Hoofdstuk 3
Kracht

§1 Soorten kracht
§2 Het krachtenevenwicht
§3 De eerste wet van Newton
§4 Ontbinden van krachten
§5 De tweede wet van Newton
§6 De derde wet van Newton

§1 Soorten kracht

In dit hoofdstuk gaan we leren over krachten. Dit is een van de belangrijkste onderwerpen in de natuurkunde. We beginnen deze paragraaf met het introduceren van een aantal soorten kracht. Ook introduceren we de formules voor de veerkracht en de zwaartekracht en voor het VWO ook nog de schuifwrijvingskracht en de luchtwrijvingskracht.

We spreken van een kracht (F) als er aan een voorwerp geduwd of getrokken wordt. De SI-eenheid van kracht is de newton (N). In de natuurkunde geven we krachten symbolisch weer met behulp van zogenaamde vectorpijlen. De lengte van deze pijl geeft de grootte van de kracht aan. We kunnen de lengte van de pijl relateren aan het aantal newton door gebruik te maken van een krachtenschaal. Een voorbeeld van een schaal is:

$$ 1,0 \text{ cm} \;\; \widehat{=} \;\; 10 \text{ N} $$

Dit wil zeggen dat elke centimeter van de vectorpijl in de afbeelding overeenkomt met 10 N. Een pijl van 6,0 cm is bij deze schaal dus gelijk aan 60 N.

Bij veel opdrachten in dit hoofdstuk mag je zelf een schaal kiezen. Zorg in dat geval dat de pijlen niet te klein worden. Hoe groter de pijlen, hoe nauwkeuriger je antwoord zal zijn.

Voorbeeld

Vraag:

In de onderstaande afbeelding zijn twee krachten weergegeven. De rechter kracht heeft een grootte van 45 N. Bepaal de grootte van de linker kracht.

Antwoord:

Als we de rechter kracht opmeten (in het boek), dan vinden we een lengte van 4,8 cm (meet van het midden van het bolletje tot het puntje van de rechter pijl). Er geldt dus:
$$ 4,8 \text{ cm} \;\; \widehat{=} \;\; 45 \text{ N} $$
Als we beide kanten door 4,8 delen, dan vinden we de krachtenschaal die hier gebruikt is:
$$ 1,0 \text{ cm} \;\; \widehat{=} \;\; 9,375 \text{ N} $$
De linker pijl heeft een lengte van 2,1 cm. Volgens de krachtenschaal komt dit overeen met 2,1 × 9,375 = 20 N.

Er bestaan verschillende soorten krachten. Vanzelfsprekende krachten zijn bijvoorbeeld de spierkracht (F_spier) en de motorkracht (F_motor). Hieronder is de spankracht (F_span) afgebeeld. Dit is de kracht waarmee een koord of kabel aan een voorwerp trekt. In het onderstaande voorbeeld zorgen spankrachten in kabels ervoor dat een brug omhooggehouden wordt.

Hieronder is de zwaartekracht (F_z) afgebeeld. De zwaartekracht zorgt ervoor dat voorwerpen richting het centrum van de aarde worden getrokken. Omdat het centrum van de aarde zich recht onder ons bevindt, werkt de zwaartekracht dus altijd recht naar beneden.

De grootte van de zwaartekracht kan berekend worden met de volgende formule:

$$ F_{z} = m \times g $$

Zwaartekracht (F_z)

newton (N)

Massa (m)

kilogram (kg)

Valversnelling (g)

meter per seconde per seconde (m/s²)

De massa moet in deze formule altijd gegeven worden in kilogram. De valversnelling (g) is de versnelling die een voorwerp in vrije val ondervindt. Op aarde is de valversnelling altijd gelijk aan:

$$ g_{aarde} = 9,81 \text{m/s}^2 $$

Op de maan voelt een voorwerp met dezelfde massa "lichter aan". Dit komt doordat de valversnelling op de maan veel kleiner is. De waarde van de valversnelling op verschillende hemellichamen is te vinden in BINAS.

DEMO:
Springen op de maan

Hieronder is de veerkracht (F_veer) weergegeven. Als je een veer uitrekt of induwt, dan voel je dat de veer weer terug wil naar zijn neutrale vorm. We noemen dit ook wel de evenwichtsstand van de veer. Als we de veer uitrekken, dan wil de veer terug naar binnen. Als we de veer indrukken, dan wil de veer terug naar buiten.

De grootte van de veerkracht kan berekend worden met de volgende formule:

$$ F_{veer} = C \times u $$

Veerkracht (F_veer)

newton (N)

Uitwijking (u)

meter (m)

Veerconstante (C)

newton per meter (N/m)

In de onderstaande afbeelding zien we links een veer in zijn evenwichtsstand en rechts een veer die is uitgerekt doordat er een blokje aan hangt. De uitwijking (u) is de afstand die de veer uit zijn evenwichtsstand getrokken is. Het geeft dus aan hoeveel de veer langer of korter is geworden (zie de onderstaande afbeelding).

De veerconstante (C) is een maat voor de "stugheid" van een veer. Hoe hoger de veerconstante, hoe meer kracht het kost om de veer uit te rekken. Het is in de bovenstaande formule ook mogelijk om niet de eenheden meter en newton per meter te gebruiken, maar bijvoorbeeld centimeter en newton per centimeter.

Als een blokje stil hangt aan een veer, dan weten we dat de veerkracht die omhoog werkt gelijk moet zijn aan de zwaartekracht die omlaag werkt.

De normaalkracht (F_N) is de kracht die ervoor zorgt dat een voorwerp niet door een ondergrond heen zakt. Hieronder zien we bijvoorbeeld twee blokken die niet door de grond zakken en een persoon die niet door een boom heen kan duwen. Zoals je kunt zien wijst de normaalkracht in alle gevallen loodrecht op de ondergrond.

De normaalkracht ontstaat wanneer de atomen in de ondergrond dichter op elkaar worden geduwd. Als atomen te dicht op elkaar zitten, dan stoten ze elkaar af. Deze afstotende kracht is de normaalkracht.

De laatste kracht die we zullen bespreken is de wrijvingskracht (F_w). Er bestaan verschillende soorten wrijvingskracht. In de onderstaande afbeelding wordt de schuifwrijvingskracht (F_w,schuif) afgebeeld. Deze kracht ontstaat als we een voorwerp over een ondergrond schuiven. De atomen aan de grond trekken aan de atomen in het voorwerp en dit zorgt voor een afremmende kracht. De schuifwrijvingskracht wijst altijd tegen de bewegingsrichting van het voorwerp in.

AFBEELDING BOEK!!!

VWO

De grootte van de schuifwrijvingskracht kunnen we beschrijven met een formule. Als we op een blok een kleine kracht uitoefenen, dan kan het zijn dat deze kracht niet groot genoeg is om het blok in beweging te krijgen. In dat geval wordt de duwkracht volledig opgeheven door de wrijvingskracht. Er geldt dan dus: $$ F_{w,schuif} = F_{duw} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{(stilstand)} $$ Als we het blok wel in beweging krijgen, dan wordt de schuifwrijvingskracht gegeven door:

$$ F_{w,schuif} = fF_N \;\;\;\;\;\; \text{(beweging)} $$

Schuifwrijvingskracht (F_w,s)

newton (N)

Wrijvingscoëfficiënt (f)

-

Normaalkracht (F_N)

newton (N)

De wrijvingscoëfficiënt (f) is een constante die afhangt van het materiaal en de vorm van het voorwerp en de ondergrond. Merk op dat de schuifwrijvingskracht niet afhankelijk is van de snelheid! De bovenstaande formule geldt ook voor de rolwrijvingskracht (Fw,rol).

Naast de schuifwrijvingskracht bestaat ook nog de rolwrijvingskracht (F_w,rol) en de luchtwrijvingskracht (F_w,lucht). Ook deze krachen werken altijd tegen de bewegingsrichting in.

