Hoofdstuk 1
Basisvaardigheden

Leerdoelen:

Zorg dat je formules kan omschrijven. Weet dat delen door X aan de ene kant van de vergelijking kan worden vervangen door vermenigvuldigen met X aan de andere kant van de vergelijking. En zorg dat een kwadraat aan de ene kant van de vergelijking kan worden vervangen door een wortel aan de andere kant van de vergelijking.

Opdrachten

(2p) Beschrijf de stappen die nodig zijn om een formule om te schrijven in een andere vorm. (2p) De formule voor de zwaartekracht (Fz) wordt gegeven door: $$F_z = mg$$ Geef de formule voor de massa (m) en geef de formule voor valversnelling (g). (3p) De formule voor de kracht (F) waarmee een voorwerp in een cirkelbaan gehouden kan worden is gelijk aan: $$ F = \frac{mv^2}{r} $$ Geef de formule voor de massa (m), de formule voor baanstraal (r) en de formule voor de snelheid (v). (2p) De formule voor de snelheid (v) van een voorwerp dat in een cirkelbaan beweegt is: $$ v = \frac{2\pi r}{T} $$ Geef de formule voor de omlooptijd (T) en de formule voor baanstraal (r). (4p) De relatie tussen de omlooptijd van een planeet (T) en de afstand tot de zon (r) wordt gegeven door: $$ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} $$ Geef de formule voor de omlooptijd (T), de formule voor baanstraal (r) en de formule voor de massa (M). (2p) De formule voor het volume (V) van een bol is: $$ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $$ Geef de formule voor de straal (r). (2p) De trillingstijd (T) van een blokje dat trilt aan een veer wordt gegeven door deze formule: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$ Geef de formule voor de massa (m) en voor de veerconstante (C).

 

§3     Dichtheid

In deze paragraaf herhalen we het concept dichtheid. We maken hierbij gebruik van het omschrijven van formules zoals in de vorige paragraaf besproken is.

Niet alle stoffen zijn even zwaar. Een kubieke centimeter goud is bijvoorbeeld zwaarder dan een kubieke centimeter aluminium. We beschrijven dit verschil met het begrip dichtheid.

Een kubieke centimeter goud heeft bijvoorbeeld altijd een massa van 19,3 gram. We zeggen daarom dat de dichtheid van goud gelijk is aan 19,3 g/cm³. Aluminium heeft altijd een dichtheid van 2,7 g/cm³. Aluminium heeft dus een kleinere dichtheid dan goud. Als we in het dagelijks leven zeggen dat goud "zwaarder" is dan aluminium, dan bedoelen we eigenlijk dat de dichtheid van goud groter is dan van aluminium.

We kunnen de dichtheid van een stof als volgt berekenen:

$$\rho = \frac{m}{V}$$ massa (m) kilogram (kg) volume (V) kubieke meter (m3) dichtheid (ρ, spreek dit uit als 'rho') kilogram per kubieke meter (kg/m3)

In SI-eenheden wordt de dichtheid gegeven in kg/m³, maar er wordt ook regelmatig gebruik gemaakt van g/cm³. In dat geval wordt de massa gegeven in gram en het volume in kubieke centimeter.

De dichtheden van een heel aantal stoffen kan je opzoeken in BINAS. De eenheid boven de tabel is hier 10³ kgm^-3. De tienmacht vertelt ons dat we de waarde uit de tabel nog met 10³ moeten vermenigvuldigen. kgm^-3 is een andere schrijfwijze van kg/m³.

Stappenplan dichtheid

Vraag: Bereken de massa van 1,2 dm3 ijzer. Stap 1: Gegevens (G) Schrijf de gegevens uit de vraag op en zoek de dichtheid op: V = 1,2 dm3 ρ = 7870 kg/m3  m = ... kg Stap 2: Omschrijven (O) Schrijf de gegevens om in SI-eenheden: V = 0,0012 m3 Stap 3: Formule (F) Schrijf de formule "ρ = m/V" om in de juiste vorm. Doe dit met de techniek uit de vorige paragraaf (er zijn elk jaar leerlingen die de formule omschrijven door te "gokken". Doe dit niet! Leer in plaats daarvan de techniek uit de vorige paragraaf aan. Hier heb je de rest van het jaar profijt van). In dit geval willen we de massa (m) berekenen. De formule wordt in dat geval: $$ \rho = \frac{m}{V} \;\;\; \rightarrow \;\;\; m = \rho \times V $$ Stap 4: Invullen en Rekenen (IR) Vul de formule in: $$ m = 0,0012 \times 7870 = 9,4 \text{ kg} $$ Stap 5: Eenheid (E) Check of de eenheid achter het antwoord staat. In dit geval kg.

