Hoofdstuk 7
Moment (HAVO)
§1 Stabiliteit (NIEUW) §2 Het moment §3 De arm
§1 Stabiliteit
Dit hoofdstuk gaat over draaiende voorwerpen. Als een voorwerp omvalt, dan maakt het een draaibeweging. In deze eerste paragraaf bestuderen wanneer voorwerpen omvallen en wanneer niet.
Om te begrijpen wanneer een voorwerp omvalt en wanneer niet, hebben we de begrippen zwaartepunt en draagvlak nodig. Het zwaartepunt van een voorwerp, ook wel het massamiddelpunt genoemd, is de plek waar het voorwerp in balans is. Neem bijvoorbeeld een homogene balk. Dit is een balk die overal dezelfde dichtheid heeft. In dat geval zit het zwaartepunt netjes in het midden (zie de onderstaande afbeelding). Op deze plek zetten we vaak een dikke punt met de letter Z (voor zwaartepunt) of de letter M (voor massamiddelpunt).
Bij een voorwerp met een ingewikkelde vorm, vind je het zwaartepunt door het voorwerp bijvoorbeeld op je vinger te balanceren. Het zwaartepunt bevindt zich dan op de lijn boven je vinger (zie de onderstaande afbeelding).
(Afbeelding: APN MJM; CC BY-SA 3.0-mod)
Het zwaartepunt is ook de plek waar de zwaartekracht aangrijpt. De vectorpijl van de zwaartekracht starten we dus altijd in het zwaartepunt.
Het oppervlak tussen de verst liggende punten waarop een voorwerp staat noemen we het draagvlak. Een voorwerp valt om als het zwaartepunt van het voorwerp zich niet meer boven het draagvlak bevindt. Dit is duidelijk te zien in de drie linker onderstaande afbeeldingen. Hier is het draagvlak simpelweg gelijk aan de onderzijde van het blok. Bij de stoel in de rechter afbeelding is het draagvlak niet alleen het oppervlak onder de stoelpoten, maar ook het oppervlak ertussen.
(Afbeelding: ... / MET; CC0)
We noemen een voorwerp stabiel als het moeilijk is het voorwerp om te duwen. Een voorwerp is stabieler als het draagvlak breder is en als het zwaartepunt lager ligt. Linksonder zien we het voordeel van een breder draagvlak. We moeten het blok bij een breder draagvlak onder een grotere hoek kantelen om het te laten vallen. Rechtsonder zien we het effect van een lager zwaartepunt op de stabiliteit. Ook bij een lager zwaartepunt moeten we het voorwerp onder een grotere hoek kantelen om het te laten vallen.
Het verlagen van het zwaartepunt voor meer stabiliteit wordt in het dagelijks leven vaak toegepast. Bij een grote parasol wordt de standaard aan de onderkant bijvoorbeeld gevuld met zand. Dit maakt de onderzijde zwaarder en verlaagt dus het zwaartepunt. Als gevolg valt de parasol minder snel om. Nog een voorbeeld. Als je met een caravan op vakantie gaat, dan is het aan te raden om zware spullen op de grond te plaatsen. Dit maakt de caravan stabieler, zodat hij niet met een flinke windvlaag omwaait.
Leerdoelen:
|
|
|
Opdrachten
|
|
§2 Het moment
In deze paragraaf gaan we rekenen met krachten werkende op draaiende voorwerpen. We gebruiken hiervoor het begrip moment. Ook gaan we momentevenwichten bestuderen.
In deze paragraaf gaan we het hebben over het principe van de hefboom. Met een hefboom kan je een kleine kracht omzetten in een grote kracht. In de onderstaande afbeelding wordt dit principe gebruikt bij het openen van verfpotten. Zoals je wellicht uit ervaring weet, gaat het openen van een verfpot veel gemakkelijker met een langere schroevendraaier. In de rechter afbeelding geldt hetzelfde principe. Een moer omdraaien met alleen je hand is lastig, maar als je de lengte van een sleutel gebruikt, dan kost dit weinig kracht.
Een hefboom heeft altijd een draaipunt. Dit is duidelijk te zien bij een wip. In de afbeelding linksonder zien we twee personen met gelijke massa die op gelijke afstanden van het draaipunt zitten. De wip is nu in evenwicht. In de rechter afbeelding gaat de linker persoon iets verder van het draaipunt zitten en als gevolg zal de wip aan deze kant dalen. Er geldt dus: hoe verder de persoon van het draaipunt gaat zitten, hoe meer invloed de persoon heeft op de draaiing van de wip. We zeggen in zo'n geval dat de persoon dan een groter moment uitoefent op de wip.
We kunnen het moment als volgt berekenen:
$$ M = F \times r $$
|
De arm (r) is grofweg de afstand van het draaipunt tot de kracht die op het voorwerp werkt. In de volgende paragraaf gaan we nog een iets preciezere definitie van de arm tegenkomen.
|
EXPERIMENT
| ||
|
Als een voorwerp in evenwicht is, dan is de som van de momenten die het voorwerp linksom pogen te draaien gelijk aan de som van de momenten die het voorwerp rechtsom pogen te draaien. In formuletaal wordt dit:
$$ \Sigma M_{L} = \Sigma M_{R} \;\;\;\; \text{(evenwicht)}$$
|
|
EXPERIMENT
| ||
|
Een bekend voorbeeld waar momenten een belangrijke rol spelen is de hijskraan. Deze gigantische kranen kunnen zware voorwerpen optillen zonder om te vallen. Dit kan omdat de kraan in evenwicht wordt gehouden door een contragewicht (zie de onderstaande afbeelding). Door de positie van dit contragewicht te verplaatsen, en dus de arm te veranderen, kan de kraan telkens in evenwicht worden gehouden.
|
Voorbeeld
|
|
Vraag: In de onderstaande afbeelding zijn drie blokjes van 50 gram opgehangen aan een balans. Laat zien dat de blokjes in evenwicht hangen. De afstand tussen de gaatjes waaraan de blokjes hangen is 2,5 cm.