INSTRUCTIE:
Soorten kracht

INSTRUCTIE:
Veerkracht en zwaartekracht

VWO

De grootte van de luchtwrijvingskracht kunnen we als volgt berekenen:

$$ F_{w,lucht} = \frac{1}{2}c_w\rho Av^2 $$

Luchtwrijvingskracht (F_w,lucht)

newton (N)

Luchtweerstandcoëfficiënt (c_w)

-

Dichtheid van de lucht(ρ)

kilogram per kubieke meter (kg/m³)

Frontaal oppervlak (A)

vierkante meter (m²)

Snelheid (v)

meter per seconde (m/s)

De luchtweerstandcoëfficiënt (c_w) is een constante die afhangt van de vorm van het voorwerp. Zoals je in de formule kan zien is de luchtwrijvingskracht wél afhankelijk van de snelheid. Het frontale oppervlak (A) is de doorsnede van het voorwerp dat je ziet als je het voorwerp langs de bewegingsrichting bekijkt. Dit is gelijk aan het oppervlak van de wind dat bij de beweging onderschept wordt. Stel dat de onderstaande cilinder door de lucht beweegt. Als dit voorwerp omhoog beweegt, dan is het frontaal oppervlak gelijk aan het oppervlak van het bovenaanzicht. Dit is in dit geval een cirkel. Als het voorwerp naar rechts beweegt, dan is het frontaal oppervlak gelijk aan de doorsnede van het zijaanzicht. In dit geval is dat een rechthoek.

Let erop dat er in sommige gevallen geen kracht in de bewegingsrichting werkt. Neem bijvoorbeeld de onderstaande steen die omhoog gegooid wordt. Deze steen beweegt omhoog, terwijl de krachten op het voorwerp (de zwaartekracht en de wrijvingskracht) juist naar beneden werken. De reden dat de steen toch omhoog beweegt is dat de persoon op een eerder moment een spierkracht omhoog heeft uitgeoefend, maar op het moment dat de steen loskomt van de hand werkt deze spierkracht niet meer.

Leerdoelen:

Zorg dat je de motorkracht, de spierkracht, de spankracht, de zwaartekracht, de veerkracht, de normaalkracht en de rol-, schuif en luchtwrijvingskracht in de juiste richting kan tekenen.

Zorg dat je de normaalkracht altijd loodrecht op het oppervlak tekent en dat de zwaartekracht altijd loodrecht naar beneden wijst (naar het centrum van de aarde).

Zorg dat je weet dat er niet altijd een kracht in de bewegingsrichting werkt.

Zorg dat je kan rekenen met de formule "F_veer = Cu". Zorg dat je weet dat de veerconstante (C) staat voor de stugheid van de veer in bijvoorbeeld N/m en dat de uitwijking (u) staat voor de afstand die de veer langer of korter is geworden ten opzichte van de evenwichtsstand.

Zorg dat je kan rekenen met de formule "F_z = mg". Zorg dat je weet dat de valversnelling (g) op aarde gelijk is aan 9,81 m/s² en dat de massa (m) in deze formule altijd in kilogram gegeven moet worden.

Zorg dat je weet dat de veerkracht en de zwaartekracht gelijk zijn als een blokje stil hangt aan een veer

(VWO) Zorg dat je kan rekenen met de formule voor de schuifwrijvingskracht "F_w,schuif = fF_N", waarbij "f" de schuifwrijvingscoëfficiënt is. Merk aan de formule op dat de schuifwrijvingskracht niet afhankelijk is van de snelheid. Dit geldt ook voor de rolwrijvingskracht.

(VWO) Zorg dat je kan rekenen met de formule voor de luchtwrijvingskracht "F_w,lucht = 1/2c_wρAv²", waarbij "ρ" de dichtheid van de lucht is, "c_w" de luchtwrijvingscoëfficiënt en "A" het frontale oppervlak. Het frontale oppervlak is gelijk aan het silhouet van het voorwerp in de bewegingsrichting.

Opdrachten

Ga naar deze opdracht op de website of maak het stencil aan het eind van de paragraaf.

Teken hieronder de krachten die werken op het getekende blok. Haal minimaal 25 punten.

(4p) Een persoon gooit een steen de lucht in. De persoon is hieronder op drie momenten weergegeven. In de linker afbeelding beweegt de steen omhoog, in de middelste afbeelding blijft de steen een moment stilstaan op zijn hoogste punt en in de rechter afbeelding valt de steen naar beneden. Teken in alle drie de situaties de krachten die werken op de steen.

(4p) Een blokje heeft een massa van 80 gram en wordt aan een veer gehangen. De veer rekt 10 cm uit. Bereken de veerconstante in N/cm.

(4p) Een veer in het zadel van een fiets heeft als er niemand op zit een lengte van 5,0 cm. Als een persoon met een massa van 55 kg op het zadel gaat zitten wordt de lengte van de veer verkleint tot 4,2 cm. Bereken de veerconstante van deze veer.

(2p) Als je op de planeet Venus staat, ondervind je een gigantische kracht die je in elkaar drukt. Leg met een berekening uit of deze kracht veroorzaakt wordt door de zwaartekracht of door de luchtdruk.

(3p) Een blok met een massa van 1,2 kg wordt aan een veer met een veerconstante van 350 N/m gehangen. Voordat het blokje aan de veer hing, had de veer een lengte van 10 cm. Bereken de totale lengte van de veer als het blokje aan de veer hangt.

(6p) In het onderstaande diagram is de totale lengte van twee veren uitgezet tegen de spierkracht waarmee de veren zijn uitgerekt. Bereken voor beide veren de veerconstante.

(4p, VWO) Toon aan dat zowel de luchtwrijvingscoëfficiënt als de schuifwrijvingscoëfficiënt geen eenheid hebben.

(3p, VWO) Een vogel heeft een frontaal oppervlak van 45 cm² en vliegt met een snelheid van 12 m/s door de lucht. De luchtwrijvingscoëfficiënt van de vogel is 0,8. Bereken de luchtwrijvingskracht die de vogel ondervindt.

(VWO) Een auto rijdt over een weg en ervaart zowel een rolwrijvingskracht als een luchtwrijvingskracht. Dan verdubbelt de auto zijn snelheid.

(1p) Wat gebeurt er met de luchtwrijvingskracht?

(1p) Wat gebeurt er met de rolwrijvingskracht?

(VWO) Een voorwerp wordt vooruit getrokken met verschillende snelheden. Bij elk van deze snelheden is de totale wrijvingskracht werkende op het voorwerp gemeten. De totale wrijvingskracht bestaat uit zowel rolwrijving als luchtwrijving. De gegevens zijn in het onderstaande diagram verwerkt:

(2p) De punten liggen allemaal ongeveer op een rechte lijn. Bedenk op basis van deze observatie welke grootheid en welke eenheid op de horizontale as moet komen te staan.

(1p) Leg uit waarom deze lijn niet de oorsprong snijdt.

(2p) Teken in het diagram een grafiek voor alleen de luchtwrijvingskracht en alleen de rolwrijvingskracht.

(4p) De voorzijde van het voorwerp heeft afmetingen van 0,60 en 0,89 m. Bepaal met behulp van de grafiek de luchtwrijvingscoëfficiënt (c_w).

(VWO) Een leerling slaat met een knuppel tegen een honkbal met een diameter van 6,63 cm. De honkbal bereikt hierdoor een snelheid van 150 km/h. De c_w-waarde van deze honkbal is 0,15.

(2p) Leg uit wat het frontaal oppervlak van de honkbal is. Reken dit oppervlak ook uit.

(2p) Bereken de luchtwrijvingskracht werkende op de honkbal.

§2 Het krachtenevenwicht

In deze paragraaf gaan we krachten bij elkaar optellen. We noemen de totale kracht die op een voorwerp werkt de resulterende kracht. We gaan hier o.a. de parallellogrammethode en de stelling van Pythagoras voor gebruiken. Ook gaan we de parallellogrammethode toepassen om krachtenevenwichten te tekenen.

De totale kracht die op een voorwerp werkt noemen we de resulterende kracht (F_res). Hieronder zien we twee personen die beide een kracht uit oefenen op een kar. De linker persoon oefent een kracht van 100 N uit en de rechter persoon een kracht van 125 N. In totaal oefenen ze dus een resulterende kracht naar rechts uit van 100 + 125 = 225 N.

Hieronder werken twee krachten juist tegen elkaar in. We vinden nu een resulterende kracht van 40 - 40 = 0 N.

In de onderstaande afbeelding oefent één persoon een kracht van 100 N uit naar links en de andere persoon een kracht van 40 N naar rechts. De linker leerling oefent dus een 100 - 40 = 60 N grotere kracht uit dan de rechter leerling. De resulterende kracht is dus 60 N en wijst naar links.

