². Gebruik ook deze waarde om de massa van de maan te vinden.

(VWO, 3p) Bereken op welke hoogte boven het aardoppervlak geostationaire satellieten geplaatst moeten worden.

(3p) In de koude oorlog wilden de Amerikanen zo veel mogelijk te weten komen over de satellieten van de Russen. De snelheid van de satellieten en de hoogte van de satellieten boven het aardoppervlak kon men snel achterhalen. Het vinden van de massa van de satellieten bleek echter niet mogelijk. Laat aan de hand van een berekening zien dat de massa geen invloed heeft op de beweging van de satelliet en dus ook niet te meten is.

(VWO) De ringen van Saturnus bestaan uit vele kleine ijs- en rotsblokken die in een baan om Saturnus bewegen.

(2p) Laat met een formule zien dat de deeltjes in de ring dicht bij Saturnus de deeltjes verder weg telkens inhalen.

(3p) Normaalgesproken zouden de ijs- en rotsblokjes door de zwaartekracht samentrekken en een maan vormen, maar dit wordt door de sterke gravitatiekracht van Saturnus onmogelijk gemaakt. Hieronder zien we een rotsblok in de ring. Omdat het rotsblok in een cirkel om Saturnus draait, weten we dat de gravitatiekracht die in het massamiddelpunt van het rotsblok werkt gelijk is aan de middelpuntzoekende kracht.

Op positie L en N in de afbeelding is de gravitatiekracht echter niet gelijk aan de middelpuntzoekende kracht. Leg hiermee uit dat Saturnus de steen uit elkaar zal trekken. Ga ervan uit dat de middelpuntzoekende kracht op alle punten van het rotsblok gelijk is.

(3p) In verticale richting wordt de steen juist in elkaar gedrukt. Laat met behulp van een tekening van krachten zien waarom dit gebeurt.
(bron: examen VWO 2012-pilot)

(VWO) De valversnelling is niet overal op aarde precies gelijk. Dit komt o.a. door de aanwezigheid van bergen. Om deze variaties te meten zijn twee satellieten, GRACE A en GRACE B, gelanceerd. De twee satellieten draaien achter elkaar aan om de aarde op een hoogte van 485 km met een onderlinge afstand van normaal gesproken 220 km. Kleine afwijkingen in de zwaartekracht beïnvloeden de onderlinge afstand tussen de satellieten.

(3p) Hieronder zien we GRACE A en B over een gebergte bewegen. Leg uit dat de berg ervoor zorgt dat de afstand tussen A en B eerst iets groter wordt en daarna weer de oorspronkelijke waarde aanneemt.

(6p) Op een gegeven moment bewegen de twee GRACE satellieten over de Himalaya. De Himalaya wordt in de afbeelding aangegeven als een massa M_H. In de getekende positie ondervinden beide satellieten elk een (zeer kleine) extra versnelling a_H door de gravitatiekracht van M_H.
Voor de grootte van de onderlinge (relatieve) versnelling in de x-richting tussen de twee satellieten geldt: $$a_{rel,x} = GM_1\frac{d}{r^3}$$ Toon dit aan.

(4p) In de onderstaande afbeelding is de onderlinge versnelling uitgezet tegen de tijd voor de beweging over de Himalaya: Bepaal met dit figuur de massa van de Himalaya.

(bron: examen VWO 2013-pilot)

Extra

In dit extra stukje stof leiden we de formule voor de middelpuntzoekende kracht af en daarna de formule voor de gravitatiekracht.

Als op een voorwerp alleen een middelpuntzoekende kracht werkt, dan geldt volgens de tweede wet van Newton:
$$ F_{mpz} = F_{res} = ma $$
De middelpuntzoekende kracht zorgt dus voor een versnelling. Maar hadden we niet aangenomen dat de baansnelheid constant is? Hoe kan er hier dan een versnelling zijn? Dit kunnen we goed zien in de onderstaande afbeelding. Als deeltje P in zijn cirkelbaan beweegt, verandert de grootte van de snelheid niet, maar wel de richting. Voor het veranderen van de richting is een versnelling nodig. Deze versnelling wijst naar het middelpunt van de cirkelbeweging en houdt op deze manier het deeltje in zijn baan.