Demonstratievideo

In het rechter filmpje wordt de massa van een ijzeren voorwerp berekend met behulp van de formule voor de dichtheid. Daarna gaan we de massa bepalen met een weegschaal. In beide gevallen vinden we hetzelfde antwoord. Kortom, de formule voor de dichtheid WERKT. EXPERIMENT: Dichtheid

Voorbeeld

Vraag: In BINAS kan je de dichtheid van Jupiter vinden. Deze dichtheid is uitgerekend met behulp van de straal en de massa van Jupiter. Voer deze berekening uit en laat zien dat je (ongeveer) dezelfde waarde vindt als in BINAS vermeld staat. Antwoord: De planeet Jupiter heeft de vorm van een bol. Volgens BINAS is het volume van een bol gegeven door: $$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi r^3 $$ In BINAS vinden we dat de straal van Jupiter gelijk is aan 69,91 × 106 m. Het volume wordt hiermee: $$ V_{bol} = \frac{4}{3}\pi \times (69,91 \times 10^6)^3 = 1,431 \times 10^{24} \text{ m}^3 $$ Let bij deze berekening op de haakjes. De massa van Jupiter is volgens BINAS gelijk aan 1900 × 1024 kg. Hiermee kunnen we de dichtheid uitrekenen: $$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{1900 \times 10^{24}}{1,431 \times 10^{24}} = 1328 \text{ kg/m}^3 $$ In BINAS zien we 1330 kg/m3 staan voor de dichtheid. Dit ligt erg dicht bij de waarde die wij gevonden hebben.

Met de dichtheid kunnen we o.a. voorspellen of een voorwerp zal drijven of zinken. Als een voorwerp een grotere dichtheid heeft dan de omringende vloeistof, dan zal het voorwerp zinken. Als het een lagere dichtheid heeft, dan blijft het drijven.

Voorbeeld

Vraag: Straalvinnige vissen hebben in hun lichaam een zogenaamde zwemblaas zitten die gevuld kan worden met gas. De blaas stelt de vis in staat om op te stijgen en te zinken in het water zonder zijn vinnen te bewegen. Leg met behulp van het begrip dichtheid uit hoe dit werkt. Antwoord: Als de vis zijn blaas groter maakt, dan neemt het volume van de vis toe. De massa blijft echter hetzelfde. Volgens de formule ρ = m/V zorgt dit voor een afname van de dichtheid. Als de dichtheid van de vis onder de dichtheid van water komt, dan zal de vis opstijgen. Als de vis zijn blaas kleiner maakt, dan neemt het volume van de vis af. De massa blijft echter hetzelfde. Volgens de formule ρ = m/V zorgt dit voor een toename van de dichtheid. Als de dichtheid van de vis hoger wordt dan de dichtheid van water, dan zal de vis zinken. In het onderstaande filmpje wordt een soortgelijk fenomeen gedemonstreerd. Door in een fles te knijpen wordt het volume van een object in de fles verkleind en hierdoor zinkt het voorwerp: DEMO: Drijven en zinken

Leerdoelen:

Zorg dat je kan rekenen met de formule "ρ = m/V" in z'n drie vormen. Zorg dat je met het begrip dichtheid kan redeneren. Weet o.a. dat materialen van dezelfde stof altijd dezelfde dichtheid hebben. Zorg dat je de dichtheid van verschillende stoffen kan vinden in BINAS. Zorg dat je de massa en de straal van planeten correct kan aflezen uit BINAS. Kies voor de straal van de planeet niet de "baanstraal", maar "straal (equator)". Zorg dat je kan beredeneren of voorwerpen drijven of zinken aan de hand van de dichtheid. Zorg dat je kan beredeneren hoe de dichtheid verandert als het volume of de massa van een voorwerp verandert. Als de massa toeneemt (en het volume gelijk blijft), dan neemt volgens de formule "ρ = m/V" de dichtheid toe. Als het volume toeneemt (en de massa gelijk blijft), dan neemt de dichtheid af.

Opdrachten

(1p) De dichtheid van aluminium is 2,7 g/cm3. Leg uit wat dit betekent. (1p) Leg uit waar je op moet letten bij het aflezen van de dichtheid uit BINAS. (4p) Een plank heeft een massa van 1,0 kg. De plank is 2,0 cm dik, 10 cm breed en 80 cm lang. Bereken de dichtheid van de plank in kilogram per kubieke meter. (5p) Een persoon wil bepalen van welk type hout een groot schaakstuk gemaakt is. Hij gebruikt hiervoor o.a. de onderdompelmethode (zie de onderstaande afbeelding). De massa van het schaakstuk is 340 g. Bepaal van welke type hout het schaakstuk gemaakt is. (4p) Bereken de massa van 10 dm3 tin. (4p) Bereken het volume van 20 gram aluminium. (4p) Een lege kamer heeft een lengte van 8,0 m, een breedte van 5,0 meter en een hoogte van 2,5 meter. Bereken de massa van de lucht in de kamer. (5p) In BINAS kan je de dichtheid van de aarde vinden. Deze dichtheid is uitgerekend met behulp van de straal en de massa van de aarde. Voer deze berekening uit en laat zien dat je dezelfde waarde voor de dichtheid van de aarde vindt als in BINAS vermeld staat. (5p) Een koperen stroomdraad heeft een diameter van 2,0 mm en een lengte van 40,0 m. Bereken de massa van de draad. Een scubadiver gebruikt een buoyancy control device (BCD) om in het water te zinken of drijven. Om te zinken laat de duiker lucht uit de BCD stromen. (3p) Leg uit dat dit ervoor kan zorgen dat de duiker zinkt. (3p) Om weer boven water te komen laat de duiker wat lucht van de zuurstoffles in de BCD stromen. Leg uit waarom dit werkt. (1p) De BCD kan ook gebruikt worden om net te blijven zweven op dezelfde plek onder water. Leg uit hoe dit werkt. Een ijzeren plaat heeft een lengte van 5,0 m, een breedte van 2,5 m en een dikte van 5 centimeter. Om de plaat wordt een muurtje gemaakt met een verwaarloosbare massa. Als gevolg ontstaat een simpel bootje. (5p) Laat met een berekening zien dat de ijzeren plaat een massa heeft van 4,9 × 103 kg. (4p, VWO) Bereken hoe hoog het muurtje moet zijn wil de boot net blijven drijven.