Voorbeeld

Vraag:

Een persoon trekt een zware kar naar rechts. Op de kar werkt een wrijvingskracht van 120 N. De resulterende kracht werkende op de kar is 30 N en wijst ook naar rechts. Teken de spierkracht, de wrijvingskracht en de resulterende kracht op schaal.

Antwoord:

Een resulterende kracht van 30 N naar rechts vertelt ons dat de spierkracht 30 N groter moet zijn dan de wrijvingskracht. De spierkracht is dus gelijk aan 120 + 30 = 150 N.

Nu moeten we een krachtenschaal kiezen. Hoe groter de pijlen zijn, hoe nauwkeurig de krachten getekend kunnen worden. Een goede keuze is bijvoorbeeld 1,0 cm ≙ 20 N. Op deze schaal zijn de krachten niet te klein, maar passen ze nog wel net in je schrift. Op deze schaal wordt de spierkracht 150 / 20 = 7,5 cm, de wrijvingskracht 120 / 20 = 6,0 cm en resulterende kracht 30 / 20 = 1,5 cm. Hieronder zijn deze krachten getekend:

De algemene formule voor de resulterende kracht is:

$$\vec{F}_{res} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + ...$$

We kunnen dit afkorten tot:

$$\vec{F}_{res} = \sum{\vec{F}}$$

Resulterende kracht (Fres)

newton (N)

Som van alle krachten (ΣF)

newton (N)

Het sommatieteken Σ staat voor “de som van”. Er staat hier dus dat de resulterende kracht gelijk is aan de som van de individuele krachten. De pijltjes boven de krachten geven aan dat we bij deze optelling wel rekening moeten houden met de richting van de krachten. Zoals we net gezien hebben, moeten we twee krachten die tegen elkaar in werken juist van elkaar aftrekken. Maar wat nu als de krachten onder een willekeurige hoek werken. De twee honden in de volgende afbeelding kunnen bijvoorbeeld elk een spankracht uitoefenen op de hand van hun baasje in een willekeurige richting.

Maar wat nu als de krachten onder een willekeurige hoek werken. De twee honden in de volgende afbeelding kunnen bijvoorbeeld elk een spankracht uitoefenen op de hand van hun baasje in een willekeurige richting.

In dit geval gebruiken we voor het "optellen van de krachten" de parallellogrammethode. Een parallellogram is een vierhoek, waarbij de tegenoverstaande zijden parallel aan elkaar lopen en even lang zijn. In de onderstaande afbeelding is te zien hoe met het parallellogram de resulterende kracht te bepalen is.

In de onderstaande afbeelding zien we dat kracht F₁ gelijk is aan 40 N en kracht F₂ aan 20 N. Als we de schaal bepalen en hiermee de resulterende kracht bepalen, dan vinden we 53 N (ga dit zelf na!). Merk op dat 20 + 40 ≠ 53. Het "optellen van krachten" met een parallellogram werkt dus niet zoals je normaal gesproken optelt!

In de onderstaande afbeelding is het parallellogram een simpele rechthoek bestaande uit twee rechthoekige driehoeken. In dit geval kunnen we daarom gebruik maken van de stelling van Pythagoras om de resulterende kracht te berekenen:

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$ $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$ $$ c = \sqrt{20^2 + 40^2} = 45 \text{ N} $$

Bij een rechthoekig parallellogram kunnen we ook de sinus, de cosinus en de tangens gebruiken.

We gebruiken een parallellogram o.a. bij het construeren van krachtenevenwichten. Hieronder zien we een simpel voorbeeld van een krachtenevenwicht. Omdat het blok stil ligt op de grond, weten we dat de resulterende kracht nul moet zijn. De zwaartekracht en de normaalkracht die op het blok werken moeten dus even groot zijn. De krachten houden elkaar precies in evenwicht.

Hetzelfde geldt ook voor de onderstaande afbeelding. Een blok hangt hier met behulp van twee touwen aan een plafond. Omdat het blok stil hangt, weten we dat de zwaartekracht in evenwicht moet zijn met een andere kracht die in tegengestelde richting werkt. Dit is in de rechter afbeelding weergegeven.

Deze kracht omhoog wordt geleverd door de twee spankrachten tezamen. Met behulp van de parallellogrammethode kunnen we bepalen hoe groot deze spankrachten zijn (zie de onderstaande afbeeldingen).

Demonstratievideo

In het rechter filmpje is de bovenstaande opstelling nagemaakt. Met een parallellogram bepalen we de spankrachten in het touw. Daarna gaan we met een newtonmeter controleren of met deze methode inderdaad de juiste waarde gevonden hebben.

DEMO-VIDEO:
Krachtenevenwicht spankrachten

Demonstratievideo

In het rechter filmpje is te zien hoe het bovenstaande krachtenevenwicht gebruikt kan worden om bijvoorbeeld een zwaar blokje op te tillen met een licht blokje:

DEMO-VIDEO:
Krachtenevenwicht spankrachten

INSTRUCTIE:
Vectorpijlen

INSTRUCTIE:
Resulterende kracht

INSTRUCTIE:
Krachtenevenwicht

Leerdoelen:

Zorg dat je met een krachtenschaal de grootte van een kracht kan uitrekenen en andersom.

Zorg dat je de resulterende kracht kan berekenen als twee krachten in dezelfde of tegengestelde richting wijzen. Zorg ook dat je juist één van de individuele krachten kan berekenen met behulp van de resulterende kracht.

Zorg dat je de resulterende kracht of de individuele krachten kan bepalen als twee krachten onder willekeurige hoek werken met de parallellogrammethode.

Zorg dat je de resulterende kracht of de individuele krachten kan berekenen met Pythagoras als de krachten loodrecht op elkaar staan.

Zorg dat je krachtenevenwichten met drie krachten kan construeren met de parallellogrammethode. Denk hier o.a. aan een blok dat aan twee touwen aan een plafond hangt. Zorg in dat geval dat de twee spankrachten samen een kracht leveren die in evenwicht is met de zwaartekracht.

Opdrachten

(2p) Een persoon trekt een kar naar rechts. De wrijvingskracht op de kar is 40 N. De resulterende kracht is 20 N naar rechts. Bereken de spierkracht van de persoon.

(3p) Twee leerlingen zijn aan het touwtrekken. De linker persoon oefent een kracht van 65 N uit. De resulterende kracht is gelijk aan 35 N en wijst naar rechts. Teken de twee spierkrachten en de resulterende kracht op schaal.

(6p) In de onderstaande afbeelding werken er telkens twee krachten op een voorwerp. Teken telkens de resulterende kracht. Meet van het midden van het bolletje tot de punt van de pijl.

(4p) Bepaal in de volgende afbeelding de grootte van de linker kracht en van de resulterende kracht. Zorg dat je op de millimeter nauwkeurig meet.

(2p) Een kracht van 50 N staat loodrecht op een kracht van 20 N. Bereken de resulterende kracht (Let op! Als wordt gevraagd naar een berekening, dan mag je geen pijlen opmeten om op je antwoord te komen).

(2p, VWO) Bereken (!) kracht F₁ en kracht F_y in de volgende afbeelding.

(VWO) Bestudeer de onderstaande afbeelding:

(2p) Bereken de resulterende kracht.

(2p) Bereken de hoek α.

Maak de eerste bladzijde van het Stencil krachtenevenwichten.
Maak het stencil aan het einde van de paragraaf.

(5p) In de volgende afbeeldingen zien we een blokje dat aan twee touwtjes is opgehangen. Deze touwtjes zijn via newtonmeters aan het plafond verbonden. Met deze meters kan de spankracht in het touw gemeten worden. Bepaal in beide gevallen de massa van het blokje.

(5p) Een blokje heeft een massa van 200 gram. Bepaal de grootte van de spankrachten in de touwen.

(5p) In het rechter touw is de spankracht 25 N. Bepaal de massa van het blokje.

(VWO,2p) Een leerling trekt een andere leerling naar achteren op een schommel en houdt de leerling dan stil in deze positie. Ga na in welk van de twee onderstaande gevallen de spierkracht groter is.

(VWO,2p) Een lamp hangt op aan twee kabels. Stel dat de hoek A in de afbeelding groter wordt. Wat gebeurt er in dat geval met de grootte van de spankrachten in de kabels. Leg je antwoord uit met behulp van een tekening.