In de onderstaande afbeelding is het draaien van de snelheid weergegeven gezien vanaf het punt P. Zoals gebruikelijk noemen we het verschil tussen de begin- en de eindsnelheid Δv.

In de vorige twee afbeeldingen zien we twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde hoek θ. Deze twee driehoeken hebben dus dezelfde verhoudingen. Er geldt dus:
$$ \frac{\Delta x}{r} = \frac{\Delta v}{v} $$
Dit kunnen we omschrijven tot:
$$ \Delta v = \frac{v \Delta x}{r} $$
Als we beide zijden door Δt delen, dan vinden we met behulp van de formule v=Δx/Δt :
$$ \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}$$
Omdat a=Δv/Δt kunnen we dit herschrijven tot:
$$ a_{mpz} = \frac{v_{baan}^2}{r}$$
We hebben nu gevonden hoe groot de middelpuntzoekende versnelling moet zijn om een deeltje in zijn baan te houden. Deze formule is voor het eerst afgeleid door de nederlandse natuurkundige Christiaan Huygens.

Door beide kanten van de formule met de massa te vermenigvuldigen kunnen we gemakkelijk de formule voor de middelpuntzoekende kracht afleiden:
$$ F_{mpz} = \frac{mv^2}{r} $$
Met deze formule voor de middelpuntzoekende versnelling kunnen we bijvoorbeeld de versnelling van de maan uitrekenen. De maan heeft een omlooptijd van 27,32 dagen (2,36 × 10⁶ s) en de afstand van het centrum van de aarde tot het centrum van de maan is 3,85 × 10⁸ m. De baansnelheid is dus gelijk aan:
$$ v_{baan} = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 3,85\times 10^8}{2,36\times 10^6} = 1,03 \times 10^3 \text{ m/s} $$
Met de baansnelheid kunnen we de versnelling uitrekenen:
$$ a_{mpz} = \frac{v_{baan}^2}{r} = \frac{(1,03 \times 10^3)^2}{3,85\times 10^8} = 0,00273 \text{ m/s}^2 $$
Dit is de valversnelling die de maan ondergaat! Vanwege de grote afstand van de aarde is dit een stuk kleiner dan de 9,81 m/s² die we op aarde gewend zijn (zie de onderstaande afbeelding)! De valversnelling is over deze afstand een factor 9,81/0,00273 ≈ 3600 afgenomen.

Newton deed voor het eerst onderzoek naar de versnelling van de maan. Hij wist dat de afstand van de aarde tot de maan 60x zo groot was als de straal van de aarde. Over deze afstand was de valversnelling 60² = 3600x afgenomen. We hebben hier dus te maken met een omgekeerd kwadratisch verband. Er geldt dus:
$$ g = \frac{\text{constant}}{r^2} $$
Door beide kanten met de massa te vermenigvuldigen vinden we de formule voor de gravitatiekracht:
$$ F_g = \frac{\text{constant} \times m}{r^2} $$
Volgens de derde wet van Newton weten we dat als de aarde aan de maan trekt, dat dan de maan ook aan de aarde moet trekken met een even grote kracht (zie de onderstaande afbeelding). In dat geval is de kracht echter afhankelijk van de massa van de aarde (M):
$$ F_g = \frac{\text{constant} \times M}{r^2} $$

Als we deze formules combineren, dan vinden we:
$$ F_g = \frac{\text{constant} \times Mm}{r^2} $$
De constante wordt nu G genoemd en dit geeft ons de bekende formule voor de gravitatiekracht:
$$ F_g = \frac{\text{GMm}}{r^2} $$

BINAS:
5	Astronomische eenheid en lichtjaar
7	Gravitatieconstante
31	Gegevens over planeten en manen
32B	Gegevens over sterren
32C	Gegevens over de zon