 

§4     Significante cijfers

In deze paragraaf gaan we bestuderen hoe we in de natuurkunde afronden. Dit doen we met behulp van significante cijfers.

In de natuurkunde werken we met metingen en metingen zijn vaak onnauwkeurig. Het ligt daarom voor de hand dat we cijfers in de natuurkunde afronden op basis van de nauwkeurigheid van de meting. Hoe nauwkeuriger de meting is, op hoe meer getallen we de meetwaarde afronden.

Neem bijvoorbeeld het potlood in de volgende afbeelding. De meeste mensen zullen waarschijnlijk zeggen dat dit potlood een lengte van 11 cm heeft. We kunnen de lengte van het potlood echter nauwkeurig genoeg aflezen, dat we zeker weten dat het eerste getal achter de komma een nul moet zijn. We zeggen daarom dat de lengte van dit potlood 11,0 cm is. We zien hier dus dat bij natuurkunde de nullen achter de komma van belang zijn!

De cijfers waarin we een meetwaarde mogen noteren noemen we significante cijfers. De meetwaarde 11,0 cm bestaat dus uit drie significante cijfers.

Belangrijk is om te weten dat nullen aan de linkerkant van een meetwaarde niet meetellen als significante cijfers. De meetwaarde 0,0040 meter heeft dus slechts twee significante cijfers.

Maar wat nu als we een rekensommetje doen met verschillende meetwaarden? Op hoeveel cijfers moeten we het antwoord van dit sommetje dan afronden? De regel is dat we bij vermenigvuldigen en delen het antwoord schrijven in evenveel significante cijfers als de meetwaarde met het minst aantal significante cijfers. Laten we een voorbeeld bespreken. Stel een auto rijdt 200,0 meter in 20,6 seconden. Als we de snelheid op onze rekenmachine berekenen, dan vinden we:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{200,0}{20,6} = 9,708737864 \text{ m/s}$$

200,0 heeft vier significante cijfers en 20,6 heeft er drie. Drie is het minst, dus we willen het antwoord ook op drie cijfers afronden:

$$ v = \frac{200,0}{20,6} = 9,71 \text{ m/s}$$

Nog een voorbeeld. Stel een ruimteschip vliegt 3000 meter in 2,0 seconden. De snelheid wordt dan:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{3000}{2,0} = 1500 \text{ m/s} $$

3000 heeft vier significante cijfers en 2,0 heeft er twee. Het antwoord willen we dus ook maar in twee cijfers noteren. Maar hoe noteren we het getal 1500 in slechts twee cijfers? Dit doen we met behulp van machten van tien. We schrijven:

$$ v = \frac{3000}{2,0} = 1,5 \times 10^3 \text{ m/s} $$

Machten van tien werken als volgt. 1,5 × 10³ is gelijk aan 1500. Als we een waarde vermenigvuldigen met 10³, dan schuift de komma dus drie plaatsen op naar rechts. Het getal 1,5 × 10^-2 is gelijk aan 0,015. Als we een waarde vermenigvuldigen met 10^-2, dan schuift de komma dus twee plaatsen op naar links.

In de praktijk is het niet nodig om bij elke rekenstap waar je vermenigvuldigt of deelt het antwoord in het juiste aantal significante cijfers te schrijven. Bij het eindantwoord is dit echter wel verplicht! Als je het eindantwoord gevonden hebt, kijk dan terug in de vraag naar alle meetwaarden die je gebruikt hebt en ook naar de waarden uit BINAS die je gebruikt hebt en kijk welke waarde het minst aantal significante cijfers heeft. Schrijf je antwoord dan ook in dit aantal significante cijfers op.

Voor optellen en aftrekken bestaat een andere regel. We kijken na naar het aantal cijfers achter de komma van de gebruikte meetwaarden. We schrijven het antwoord op in evenveel cijfers achter de komma als de meetwaarde met het minst aantal cijfers achter de komma. Stel dat we bijvoorbeeld 15,3 meter optellen bij 0,32 meter, dan vinden we:

$$ 15,3 + 0,32 = 15,6 \text{ m} $$

Omdat 15,3 slechts één cijfer achter de komma heeft, schrijven we het antwoord ook maar met één cijfer achter de komma. Let er wel op dat je de waarden eerst omschrijft naar dezelfde eenheid en met dezelfde tienmacht. Stel dat we 30 × 10^-6 meter optellen bij 3,0 × 10^-4 meter. We kunnen 30 × 10^-6  m herschrijven tot 0,30 × 10^-4 m. Daarna kunnen we optellen:

$$ 0,30 \times 10^{-4} \text{ m} \times 3,0 \times 10^{-4} \text{ m} = 3,3 \times 10^{-4} \text{ m} $$

Naast machten van tien is het soms ook mogelijk om voorvoegsels te gebruiken. Ook deze kan je in BINAS terugvinden. In de onderstaande tabel staan de bekendste voorvoegsels:

G	giga	109
M	mega	106
k	kilo	103
h	hecto	102
da	deca	101
d	deci	10-1
c	centi	10-2
m	milli	10-3
μ	micro	10-6
n	nano	10-9

Met voorvoegsels kunnen we een meetwaarde als 3,45 × 10^-6 m bijvoorbeeld ook schrijven als 3,45 μm.