(VWO) Een persoon wil de spankracht meten in een gitaarsnaar. Om hierachter te komen, bevestigt hij een krachtmeter aan het midden van een snaar. Als hij de snaar 1,0 cm omhoogtrekt, geeft de krachtmeter 3,8 N aan. De snaar heeft een lengte van 35,0 cm.

(4p) Bereken (!) de spankracht in de gitaarsnaar in deze situatie.

(2p) Door aan de gitaarsnaar te trekken heeft de persoon de spankracht in de snaar beïnvloed. De leerling heeft echter een manier gevonden om zijn eigen invloed uit te sluiten. Hij rekt de snaar steeds verder op en bepaalt iedere keer de spankracht. De resultaten zijn zichtbaar in het onderstaande diagram, waarin de hoek van de snaar met de horizontaal uitgezet is tegen de spankracht.
Bepaal met behulp van de grafiek de spankracht in de snaar als de persoon de snaar niet aanraakt.
(bron: examen VWO 2015-2)

(VWO) Een kruisspin maakt zijn web in een aantal vaste stappen. Eerst laat de spin een draad met de wind meewaaien (draad 1). Dan spant de spin langs het eerste draad een tweede draad (draad 2). Precies in het midden van de tweede draad start de spin een derde draad waarmee hij afzakt naar de grond. Vooral in de eerste stappen moeten de draden sterk genoeg zijn om de spin met een massa van 75 mg te dragen. In de tweede afbeelding hangt de spin in het midden van draad 2. De hoek α die hierdoor ontstaat in draad 2 is gelijk aan 110 graden.

(4p) Bereken de spankrachten die werken in draad 2 in de tweede afbeelding.

(2p) Draad 2 knapt al bij een spankracht van 94 × 10^-4 N. Bereken hoe groot de hoek α maximaal kan zijn zonder dat de draad knapt.

§3 De eerste wet van Newton

In deze paragraaf gaan we leren dat krachtenevenwichten ook optreden bij voorwerpen die met een constante snelheid bewegen. We noemen dit principe de eerste wet van Newton.

De resulterende kracht op een voorwerp is niet alleen nul als een voorwerp een tijdje stil staat, maar ook als een voorwerp in een rechte lijn en met een constante snelheid beweegt (ook wel een eenparige beweging genoemd). We noemen dit principe de eerste wet van Newton. Wiskundig kunnen we dit als volgt samenvatten:

$$ \vec{v} = \text{constant} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; F_{res} = 0 $$

Snelheid (v)

meter per seconde (m/s)

Resulterende kracht (F_res)

newton (N)

Laten we een paar voorbeelden bespreken. Als we een steentje een tikje geven op een perfect gladde ijsbaan, dan blijft het steentje met een constante snelheid voortbewegen. Na de tik werkt er geen spierkracht meer op het steentje en is de resulterende kracht dus nul. Dit komt dus overeen met de eerste wet van Newton.

Als we een voorwerp over een ruw oppervlak voortduwen met een constante snelheid, dan blijkt de spierkracht gelijk te zijn aan de wrijvingskracht. Ook hier is de resulterende kracht dan dus nul. Ook hier geldt dus de eerste wet van Newton.

Demonstratievideo

In het rechter filmpje is de eerste wet geïllustreerd met een luchtbaan waarover een karretje nagenoeg wrijvingsloos kan voorbewegen. Zoals je ziet blijft het karretje inderdaad met een constante snelheid voortbewegen.

DEMO-VIDEO:
De eerste wet van Newton

De eerste wet van Newton is ook goed te merken tijdens het fietsen. Als een stoplicht op groen springt en je begint te fietsen, dan moet je aan het begin heel veel kracht zetten. Tijdens het versnellen moet jouw spierkracht immers groter zijn dan de wrijvingskracht (zie de eerste onderstaande afbeelding). Als je echter eenmaal met een constante snelheid rijdt, dan kost het fietsen plotseling veel minder kracht. Bij een constante snelheid is de resulterende kracht namelijk nul en dat betekent dat de spierkracht nu slechts even groot hoeft te zijn als de wrijvingskracht.

Ook in de metro is de eerste wet van Newton goed te merken. Als de metro versnelt of remt, dan moeten we ons goed vasthouden. Als de metro echter eenmaal met een constante snelheid rijdt, dan is de resulterende kracht nul en voel je niets meer van de beweging. Het is daarom dan ook niet meer nodig je vast te houden. Op eenzelfde manier merken we niets van de beweging van de aarde om de zon.

Er zijn ook situaties te bedenken waarbij een voorwerp stil staat, maar toch de resulterende kracht niet nul is. Dit gebeurt bijvoorbeeld als we een bal omhoog gooien. Op het hoogste punt staat de bal één moment stil. Bij stilstand denk je misschien direct aan een krachtenevenwicht, maar de snelheid is in dit voorbeeld niet constant. Eén moment eerder ging de bal nog omhoog en één moment later gaat de bal alweer naar beneden. De snelheid is dus niet constant en als gevolg is de resulterende kracht ook niet nul. Dit klopt ook, want op het hoogste punt werkt er maar één kracht op de bal. Dit is de zwaartekracht die de bal weer naar beneden zal trekken.

INSTRUCTIE:
De eerste wet van Newton

Leerdoelen:

Zorg dat je kan redeneren met de eerste wet van Newton. Deze wet vertelt ons dat de resulterende kracht nul is als de snelheid van een voorwerp constant is en het voorwerp in een rechte lijn beweegt.

Zorg dat je dankzij de eerste wet kan begrijpen dat voorwerpen zonder wrijvingskracht geen aandrijving nodig hebben om met constante snelheid te blijven bewegen.

Zorg dat je dankzij de eerste wet kan begrijpen dat als er wel wrijvingskracht werkt, dat bij constante snelheid de aandrijfkracht gelijk moet zijn aan de wrijvingskracht.

Zorg dat je weet dat een bal bij een verticale worp op zijn hoogste punt stil staat, maar dat de snelheid niet constant is. Als gevolg is hier de resulterende kracht niet nul.

Opdrachten

Op de fietser uit deze paragraaf werken ook krachten in de verticale richting.

(2p) Noem een kracht die omhoog werkt en een kracht die naar beneden werkt.

(1p) Waarom speelden deze krachten geen rol bij het beschrijven van de beweging van de fietser?

(3p) Een auto rijdt met constante snelheid over een snelweg. Leg met behulp van de eerste wet van Newton uit of het nodig is dat de auto continu gas blijft geven om deze snelheid te behouden.

(3p) Een raket reist in de ruimte met een constante snelheid op weg naar een verre planeet. Leg met behulp van de eerste wet van Newton uit of het nodig is dat de raket continu gas blijft geven om deze snelheid te behouden.

(2p) Een leerling gaat een stukje rijden op zijn skateboard. De leerling moet eerst flink afzetten om op gang te komen, maar als hij eenmaal op gang is, kost het veel minder moeite om op snelheid te blijven. Leg dit uit met behulp van de krachten die op de skateboarder werken.

(3p) Een leerling fietst al een tijdje met een constante snelheid. Ze kijkt op haar horloge en ziet dat ze moet opschieten om op tijd op school te komen. Ze versnelt daarom naar een hogere snelheid. Als ze deze snelheid bereikt heeft, fiets ze met een constante snelheid verder totdat ze op school is aangekomen. Beschrijf hoe de krachten op de leerling veranderen gedurende deze fietstocht.

(2p) Een persoon maakt een hoge sprong met behulp van een trampoline. In de onderstaande afbeeldingen zien we de persoon op het hoogste punt van een sprong. Geef aan in welk van de tekeningen de krachten werkende op de persoon correct zijn weergegeven:

(Bron: examen HAVO 2019-1)

(5p, VWO) Een regendruppel heeft bij benadering een bolvorm. Na een tijdje te vallen wordt de snelheid van de druppel constant. Ga na dat voor deze snelheid geldt dat: $$ v = \sqrt{\frac{8\rho_{water}gr}{3\rho_{lucht}c_w}} $$

§4 Ontbinden van krachten

In deze paragraaf gaan we twee andere klassieke krachtenevenwichten bespreken: het blokje dat met constante snelheid van een helling glijdt en een slee die met constante snelheid wordt voortgetrokken. In beide gevallen blijkt het handig om een kracht op te delen in twee componenten. We noemen dit het ontbinden van een kracht.

Soms is het handig om een kracht op te splitsen in twee componenten. We noemen dit het ontbinden van krachten. In de onderstaande afbeelding is de resulterende kracht van de twee honden weergegeven. De honden trekken in de richting van de stippellijnen.