Er zijn ook getallen in de natuurkunde die wel precies zijn. Neem bijvoorbeeld het aantal leerlingen in een klaslokaal, het aantal ramen in een gebouw, het aantal zijden van een vierkant enzovoorts. We noemen deze precieze getallen telwaarden. Omdat deze waarden precies zijn, hebben ze dus een oneindige hoeveelheid significante cijfers. Als gevolg is het bij berekeningen nooit nodig om naar de significante cijfers van telwaarden te kijken.

In sommige gevallen is het alleen nodig om een grove schatting te maken van een meetwaarde. In dat geval maken we gebruik van de orde van grootte. Bij de orde van grootte ronden we een meetwaarde af op nul significante cijfers. 2,0 × 10³ wordt dan bijvoorbeeld 10³. 7 × 10² wordt 10³ omdat we de “7” omhoog afronden. 50 × 10² wordt 10⁴. Door de “5” omhoog af te ronden vinden we 100 × 10² en dit is gelijk aan 10⁴.

Leerdoelen:

Zorg dat je het aantal significante cijfers van een meetwaarde kan achterhalen. Denk eraan dat nullen aan de linkerkant niet meetellen. Zorg dat je telwaarden kan onderscheiden van andere meetwaarden. Bij telwaarden let je niet op significantie. Zorg dat je waarden in een aantal significante cijfers kan omschrijven met behulp van tienmachten. Zorg dat je weet dat bij vermenigvuldigen en delen het antwoord wordt geschreven in evenveel significante cijfers als de meetwaarde met het minste aantal significante cijfers. Zorg dat je weet dat bij optellen en aftrekken het antwoord wordt geschreven in evenveel cijfers achter de komma als de meetwaarde met het minste aantal cijfers achter de komma. Let er wel op dat je de waarden eerst omschrijft naar dezelfde eenheid en dezelfde tienmacht. Zorg dat je de voorvoegsels in de tabel uit de paragraaf kan gebruiken. Zorg dat je weet dat de orde van grootte van een meetwaarde gelijk is aan de dichtstbij liggende tienmacht.

Opdrachten

(6p) Noteer het aantal significante cijfers van de volgende meetwaarden: 25,0 kg/m3 35600 m 12 km/h 0,350 m/s 0,000001 m 1,000001 m (2p) Beschrijf waar je op moet letten bij het bepalen van het aantal significante cijfers van een meetwaarde. (6p) Geef het aantal significante cijfers of geef aan dat er sprake is van een telwaarde: Een baksteen heeft een massa van 1 kg. De woonkamer heeft 3 grote ramen. De diameter van een cirkel is gelijk aan 2r. Er stromen per seconde 900 000 elektronen door de draad. Er stromen per seconde 900 × 103 elektronen door de draad. De spanning van het stopcontact is gelijk aan 230 V. (8p) Na een berekening geeft je rekenmachine de volgende waarden aan. Schrijf ze in de aangegeven hoeveelheid significante cijfers: Schrijf 2500 in twee significante cijfers. Schrijf 0,0150 in twee significante cijfers. Schrijf 150 in één significant cijfer. Schrijf 3400,8 in drie significante cijfers. Schrijf 1 500 000 in vier significante cijfers. Schrijf 0,00500000 in één significant cijfer. Schrijf 150 × 103 in twee significante cijfers. Schrijf 1800 × 10-5 in twee significante cijfers. (2p) Beschrijf hoe je het aantal significante cijfers bepaalt bij een berekening. Bereken de volgende opdrachten in het juiste aantal significante cijfers: (2p) Een sprinter rent 400,0 m en doet hier 55 seconden over. Bereken de gemiddelde snelheid van de sprinter. (2p) Een kamer heeft een lengte van 25,50 m en een breedte van 14,1 m. Bereken de oppervlakte en de omtrek van de kamer. (3p) Een cirkel heeft een diameter van 15,2 cm. Bereken de omtrek van de cirkel. (2p) Een kamer heeft een lengte van 5 m en een breedte van 3,51 m. Bereken de oppervlakte en de omtrek van de kamer. (1p) Een groenteman weegt eerst 5,0 kg tomaten af en daarna nog 1350 g. Bereken de totale massa van de tomaten. (1p) Een wielrenner fiets eerst 2,50 × 103 m en daarna 3,100 × 105 m. Bereken hoeveel meter de wielrenner in totaal heeft afgelegd. (5p) Een leerling denkt dat de massa van al de lucht in de kamer waarin hij staat zwaarder is dan hijzelf. De kamer heeft een lengte van 10 m, een breedte van 8 m en een hoogte van 2,5 m. Laat met een berekening zien of de leerling gelijk heeft of niet. (4p) Een kamer in een groot huis bevat 3 grote ramen met een lengte van 2,8 meter en een hoogte van 1,8 m. Het nadeel van ramen is dat er veel warmte door verloren gaat. Warmte wordt gemeten in joule en door elke vierkante meter glas blijkt gemiddeld 24 joule per seconde te stromen. Bereken hoeveel warmte er per dag wegstroomt uit de kamer. (4p) Een aquarium heeft een lengte van 60 cm en een breedte van 30 cm. De hoogte van het aquarium is 50 cm. Het aquarium wordt gevuld met water totdat het water op 30 cm hoogte uitkomt. Een kraan wordt aangezet en levert 300 mL water per seconde. Bereken hoelang het duurt voordat het water in het aquarium de gewenste hoogte heeft bereikt.

 

§5     Eenheden afleiden

In deze paragraaf gaan we leren de eenheid van onbekende grootheden te achterhalen. We noemen dit een eenheids-beschouwing, of ook wel een eenheidsbepaling.

Om systematisch met eenheden te werken is een wiskundige notatie bedacht. Neem bijvoorbeeld de zin, "de eenheid van de massa is kilogram". Dit kunnen we wiskundig opschrijven als:

$$ [m] = kg $$

De vierkante haakjes betekenen dus "de eenheid van". We kunnen deze schrijfwijze gebruiken om eenheden van onbekende grootheden te achterhalen. We noemen dit ook wel een eenheidsbeschouwing of een eenheidsbepaling.

Stel bijvoorbeeld dat we de eenheid van de dichtheid willen weten, dan schrijven we:

$$ [\rho] = \frac{[m]}{[V]} = \frac{kg}{m^3}= \text{ kg/m}^3$$

De eenheid van de dichtheid is dus kg/m³.

Laten we nog een paar voorbeelden bespreken. Hieronder zien we de formule voor de versnelling (a):

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$

Stel we willen de eenheid van de versnelling weten, dan doen we:

$$ [a] = \frac{[\Delta v]}{[\Delta t]} = \frac{m/s}{s} = m/s^2 $$

De eenheid van de versnelling is dus m/s².

De formule voor de zwaartekracht (F_z) wordt gegeven door:

$$ F_z = mg $$

Omdat de eenheid van de valversnelling (g) gelijk is aan m/s², vinden we voor de zwaartekracht:

$$ [F_z] = [m][g] = kg \; m/s^2 $$

De eenheid van de kracht is in SI-grondeenheden dus gelijk aan kg m/s². Omdat deze eenheid een behoorlijke mond vol is, hebben we op een gegeven moment gekozen om deze eenheid simpelweg "newton" te noemen. We kunnen nu ook begrijpen waarom je eerder geleerd hebt dat je de massa in kilogram moet invullen in deze formule. Dit komt omdat de kilogram dus in de eenheid newton verstopt zit.

We hadden de formule ook kunnen gebruiken om juist de eenheid van de valversnelling te vinden. Dit doen we als volgt:

$$ [g] = \frac{[F_z]}{[m]} = \frac{N}{kg} = \frac{kg m/s^2}{kg} = m/s^2 $$

Nog een laatste voorbeeld. Hieronder zien we de formule voor de luchtwrijvingskracht:

$$ F_{w,lucht} = \frac{1}{2} k v^2 $$

De k in de formule is een constante en v is de snelheid. Stel we willen de eenheid van deze constante k weten, dan schrijven we de formule eerst om:

$$ k = \frac{2F_{w,lucht}}{v^2} $$

De eenheid van k is:

$$ [k] = \frac{[2][F_{w,lucht}]}{[v^2]} = \frac{N}{m^2/s^2} = \frac{kg m/s^2}{m^2/s^2} = \frac{kg}{m}$$

Merk op dat het cijfer "2" geen eenheid heeft. In de laatste stap hebben we waarden boven en onder de deelstreep tegen elkaar weggestreept. De eenheid van k is dus kg/m.

Leerdoelen:

Zorg dat je eenheden kan achterhalen met een eenheidsbepaling. Noteer hiervoor eerst de formule met rechte haken om elke grootheid. Deze rechte haken staan voor "de eenheid van". Zorg dat je weet dat [F] = N = kgm/s2 en dat je dit in BINAS kan opzoeken.

Opdrachten

(1p) De eenheid van kracht is de newton. Geef de eenheid van kracht in SI-grondeenheden. Gebruik hiervoor de formule Fres = ma. (2p) De zwaartekracht kan worden berekend met de formule Fz = mg. Laat zien dat de eenheid van de constante g geschreven kan worden als N/kg en als m/s2. (2p) De kracht werkend op draaiende voorwerpen wordt gegeven door: $$ F = \frac{mv^2}{r} $$ F staat voor de kracht, m voor de massa, v voor de snelheid en r voor de baanstraal van de cirkelbeweging. Laat zien dat je met deze formule wederom vindt dat N = kgm/s2. De elektrische weerstand van een ijzeren draad is te berekenen met de volgende formule: $$ R = \frac{\rho l}{A} $$ l staat hier voor de lengte van de draad, A staat voor de oppervlakte van de doorsnede van de draad en R staat voor de weerstand gemeten in Ohm. De letter ρ is hier niet de dichtheid maar de zogenaamde soortelijke weerstand. Voor ijzer is de soortelijke weerstand gelijk aan 105 × 10-9 Ωm. (2p) Laat met de formule zien dat de soortelijke weerstand inderdaad wordt gegeven in "Ohm keer meter". (2p) De draad heeft een lengte van 20,0 m en een doorsnede van 7,07 mm2. Bereken de weerstand van de draad. (4p) De luchtwrijvingskracht die werkzaam is op een voorwerp is te berekenen met de volgende formule: $$ F_w = \frac{1}{2}c_wA\rho v^2 $$ A is hier het frontaal oppervlak van het voorwerp, ρ is de dichtheid van de lucht en v is de snelheid. cw is een constante die afhangt van o.a. de vorm van het voorwerp. Laat zien dat deze constante geen eenheid heeft. (3p) In de 18de eeuw mat de wetenschapper Cavendish de zwaartekracht tussen twee zware loden bollen. De zwaartekracht kan worden berekend met deze formule: $$ F_z = \frac{Gm_1m_2}{r^2} $$ G is de zogenaamde gravitatieconstante, r is de afstand tussen de middelpunten van de twee bollen, m1 is de massa van de ene bol en m2 de massa van de andere bol. Vind met behulp van de formule de eenheid van G in SI-grondeenheden. Vind met behulp van de formule de eenheid van G in SI-grondeenheden. (3p) De warmte (Q) in joule die nodig is voor een bepaalde temperatuurstijging (ΔT) van een bepaald voorwerp wordt gegeven door: $$ Q = cm\Delta T $$ Laat zien dat de eenheid van de constante c geschreven kan worden als Jkg-1K-1 en door m2s-2K-1. (4p) De formule voor de trillingstijd van een blokje aan een veer wordt gegeven door: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$ Laat zien dat de eenheid van C gelijk is aan N/m.