Eerst maken we een parallellogram (zie de linker afbeelding) en dan tekenen we de twee krachten van de honden (zie de rechter afbeelding).

We gebruiken deze techniek ook als we een blokje beschrijven dat door middel van de zwaartekracht met een constante snelheid van een helling af schuift.

De zwaartekracht die op het blokje werkt, doet hier twee dingen met het blokje. Het trekt het blokje van de helling af en het trekt het blokje tegen de helling aan. De kracht waarmee het blokje van de helling aangetrokken wordt, noemen we ook wel de component van de zwaartekracht in de bewegingsrichting (F_z||). De kracht waarmee het blokje tegen de helling aan getrokken wordt noemen we ook wel de component van de zwaartekracht loodrecht op de bewegingsrichting (F_z_⊥). In de onderstaande linker afbeelding is te zien hoe we de zwaartekracht ontbinden in deze twee componenten met behulp van een parallellogram.

Omdat het blok met een constante snelheid naar beneden schuift, weten we volgens de eerste wet van Newton dat de resulterende kracht nul moet zijn. De krachten die werken op het blok moeten dus in evenwicht zijn. F_z|| is dus gelijk aan de wrijvingskracht en F_z_⊥ aan de normaalkracht (zie de onderstaande rechter afbeelding). Op deze manier zijn alle krachten in evenwicht en is de resulterende kracht nul.

Let erop dat de normaalkracht zoals gebruikelijk loodrecht op het oppervlak werkt (en hier dus niet verticaal omhoog wijst). Merk ook op dat de normaalkracht nu niet even groot is als de zwaartekracht, maar alleen aan de loodrechte component van de zwaartekracht.

VWO STOF

De hellingshoek (α) van de helling blijkt gelijk te zijn aan de hoek tussen F_z en F_z⊥ (zie de onderstaande afbeelding).

Met deze hoek kunnen we met behulp van de sinus en de cosinus de grootte van de componenten F_z|| en F_z⊥ berekenen. Met de cosinus vinden we bijvoorbeeld:
$$ \cos{\alpha} = \frac{\text{aanliggende zijde}}{\text{schuine zijde}} = \frac{F_{z\perp}}{F_z} $$
Met de sinus vinden we:
$$ \sin{\alpha} = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}} = \frac{F_{z||}}{F_z} $$

Voorbeeld (VWO)

Vraag:

Een blok met een massa van 100 kg glijdt met constante snelheid van een helling met een hellingshoek van 20 graden. Bereken de grootte van de wrijvingskracht werkende op het blok.

Antwoord:

Merk in eerste instantie op dat er gevraagd wordt naar een berekening. We mogen in dat geval niet meten in de afbeelding.

Laten we beginnen met het uitrekenen van de zwaartekracht:
$$ F_z = mg = 100 \times 9,81 = 981 \text{ N} $$
Omdat het blok met een constante snelheid van de helling glijdt, weten we met behulp van de eerste wet van Newton dat de wrijvingskracht even groot moet zijn als F_z||. In de rechter afbeelding is te zien dat we de grootte van deze kracht kunnen uitrekenen met behulp van de sinus. De overstaande zijde (o) van de aangegeven driehoek is namelijk even lang als F_z||.

Er geldt hier:
$$ \sin{\alpha} = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}} = \frac{F_{z||}}{F_z} $$
Als we deze formule omschrijven, dan vinden we:
$$ F_{z||} = F_z \sin{\alpha} $$
Als we dit invullen, dan vinden we:
$$ F_{z||} = 981 \times \sin{20^\circ} = 336 \text{ N} $$
Let er bij deze berekening op dat je rekenmachine op graden (degrees) ingesteld is. De wrijvingskracht werkende op het blok is dus 3,4 × 10² N.

Demonstratievideo

In het rechter filmpje laten we zien dat de krachten werkende op een blok op een helling inderdaad de grootte hebben zoals we dat hierboven bepaald hebben:

DEMO-VIDEO:
Hellend vlak

Laten we nog een tweede voorbeeld bespreken waarbij het ontbinden van krachten noodzakelijk is. Een blok wordt met behulp van een spankracht naar rechts gesleept met een constante snelheid (zie de onderstaande linker afbeelding).

Het ligt hier voor de hand om de spankracht te ontbinden in een component F_span|| (waarmee het blok naar rechts wordt getrokken) en een component F_span_⊥ (waarmee het blok omhoog wordt getrokken). Wederom gebruiken we hiervoor de parallellogrammethode:

Omdat het blok met een constante snelheid naar rechts wordt gesleept, weten we dat ook hier de resulterende kracht nul moet zijn. Dit betekent o.a. dat F_span|| gelijk moet zijn aan de wrijvingskracht (zie de linker onderstaande afbeelding).

In de verticale richting werken drie krachten. De zwaartekracht werkt naar beneden en de normaalkracht en F_span_⊥ werken omhoog. Om ervoor te zorgen dat de krachten die omhoog werken in evenwicht zijn met de kracht die naar beneden werkt, moet in deze situatie gelden dat:

$$ F_z = F_{span\perp} + F_N $$

In de onderstaande afbeelding is dit evenwicht goed te zien. Als je de pijlen voor F_N en F_span_⊥ "op elkaar stapelt", dan krijg je een pijl die precies even groot is als de pijl voor F_z. Alle krachten zijn nu dus in evenwicht en de resulterende kracht is dus nul.

INSTRUCTIE:
Hellend vlak

Leerdoelen:

Zorg dat je een kracht kan ontbinden in componenten met de parallellogrammethode.

Zorg dat je de zwaartekracht kan ontbinden bij een blok op een hellend vlak in een component tegen de helling aan (F_z⊥) en een component van de helling af (F_z||).

(VWO) Zorg dat je deze twee componenten van de zwaartekracht kan uitrekenen met behulp van de cosinus (aanliggende / schuine zijde) en de sinus (overstaande / schuine zijde).

(VWO) Zorg dat je weet dat de hellingshoek gelijk is aan de hoek tussen F_z en F_z⊥.

Zorg dat je bij constante snelheid de normaalkracht (loodrecht op de helling) in evenwicht plaatst met F_z⊥ en de wrijvingskracht in evenwicht met F_z||.

Zorg dat je de spankracht kan ontbinden bij het voortrekken van o.a. een slee in een component in de bewegingsrichting (F_span||) en een component omhoog (F_span⊥).

Zorg dat je bij constante snelheid de wrijvingskracht gelijkstelt aan F_span|| en de zwaartekracht gelijkstelt aan de normaalkracht en F_span⊥ samen.

Opdrachten

(3p) In de volgende afbeelding trekken twee kleine sleepbootjes een grotere boot voort met behulp van twee touwen. De resulterende kracht van de twee spankrachten in de touwen is in de afbeelding weergegeven. Bepaal de grootte van de twee spankrachten die de sleepbootjes uitoefenen.

(4p) Ontbind de krachten in de volgende afbeeldingen in twee componenten die over de stippellijnen lopen.

In de onderstaande afbeelding werkt een kracht van 500 N onder een hoek van 30 graden ten opzichte van de x-as.

(3p) Ontbind de kracht in een component langs de x-as en een component langs de y-as. Bepaal dan door te meten de grootte van deze krachten.

(2p) Ga nu met de sinus en cosinus na dat je hetzelfde antwoord vindt. Zo niet, dan staat je rekenmachine waarschijnlijk niet op graden ingesteld. Verander dit voordat je verder gaat.

Maak de tweede bladzijde van het stencil krachtenevenwichten.
Maak het eerste stencil aan het einde van de paragraaf.

Een jongen met een massa van 40 kg glijdt met een constante snelheid van een glijbaan. De helling van de glijbaan is 40 graden.

(HAVO,4p) Bepaal de grootte van de wrijvingskracht die de jongen ondervindt.

(VWO,4p) Bereken de grootte van de wrijvingskracht die de jongen ondervindt.

Een vliegtuig beweegt met een constante snelheid onder een hoek van 15° met de horizontaal. De massa van het vliegtuig is 20 × 10⁴ kg. De voorwaartse kracht op het vliegtuig (de stuwkracht) is 1,1 × 10⁶ N. Buiten de zwaartekracht, de stuwkracht en de luchtwrijvingskracht werkt er ook een liftkracht op de vleugels van het vliegtuig. Deze kracht werkt altijd loodrecht op de vleugels.