 

§6     Formules afleiden (VWO)

In deze paragraaf gaan we leren afleiden. Dit betekent dat we formules die we al kennen gaan combineren tot nieuwe formules.

We kunnen formules ook combineren tot nieuwe formules. We spreken in dat geval van afleiden. Stel we hebben de (betekenisloze) formules A = B × C en B = C². Door de tweede formule in de eerste formule te stoppen (we noemen dit ook wel substitueren), vinden we:

$$ A = B \times C $$ $$ A = C^2 \times C $$ $$ A = C^3 $$

We hebben hiermee dus afgeleid dat in dit geval geldt dat A = C³.

Stel we hebben A = B × C en C = B + A/B. In dat geval vinden we:

$$ A = B \times C $$ $$ A = B \times (B + A/B) $$

Nu werken we de haakjes uit:

$$ A = B^2 + A $$

Als we aan beide kanten A aftrekken, dan houden we over dat 0 = B². We hebben in dit geval dus afgeleid dat:

$$ B = 0 $$

Voorbeeld

Laten we nu een voorbeeld noemen uit de natuurkunde. Vraag: Newton ontdekte in de 17de eeuw de formule "Fres = Δp/Δt", waarbij geldt dat "Δp = mΔv". Tegenwoordig schrijven we de formule als "Fres = ma", waarbij "a" de versnelling is. Leid deze formule af met behulp van de formules van Newton en formules uit BINAS. Antwoord: De versnelling (a) wordt wordt volgens BINAS gegeven door "a = Δv/Δt". Als we dit substitueren in de formule "Fres = ma", dan vinden we: $$ F_{res} = ma = \frac{m\Delta v}{\Delta t} $$ Als we Δp = mΔv hierin substitueren, dan vinden we: $$ F_{res} = \frac{\Delta p}{\Delta t} $$

Leerdoelen:

Zorg dat je formules kan afleiden door formules uit BINAS (of uit de vraag) in elkaar te substitueren.

Opdrachten

Met de rechter afbeelding gaan we de stelling van Pythagoras afleiden. We zien hier vier dezelfde driehoeken met zijden a, b en c. (2p) Laat zien dat het oppervlak (A) van het gehele figuur gelijk is aan: $$ A = (a+b)^2 $$ (3p) Laat tevens zien dat het oppervlak gelijk is aan: $$ A = 2ab + c^2 $$ (2p) Leid met beide formules af dat: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ Archimedes vond rond 260 jaar voor Christus de formule voor de omtrek van een cirkel. Hij deed dit door een cirkel te benaderen met een veelhoek met steeds meer zijden (zie de onderstaande afbeelding). (2p) Laat zien dat voor de driehoek in de linker afbeelding geldt dat: $$ x = \sin{\left(\frac{360^\circ} {2 \times 6}\right)} \times r $$ (1p) Laat zien dat voor de omtrek (O) van de zeshoek geldt dat: $$ O_{zeshoek} = 2 \times 6 \times \sin{\left(\frac{360^\circ} {2 \times 6}\right)} \times r $$ (2p) Laat zien dat we hiermee vinden dat π ≈ 3. Vergelijk de bovenstaande formule hiervoor met de formule voor de omtrek van een cirkel (O = 2πr). (3p) We kunnen de bovenstaande formule als volgt algemener opschrijven zodat deze geldt voor een veelhoek met N hoeken: $$ O_N = 2 \times N \times \sin{\left(\frac{360}{2 \times N}\right)} \times r $$ Benader met deze formule de waarde van π voor de 1000-hoek. Laat zien dat je hiermee π vindt op 6 significante cijfers nauwkeurig. (4p,EXTRA) Archimedes vond ook een formule voor het oppervlak (A) van een cirkel. Leid af dat: $$ A_N = N \times \cos{\left(\frac{360}{2N}\right)} \times \sin{\left(\frac{360}{2N}\right)} \times r^2 $$ (1p,EXTRA) Laat zien dat voor een grote waarde van N geldt dat: $$ A_{cirkel} = \pi r^2 $$ (2p) Voorwerpen die bewegen hebben zogenaamde kinetische energie. De hoeveelheid kinetische energie kunnen we als volgt berekenen: $$ E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2 $$ Laat zien dat we deze formule ook kunnen schrijven als: $$ E_{kin} = \frac{p^2}{2m} $$ Gebruik hierbij dat p = mv. Met zijn relativiteitstheorie bewees Einstein de volgende formule: $$ E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 $$ c is hier de lichtsnelheid en p is de zogenaamde impuls. (3p) Met deze formule liet Einstein zien dat voor een stilstaand deeltje met massa geldt dat: $$ E = mc^2 $$ Leid deze formule af. Neem aan dat de impuls voor deeltjes met massa gelijk is aan p = mv. (3p) Voor lichtdeeltjes (fotonen) geldt: $$ E = pc $$ Leid ook deze formule af. Welke aanname heb je hier gemaakt? Galileo vond in de 17de eeuw voor het eerst een formule die de val van een steen kan beschrijven. Als we deze formule willen afleiden, dan beginnen we met de formule voor de gemiddelde snelheid bij een (gelijkmatige) versnelling: $$ v_{gem} = \frac{v_b+v_e}{2} $$ vb is de beginsnelheid en v2 de eindsnelheid van de steen. (1p) Leg uit waarom deze formule inderdaad de gemiddelde snelheid geeft. (2p) Leid met de formule vgem = Δx/Δt af dat voor een vallende steen geldt dat: $$ v_e = \frac{2\Delta x}{\Delta t} $$ (3p) Leid hiermee af dat: $$ \Delta x = \frac{1}{2}a \Delta t^2 $$ Gebruik hierbij dat a = Δv/Δt en Δv = ve – vb. (2p) Voor een vallende steen geldt a = 9,81 m/s2 Bereken hoelang een steen doet over een val van een hoogte van 100 m. We verwaarlozen de wrijvingskracht.

 

§7     Coördinatentransformaties (VWO)

In deze paragraaf gaan we leren hoe we een formule kunnen opstellen bij verschillende soorten grafieken.

Van een grafiek kunnen we een formule maken. Als een grafiek recht is en door de oorsprong gaat, dan spreken we van een recht evenredig verband. De bijbehorende formule heeft de volgende vorm:

$$y = ax$$

De constante a is hier gelijk aan de helling van de grafiek. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd. De helling wordt gegeven door:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

In het onderstaande voorbeeld vinden we dat de constante a gelijk is aan:

$$ a = \frac{3,5}{6,0} = 0,58 $$

In de onderstaande linker grafiek zien we een kwadratisch verband. De formule hiervoor is:

$$ y = ax^2 $$

We zouden de constante "a" nu kunnen bepalen door een punt op de grafiek te pakken en de bijhorende x- en y-coördinaat in te vullen in de formule. Dit is echter niet de meest nauwkeurige manier om "a" te bepalen. Beter is om van de grafiek eerst een rechte lijn te maken. Dit doen we met behulp van een coördinatentransformatie. In dit voorbeeld doen we dit door als variabele op de x-as niet de "x" te nemen, maar "x²". In dat geval krijgt de formule namelijk wederom een formule van de vorm "variabele 1 = constante × variabele 2" en verwachten we dus een rechte lijn. In de onderstaande tabel hebben we x² uitgerekend voor een aantal waarden. In de grafiek rechtsonder zien we dat deze meetwaarden inderdaad een rechte lijn opleveren.

x (m)	x2 (m2)	y (m)
0,00	0,00	0,00
1,00	1,00	0,25
2,00	4,00	1,00
3,00	9,00	2,25

Als we de helling heel nauwkeurig met een computer laten uitrekenen, dan vinden we in dit geval:

$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2,25}{9,00} = 0,250 $$

We hebben het antwoord hier in drie significante cijfers genoteerd, terwijl de meetwaarden maar in twee significante cijfers gegeven zijn. Dit komt omdat de trendlijn gemaakt is op basis van alle meetpunten en hierdoor worden meetfouten uitgemiddeld. Bij genoeg meetpunten, maakt dit de meting genoeg nauwkeurig voor een extra significant cijfer.

Als je deze grafiek zonder computer afleest, dan mag je slechts twee significante cijfers noteren, omdat je de grafiek maar op twee cijfers nauwkeurig kan aflezen.

In de onderstaande afbeelding zie je nog een aantal andere verbanden die vaak voorkomen. Het is van belang dat je deze verbanden uit je hoofd kent.

Voorbeeld

Vraag: Een leerling bestudeert de relatie tussen de lengte en de slingertijd van een slinger. De resultaten staan in de onderstaande grafiek. De formule voor de slinger is: $$ T = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} \sqrt{L} $$ Bepaal met behulp van een coördinatentransformatie de waarde van g. Antwoord: Aan de vorm van de grafiek zien we dat we te maken hebben met een wortelverband. We hebben dus te maken met een formule van de vorm: $$ T = a \sqrt{L} $$ We kunnen de waarde van "a" nauwkeurig bepalen met behulp van een coördinatentransformatie. Op de x-as schrijven we nu niet L, maar √L: Als we de helling nauwkeurig laten aflezen met een computer, dan vinden we: $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6,00}{2,99} = 2,01 $$ De formule wordt dus: $$ T = 2,01 \sqrt{L} $$ Als we deze formule omschrijven, dan kunnen we de valversnelling g uitrekenen: $$ g= \left( \frac{2\pi}{2,01} \right)^2 = 9,77 \text{ m/s}^2 $$ Dit komt overeen met de verwachtte waarde voor de valversnelling (9,81 m/s2).