(HAVO,6p) Bepaal de grootte van de luchtwrijvingskracht en de liftkracht.

(VWO,6p) Bereken de grootte van de luchtwrijvingskracht en de liftkracht.

Een speelgoedautootje met een massa van 1,2 kg bevat een motor die een kracht levert van 15 N. De auto wordt op een helling met een hellingshoek van 25° gezet. De auto blijkt hier met een constante snelheid tegenop te rijden.

(HAVO,6p) Bepaal de normaalkracht en de wrijvingskracht die op deze auto werken.

(VWO,5p) Bereken de normaalkracht en de wrijvingskracht die op deze auto werken.

Hetzelfde autootje wordt nu op een andere helling gezet, maar nu rijdt het autootje van de helling af. Ook deze helling heeft een hoek van 25°. Wederom is de snelheid constant.

(HAVO,2p) Bepaal de normaalkracht en de wrijvingskracht opnieuw.

(VWO,2p) Bereken de normaalkracht en de wrijvingskracht opnieuw.

(VWO,2p) In de onderstaande afbeelding zien we een blok dat glijdt van een hellend vlak met hellingshoek A. Laat met behulp van een tekening zien hoe de normaalkracht werkende op het blok verandert als we de hellingshoek groter maken.

Maak de derde bladzijde van het stencil krachtenevenwichten.
Maak het tweede stencil aan het einde van de paragraaf.

Een slee wordt met een constante snelheid vooruit getrokken. De slee heeft een massa van 9,5 kg. De spankracht in het touw is 30 N en het touw staat onder een hoek van 37° met de horizontaal.

(HAVO,6p) Bepaal de wrijvingskracht en de normaalkracht die de slee ondervindt.

(VWO,6p) Bereken de wrijvingskracht en de normaalkracht die de slee ondervindt.

Een grasmaaier wordt vooruit geduwd met een constante snelheid van 0,15 m/s. De gebruiker van de grasmaaier oefent een spierkracht uit op de grasmaaier van 150 N. De grasmaaier heeft een massa van 5,8 kg.

(HAVO,6p) Bepaal de wrijvingskracht en de normaalkracht die op de grasmaaier werkt.

(VWO,6p) Bereken de wrijvingskracht en de normaalkracht die op de grasmaaier werkt.

Een ballon zit vast aan een touw met een lengte van 50 cm. Het touw zit vast aan de grond. De zwaartekracht die op de ballon werkt is 0,40 N. De opwaartse kracht van de lucht op de ballon is 0,48 N.

(3p) Teken de drie krachten die werken op de ballon in de linker tekening en bereken de spankracht.

(5p) De wind blaast de ballon 30 cm opzij. Bepaal de grootte van de kracht waarmee de wind de ballon in deze situatie opzij blaast. Teken hiervoor eerst alle krachten die op de ballon werken in deze situatie. Je mag aannemen dat de opwaartse kracht gelijk is gebleven.

(VWO,3p) Vind nu hetzelfde antwoord met behulp van een berekening.

(VWO,6p) Een leerling maait het gras met een grasmaaier met een massa van 3,5 kg. De hoek tussen de ondergrond en de grasmaaier is 35 graden (zie de onderstaande afbeelding). De leerling duwt hard genoeg dat de grasmaaier nét in beweging komt. De kracht F_duw die hij uitoefent is 150 N. Bereken de wrijvingscoëfficiënt f.

(EXTRA,7p) Een leerling maait met constante snelheid het gras met een grasmaaier van 3,5 kg. De hoek tussen de ondergrond en de grasmaaier is 35 graden (zie de bovenstaande afbeelding). De maaier ondervindt veel weerstand tijdens het maaien van het gras. De wrijvingscoëfficiënt is daarom vrij groot (f = 0,80). Bereken de minimale kracht F_duw waarmee de leerling moet duwen om de grasmaaier in beweging te krijgen.

§5 De tweede wet van Newton

In deze paragraaf gaan we rekenen met de tweede wet van Newton. Deze wet vertelt ons hoe groot de resulterende kracht is werkend op een versnellend voorwerp.

Eerder dit hoofdstuk hebben we gezien dat de eerste wet van Newton ons vertelt dat de resulterende kracht nul is als de snelheid van een voorwerp constant is. De tweede wet van Newton vertelt ons wat er gebeurt als de resulterende kracht niet nul is. In dat geval geldt:

$$ F_{res} = ma $$

Versnelling (a)

meter per seconde per seconde (m/s²)

Resulterende kracht (F_res)

newton (N)

Massa (m)

kilogram (kg)

De formule wordt ook vaak in de volgende vorm geschreven:

$$ a = \frac{F_{res}}{m} $$

In deze vorm is goed te zien dat een voorwerp versnelt als er een resulterende kracht op werkt. Ook zien we dat deze versnelling kleiner wordt als de massa van het voorwerp groter is. Voorwerpen met een grote massa zijn dus moeilijk in beweging te krijgen en ook moeilijk af te remmen. Hoe groter de massa van een voorwerp is, hoe moeilijker het dus is om de snelheid van dit voorwerp te veranderen. We noemen dit principe traagheid.

Demonstratievideo

In het rechter filmpje dat is gemaakt in het International Space Station (ISS), is dit fenomeen goed te zien:

DEMO-VIDEO:
De tweede wet van Newton

Demonstratievideo

In het rechter filmpje kunnen we het effect van traagheid zien op een aantal blokken die op een trampoline liggen. Als een persoon op de trampoline springt, duurt het even voordat het vallen van de blokken echt op gang komt.

DEMO-VIDEO:
Traagheid

Voorbeeld

Vraag:

In het onderstaande (v,t)-diagram is het opstijgen van een raket beschreven. De raket heeft een massa van 2,8 × 10⁶ kg. Bepaal de motorkracht van de raket op het moment dat deze wordt afgeschoten. Je mag de wrijvingskracht verwaarlozen.

Antwoord:

Met behulp van een raaklijn op t = 0 s vinden we de versnelling (zie de onderstaande afbeelding). Met behulp van de raaklijn vinden we de volgende versnelling:
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{25 \times 10^3}{2,5} = 1,0 \times 10^4 \text{ m/s}^2 $$

Met de tweede wet van Newton kunnen we nu de resulterende kracht berekenen:
$$ F_{res} = ma = 2,8 \times 10^6 \times 1,0 \times 10^4 = 2,8 \times 10^{10} \text{ N} $$
Dit is echter nog niet het antwoord. We willen niet de resulterende kracht weten, maar de motorkracht. In deze situatie werkt op de raket een motorkracht omhoog en een zwaartekracht omlaag. Er werkt op dit moment nog geen luchtwrijvingskracht, omdat de grafiek op t = 0 s een snelheid van 0 m/s heeft. Er geldt dus:
$$ F_{res} = F_m - F_z $$
Dit kunnen we omschrijven tot:
$$ F_m = F_{res} + F_z $$
Als we dit invullen, dan vinden we:
$$ F_{m} = 2,8 \times 10^{10} + 2,8 \times 10^6 \times 9,81 = 2,8 \times 10^{10} \text{ N} $$

INSTRUCTIE:
De tweede wet van Newton

Leerdoelen:

Zorg dat je kan rekenen met de tweede wet van Newton (F_res = ma).

Zorg dat je weet dat de resulterende kracht vaak uit meerdere krachten bestaat. Bij een rijdende auto geldt bijvoorbeeld "F_res = F_m - F_w".

Zorg dat je weet dat de formule "a = F_res/m" ons vertelt dat voorwerpen met een grote massa moeilijk te versnellen en moeilijk te vertragen zijn. Hoe zwaarder het voorwerp, hoe lastiger de snelheid ervan te veranderen is. We noemen dit traagheid.

Zorg dat je voorbeelden kan noemen waarbij traagheid een rol speelt. Denk bijvoorbeeld aan het doorschieten van passagiers bij het remmen van een auto.

Opdrachten

(1p) Een groot vrachtschip komt lastig tot stilstand. Leg dit uit met het begrip traagheid.

(1p) Een docent trekt snel een kleed onder een servies vandaan. Wonderbaarlijk genoeg blijft het servies staan. Leg uit hoe dit kan met het begrip traagheid.

Een metro komt krachtig remmend tot stilstand. De passagiers van de metro die staan worden hierdoor een meter verplaatst ten opzichte van de metro.