Leerdoelen:

Zorg dat je weet dan een rechtevenredig verband beschreven kan worden met "y = ax", waarbij "a" de helling of richtingscoëfficiënt is gegeven door "a = Δx/Δy". Zorg dat je weet dat een kwadratisch verband beschreven wordt met "y = ax2", een omgekeerd evenredig verband met "y = a/x", een omgekeerd kwadratisch verband met "y = a/x2" en een wortelverband met "y = a√x". Zorg ook dat je de vorm van de grafieken kent behorende bij deze verbanden. Zorg dat je coördinatentransformaties kan toepassen om een grafiek van één van de bovenstaande verbanden lineair te maken. Zorg ook dat je met een tabel kan uitrekenen waar de meetpunten in dit nieuwe diagram komen te staan en zorg dat je met het diagram de constante "a" kan bepalen.

Opdrachten

In het onderstaande diagram zijn een aantal meetpunten te zien waarbij gekeken wordt naar de relatie tussen de frequentie (f) en de energie (E) van fotonen (lichtdeeltjes): (2p) De meetwaarden suggereren een recht evenredig verband. Leg uit hoe je dit kan zien. (2p) De formule die bij deze grafiek hoort is: $$ E=hf $$ Bepaal met behulp van de grafiek de constante h. (8p) Een persoon doet onderzoek naar de luchtwrijvingskracht. Hij gebruikt hiervoor een voorwerp met een frontaal oppervlak van 0,050 m2. Zijn metingen staan opgeschreven in de volgende tabel: Snelheid (m/s) Wrijvingskracht (N) 1,0 0,030 2,0 0,103 3,0 0,232 4,0 0,413 5,0 0,645 6,0 0,929 7,0 1,264 8,0 1,651 De luchtwrijvingskracht wordt gegeven door: $$ F = \frac{1}{2}c_w\rho Av^2 $$ ρ is hier de dichtheid van de lucht, A het frontale oppervlak het voorwerp, v de snelheid van het voorwerp en cw een constante die o.a. afhangt van de vorm van het voorwerp. Bepaal met behulp van een coördinaattransformatie de waarde van de constante cw. (6p) In de onderstaande tabel zie je meetresultaten van een experiment waarbij gekeken is naar de trillingstijd van een blokje aan een veer. Telkens zijn blokjes met een verschillende massa gebruikt. Massa (g) Trillingstijd (s) 10 0,063 20 0,089 30 0,109 40 0,126 50 0,140 60 0,154 De bijbehorende formule is: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}} $$ Bepaal met behulp van een coördinatentransformatie de waarde van de constante C. Als je blaast langs de opening van flessen is een toon te horen. Voor sommige soorten flessen wordt de frequentie van het geluid gegeven door: $$ f = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{Vl}} $$ Een leerling wil de geluidsnelheid bepalen met behulp van zo'n fles. De leerling gebruikt een fles met een opening met oppervlak A = 2,54 × 10-4 m2 en een halslengte l = 0,070 m. De leerling vult de fles met water, zodat het volume lucht V in de fles aangepast kan worden. De frequentie van het geluid bij verschillende volumes is hieronder weergegeven in zowel een tabel als een grafiek: V (10-6 m3) f (102 Hz) 94 3,3 172 2,4 298 1,9 448 1,6 630 1,3 (1p) Leg uit wat de eenheid langs de horizontale as moet zijn. (2p) Leg met behulp van de formule uit dat de grafiek een rechte lijn is die door de oorsprong gaat. (2p) Bereken de geluidssnelheid met behulp van de gegeven functie. (1p) Zoals je kunt zien zijn de gemeten frequenties in de tabel in 2 significante cijfers genoteerd, maar de helling van de grafiek staat in 3 significante cijfers genoteerd. Geef de reden voor dit extra significante cijfer. (Bron: examen VWO 2016-2) Een persoon maakt een panfluit met buizen van verschillende lengten en meet elke keer de frequentie (f) en de golflengte (λ). De relatie tussen deze twee grootheden wordt beschreven met de formule v = fλ, waarbij v de geluidsnelheid is. Neem aan dat de geluidsnelheid bij alle frequenties gelijk is. (2p) De persoon heeft de gegevens in het onderstaande diagram genoteerd. De horizontale as is zo gekozen dat de meetpunten een rechtevenredig verband vormen. Noteer de grootheid en eenheid op de horizontale as. (3p) In het diagram is ook bij elk meetpunt een foutmarge weergegeven. Dit geeft aan hoeveel de gemeten frequentie door meetfouten kan afwijken. Trek twee rechte lijnen in het diagram die net binnen alle foutmarges liggen. Bepaal hiermee in twee significante cijfers de minimale en de maximale geluidssnelheid die uit de metingen volgen. (Bron: examen VWO 2023-1)

BINAS:
2	Voorvoegsels
3-5	Grootheden en eenheden
8-12	Dichtheid
31	Eigenschappen planeten
36	Volumes en oppervlaktes
35	Formules