(1p) In welke richting verplaatsen de passagiers. In de bewegingsrichting van de metro of tegen de bewegingsrichting in.

(1p) Leg uit waarom dit gebeurt.

(1p) Aan het einde van de rit remt het treintje van een achtbaan af. Hierdoor worden de inzittenden tegen de veiligheidsbeugels geduwd. Verklaar dit met het begrip traagheid.

(1p) Leid de eenheid van de kracht af in SI-grondeenheden met behulp van de volgende formule: $$ F_{res} = ma $$

Een auto versnelt vanuit stilstand naar 100 km/h in 25 seconden. De auto heeft een massa van 3,5 × 10³ kg.

(5p) Bereken de resulterende kracht die op de auto werkt.

(2p) De wrijvingskracht die op de auto werkt tijdens het optrekken was gelijk aan 3,0 × 10³ N. Bereken hiermee de motorkracht van de auto.

Het onderstaande (v,t)-diagram beschrijft een sprong van een volleybalspeler met een massa van 75 kg.

(4p) Bepaal de resulterende kracht werkende op de springer op tijdstip t = 0 s.

(2p) Bepaal de afzetkracht van de springer op tijdstip t = 0 s.

(bron: examen VWO 2015-1)

Space Shot is een spectaculaire attractie in het pretpark Six Flags. Hierbij kan een groep mensen zich laten lanceren met behulp van een ring om een hoge toren. De massa van de ring met bezoekers is 2,4 × 10³ kg. Hieronder zien we een (v,t)-diagram van de beweging.

(5p) Bepaal de motorkracht waarmee de ring wordt afgeschoten. Je mag de wrijvingskracht verwaarlozen.

(VWO,4p) In werkelijkheid is de wrijvingskracht niet te verwaarlozen. Dit is bijvoorbeeld te zien aan de lichte knik in de grafiek op tijdstip t = 3,62 s (leg je geodriehoek op de grafiek om de knik goed te kunnen zien). Leg uit waarom we aan de aanwezigheid van deze knik kunnen zien dat er wel degelijk een wrijvingskracht werkt.

(bron: examen VWO 2003-1)

Een auto met een massa van 2200 kg wordt weggetakeld met behulp van een kabel. De kabel zit onder een hoek van 23 graden met de horizontaal aan de auto vast. De spankracht in de kabel is 450 N. In eerste instantie laten we de wrijvingskrachten buiten beschouwing.

(4p) Bereken de snelheid van de auto na 5,0 s als er geen wrijvingskracht werkt.

(VWO,6p) In werkelijkheid werkt er natuurlijk wel een wrijvingskracht. De wrijvingscoëfficiënt van het contactoppervlak tussen de banden van de auto en de weg is 0,007. Bereken nogmaals de snelheid van de auto na 5,0 s.

Een auto rijdt over een lange weg met een constante snelheid. Op t = 20 s besluit de chauffeur zijn gaspedaal verder in te trappen om te versnellen. Hieronder is het (v,t)- en het (F_m,t)-diagram weergegeven van deze beweging. De massa van auto met chauffeur is 1,0 × 10³ kg.

(2p) Bepaal de grootte van de totale wrijvingskracht op de auto vóór het versnellen. Verklaar je antwoord.

(5p) Bepaal de grootte van de wrijvingskracht op tijdstip t = 30 s.

(VWO) Hieronder zien we een (F,t)- en een (v,t)-diagram van een zwemmer die een volledige zwemslag maakt. In het bovenste diagram staat de stippellijn voor de spierkracht van de zwemmer en de doorgetrokken lijn voor de wrijvingskracht.

(2p) Het tijdstip waarop de snelheid maximaal is, valt later dan het tijdstip waarop de voortstuwingskracht maximaal is. Verklaar dit.

(1p) Op tijdstip t = 0,37 s is de snelheid even constant. Verklaar dit.

(1p) Na tijdstip t = 0,37 s is de wrijvingskracht voor een tijdje groter dan de spierkracht. Leg uit of de zwemmer hier vooruit of achteruit beweegt.
(bron: examen VWO 2011-2)

(2p) Een leerling wil een bungeejump maken. Op een hoog platform wordt een 15 meter lang elastisch koord aan hem vastgemaakt. De leerling laat zich dan zonder beginsnelheid van het platform vallen. In het laagste punt van de sprong is het koord 20 m uitgerekt.
In de schematische tekening zijn een aantal punten met letters aangegeven. P is het platform waar de sprong begint. R is de plaats (15 m onder P) waar het koord begint uit te rekken. E is de evenwichtsstand waar de leerling aan het einde van de sprong in rust blijft hangen. D is het laagste punt (35 m onder P). Beredeneer of de leerling op het traject van R naar E versnelt of vertraagt. Verwaarloos hierbij de wrijvingskrachten.
(bron: examen VWO 2001-1)

Tegen het einde van de Eerste Wereldoorlog introduceerde het Duitse leger het Parijse Kanon. Dit kanon kon Parijs beschieten van achter de frontlinie, op een afstand van 120 km. Een granaat bereikte hierbij een hoogte van wel 40 km. De loop was extra lang gemaakt, zodat de granaten een voldoende hoge snelheid kregen om de afstand te overbruggen. Hieronder zien we het (v,t)-diagram en het (F_res,t)-diagram van een granaat weergegeven tijdens het afschieten. Op t = 0,04 s verlaat de granaat de loop.

(3p) Bepaal met behulp van het linker diagram de lengte van de loop van het kanon.

(4p) Laat met behulp van beide diagrammen zien dat de massa van de granaat 112 kg is.

(2p) Hieronder is het (v,t)-diagram van de baan van de granaat te zien. Ook het effect van de luchtwrijving is hierbij meegenomen. Op t = 190 s komt de granaat aan op de grond. Bepaal de afstand die de granaat in totaal heeft afgelegd.

(2p) Leg uit waarom je een antwoord vindt groter dan de 120 km die aan het begin van de vraag genoemd is.

(3p) Leg uit waarom de snelheid eerst afneemt (tot t = 90 s), daarna weer toeneemt (tot t = 170 s) en uiteindelijk weer even afneemt (tot t = 190 s ).

(VWO,1p) Er wordt vaak gezegd dat de snelheid op het hoogste punt van een beweging nul is. Leg uit waarom dit bij deze beweging niet het geval is.
(bron: examen VWO 2019-2)

(VWO) In het onderstaande (v,t)-diagram is de beweging van een karretje beschreven dat heen en weer beweegt op een rail met een knik in het midden. Tussen tijdstip t_B en t_C gaat het karretje de linker helling op en tussen tijdstip t_C en t_D gaat het karretje de linker helling weer af.

(1p) Hoe kan je aan het diagram zien dat er wrijvingskracht werkt?

(4p) De kar ondervindt tijdens zijn beweging een constante wrijvingskracht. Leg uit waarom de versnelling tussen tb en tc en tussen c en td dan toch anders is.

(5p) Bepaal de wrijvingskracht op de kar. Neem hiervoor aan dat de massa van het karretje gelijk is aan 43 gram (heftige vraag!).
(bron: examen VWO 1986-2)

§6 De derde wet van Newton

In deze paragraaf introduceren we de derde wet van Newton. Deze wet beschrijft de terugslag die een voorwerp ervaart als deze een kracht uitoefent op een ander voorwerp.

De derde wet van Newton vertelt ons dat krachten altijd in paren voorkomen. Voor elke kracht die voorwerp A op voorwerp B uitoefent, is er ook een kracht die voorwerp B op voorwerp A uitoefent. Beide krachten zijn altijd even groot en wijzen in tegengestelde richting. Wiskundig schrijven we de derde wet als volgt op:

$$ F_{A\rightarrow B} = -F_{B\rightarrow A} $$

Kracht van A op B (F_A→B)

newton (N)

Kracht van B op A (F_B→A)

newton (N)

Demonstratievideo

In het rechter filmpje wordt dit principe gedemonsteerd in het International Space Station (ISS):

DEMO-VIDEO:
De derde wet van Newton

Laten we nog een paar voorbeelden bespreken. In de onderstaande afbeelding zien we persoon die zichzelf met behulp van een touw richting een muur trekt. De persoon oefent een spierkracht op de muur uit die naar rechts werkt. Als gevolg oefent de muur een kracht op de persoon uit die naar links werkt. Het is deze kracht die ervoor zorgt dat de persoon richting de muur beweegt.

Dat deze krachten altijd even groot zijn, zien we goed als twee personen twee weegschalen tegen elkaar aan duwen (zie de onderstaande afbeelding). Hoe hard de personen ook duwen, beide weegschalen zullen altijd dezelfde waarde aangeven. Dit geldt zelfs in de onderstaande situatie waarbij de ene persoon actief duwt en de andere persoon de weegschaal alleen stil probeert te houden. De derde wet van Newton geldt altijd.

Demonstratievideo

Ditzelfde fenomoon zien we ook gedemonstreerd in het rechter filmpje:

DEMO-VIDEO:
De derde wet van Newton II

De derde wet van Newton ligt ook aan de basis van raketaandrijving. Een vliegtuig stijgt op doordat de vleugels van het vliegtuig zich afzetten tegen de lucht. In de ruimte is echter geen lucht, dus is een ander mechanisme nodig. Een raket drijft zichzelf aan door gas weg te schieten dat ontstaat bij explosies van brandstof in de motor. Doordat de raket een kracht uitoefent op dit gas, oefent het gas ook weer een kracht uit op de raket. Het is door deze kracht dat de raket vooruit gaat. Hetzelfde effect zien we als we een opgeblazen ballon loslaten. De ballon perst lucht naar buiten en als gevolg oefent de lucht een kracht uit waarmee de ballon naar voren gaat (zie de linker afbeelding).

We gebruiken de derde wet ook tijdens het lopen. Om vooruit te komen, zetten we ons af tegen de grond. Dit doen we door een spierkracht naar achteren uit te oefenen. Als gevolg levert de grond een wrijvingskracht naar voren. Het is door deze kracht dat we vooruit gaan.

De derde wet kan ook goed gebruikt worden om allerlei natuurkundige problemen op te lossen. Denk bijvoorbeeld aan twee blokken die aan een katrol hangen (zie de onderstaande afbeelding). Ook wanneer de massa's verschillend zijn, weten we dat de spankrachten in beide uiteinden van het touw gelijk moeten zijn dankzij de derde wet.

INSTRUCTIE:
De derde wet van Newton

Leerdoelen:

Zorg dat je weet dat de derde wet van Newton vertelt dat als object A een kracht uitoefent op object B, dat object B dan altijd een even grote kracht uitoefent op object A in de tegengestelde richting.

Zorg dat je weet dat dit betekent dat de spankracht in beide uiteinden van een touw altijd gelijk is.

Zorg dat je weet dat als bijvoorbeeld twee auto's botsen, dat de kracht die op de auto's wordt uitgeoefend dankzij de derde wet gelijk is, zelfs als één van de auto's voor de botsing stil stond of als één van de auto's een veel grotere massa heeft.

Zorg dat je weet dat raketaandrijving werkt door gas weg te schieten uit de achterzijde van de raket. Dankzij de derde wet duwt het gas de raket dan vooruit.

Opdrachten

(2p) Je loopt een trap op. In welke richting werkt de spierkracht? Hoe kan het dat je door het uitoefenen van deze kracht omhoog gaat?

(2p) Leg uit hoe raketaandrijving werkt.

(3p) Hieronder zien we twee blokken die onder elkaar zijn opgehangen. Het bovenste blok heeft een massa van 10 kg en het onderste blok een massa van 100 kg. De blokken hangen stil. Geef aan welke krachten werkende op dit systeem gelijk zijn. Ligt je antwoord toe.

Ga naar deze opdracht op de website en beantwoord de vragen in de quiz.

Persoon A met een massa van 100 kg duwt persoon B met een massa van 60 kg.

(1p) Leg uit of persoon A een grotere kracht uitoefent of persoon B een grotere kracht uitoefent of dat beide personen een even grote kracht op elkaar uitoefenen.

(1p) Leg uit of persoon A een grotere versnelling ondergaat of persoon B een grotere versnelling ondergaat of dat beide personen een even grote versnelling ondergaan.

(2p) Persoon A duwt met een kracht van 55 N. Bereken voor elk van de personen de versnelling die ze zullen ondervinden.

(1p) Nu duwt juist persoon B. Ook deze persoon duwt met 55 N. Leg uit hoe groot de versnellingen nu zijn.

Een persoon met een massa van 80 kg duwt een boodschappenkar vooruit met een versnelling van 0,60 m/s². Hij doet dit door zich met een kracht van 160 N af te zetten tegen de ondergrond.

(1p) Leg uit in welke richting de persoon zich moet afzetten.

(3p) Bereken de kracht waarmee de kar tegen de persoon duwt (tip: het is handig om de persoon en de kar even te tekenen, inclusief de krachten die op beide objecten werken).

(1p) Bereken de kracht waarmee de persoon tegen de kar duwt.

(3p) De totale wrijvingskracht werkende op de kar is gelijk aan 24 N. Bereken hiermee de massa van de kar.

(3p) De aarde versnelt ons op het aardoppervlak met een versnelling van 9,81 m/s². Volgens de derde wet van Newton geldt dat als de aarde een kracht uitoefent op een persoon, dat de persoon dan ook een kracht uitoefent op de aarde. Bereken de versnelling die de aarde ondervindt van een persoon met een massa van 70 kg.

Een blokje (1) met massa 2,50 kg wordt met behulp van een ander blokje (2) in beweging gebracht (zie de onderstaande afbeelding). Neem aan dat alle wrijvingskrachten te verwaarlozen zijn. De blokjes voeren samen een eenparig versnelde beweging uit. De blokjes hebben vanuit stilstand na 1,58 s een snelheid van 1,14 m/s.

(3p) Bereken de spankracht in het touw. Bereken daartoe eerst de versnelling van de blokjes.

(HAVO) Laat zien dat de massa van blokje 2 gelijk moet zijn aan 0,198 kg.

(4p, VWO) Bereken de massa van blokje 2.

(VWO) In de onderstaande afbeelding zien we de blokjes A en B die aan een katrol bevestigd zijn. Beide blokjes hebben een massa van 100 gram. Omdat de massa's gelijk zijn, kunnen we beide blokjes stilzetten (zelfs als de blokjes zich op een verschillende hoogte bevinden).

(3p) Bereken de spankracht in het koord.

(3p) Blokje A wordt vervangen door een blokje met een grotere massa. Hierdoor begint blokje A met een versnelling van 0,50 m/s² te dalen. Bereken wederom de spankracht in het koord. De wrijvingskracht in het touw mag verwaarloosd worden.

(5p) We kunnen de versnelling van de blokjes met willekeurige massa berekenen met de volgende algemene formule: $$ a = g\frac{m_A-m_B}{m_A+m_B} \;\;\;\; (m_A > m_B) $$ Leid deze formule af.

(3p) In plaats van blokje A, hangen we nu een blokje van 150 gram op. Blokje B heeft nog steeds een massa van 100 gram. Bereken de spankracht in het touw.

In de volgende afbeelding zijn twee blokken te zien die vooruit worden geduwd met een kracht F van 9 N over een wrijvingsloos oppervlak. De massa van blok 1 is twee keer zo groot als de massa van blok 2.

(2p) Op blok 1 werken twee krachten in horizontale richting. Op blok 2 werkt maar één kracht in horizontale richting. Benoem welke krachten dit zijn.

(1p) Leg uit of beide blokken wel of niet dezelfde versnelling ondergaan.

(1p) Leg uit of beide blokken wel of niet dezelfde resulterende kracht ervaren.

(4p) Bereken de normaalkrachten tussen de twee blokken.

Een blokje (M₁) met een massa van 200 gram ondergaat een versnelling van 0,20 m/s² mede doordat het naar beneden wordt getrokken door een ander blokje (M₂). De situatie is hieronder afgebeeld. De helling wordt zo gekozen dat de wrijvingskracht die op het blok werkt precies wordt gecompenseerd door de component van de zwaartekracht waarmee het blokje van de helling wordt getrokken. De luchtwrijvingskracht is te verwaarlozen.

(3p) Bereken de spankracht in het touw werkende op blokje M₂.

(3p) Bereken de massa van blokje M₂.

(EXTRA) Bereken de hellingshoek α. Maak hiervoor eventueel gebruik van de volgende wiskundige regel: $$ \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} $$ De schuifwrijvingscoëfficiënt f van blok M₁ is gelijk aan 0,80.