Antwoord: Voor de massa van de linker en de rechter blokjes geldt: mlinks = 50 g = 0,050 kg mrechts = 50 × 2 = 100 g = 0,100 kg Hiermee kunnen we de zwaartekracht uitrekenen: $$ F_z = mg $$ $$ F_{z,links} = 0,050 \times 9,81 = 0,4905 \text{ N} $$ $$ F_{z,rechts} = 0,100 \times 9,81 = 0,981 \text{ N} $$De arm (r) is de afstand van het draaipunt tot de plek waar de blokjes aan de balans trekken. In de onderstaande afbeelding zijn beide armen getekend. 
De afstand tussen twee gaatjes is 2,5 cm. We vinden dus: rlinks = 4 × 2,5 = 10,0 cm rrechts = 2 × 2,5 = 5,0 cm Nu kunnen we het moment in beide gevallen uitrekenen: $$ M = F \times r $$ $$ M_{links} = 0,4905 \times 10,0 = 4,9 \text{ Nm} $$ $$ M_{rechts} = 0,981 \times 5,0 = 4,9 \text{ Nm} $$De momenten zijn gelijk, dus de blokjes hangen inderdaad in evenwicht.
|
|
Voorbeeld
|
|
Vraag: In de volgende afbeelding tilt een persoon een bank op die op een verhoging ligt. De bank is van poot tot poot 4,0 m lang en heeft een massa van 10 kg. Bereken de spierkracht die de persoon moet uitoefenen om de bank in horizontale positie te houden.
Antwoord: Het zwaartepunt van de bank bevindt zich in het midden van de bank. Op deze plek tekenen we dan ook de zwaartekracht (zie de rechter afbeelding). De arm van de zwaartekracht is de afstand van het draaipunt tot de zwaartekracht. Omdat de zwaartekracht in het midden van de bank werkt, is de bijbehorende arm dus 4,0 / 2 = 2,0 m lang. De afstand van het draaipunt tot de spierkracht is 4,0 meter. De afstand van het draaipunt tot de spierkracht is 4,0 meter. De arm van de spierkracht is 4,0 m.
Dan maken we gebruik van het momentenevenwicht: $$ M_{links} = M_{rechts} $$De kracht die de bank linksom probeert te draaien is de spierkracht en de kracht die de bank rechtsom probeert te draaien is de zwaartekracht. Er geldt dus: $$ M_{spier} = M_z $$ $$ F_z \times r_z = F_{spier} \times r_{spier} $$We vullen nu de gegevens zo veel mogelijk in. Aan de rechterzijde gebruiken we Fz = mg: $$ F_{spier} \times 4 = 10 \times 9,81 \times 2 $$Als we de linker zijde uitrekenen, dan vinden we: $$ F_{spier} \times 4 = 196,2 $$Hiermee kunnen we de spierkracht uitrekenen: $$ F_{spier} = \frac{196,2}{4} = 49 \text{ N} $$
|
|
Voorbeeld
|
|
Vraag: Om een moer los te draaien is een bepaald moment nodig. Een persoon kan dit moment leveren door een kracht uit te oefenen op punt A en punt B van de rechter sleutel. Leg uit in welk geval de persoon een grotere kracht moet uitoefenen.
Antwoord: De arm op punt B is langer. Volgens de formule "M = Fr" is bij een gelijk moment en een grotere arm de kracht die nodig is kleiner. $$ \overset{\raisebox{0.5ex}{\(\scriptstyle =\)}}{M} = \overset{\raisebox{0.5ex}{\(\scriptstyle \downarrow\)}}{F} \times \overset{\raisebox{0.5ex}{\(\scriptstyle \uparrow\)}}{r} $$
|
INSTRUCTIE:
Momentenevenwicht
|
Leerdoelen:
|
|
|
Opdrachten
|
|
§3 De arm
In deze paragraaf gaan we het begrip arm iets nauwkeuriger definiëren. We kunnen hiermee met complexere momentevenwichten rekenen.
Nu is het tijd voor de iets nauwkeurigere definitie van de arm. Hieronder zien we links een kracht en het bijbehorende draaipunt. Om de arm te vinden tekenen we de lijn van de kracht eerst door in beide richtingen (zie de middelste afbeelding). We noemen dit de werklijn van de kracht. De arm voldoet dan aan de volgende twee eisen:
- De arm loopt van het draaipunt tot aan de werklijn van de kracht.
- De arm staat loodrecht op de werklijn van de kracht.
We hebben deze definitie hieronder toegepast. We zien hier een uithangbord dat omhoog gehouden wordt met een touw. De arm van de spankracht in het touw loopt hier van het draaipunt tot de werklijn van de spankracht en staat ook loodrecht op de werklijn. Deze arm voldoet dus aan de bovenstaande definitie.
|
Voorbeeld
|
|
Vraag: Een persoon tilt aan één zijde een bank op met een massa van 15 kg (zie de onderstaande afbeelding). In de afbeelding is ook de spierkracht weergegeven die de persoon uitoefent. Bepaal de grootte van deze kracht. De afbeelding is op schaal weergegeven.
Antwoord: Het zwaartepunt van de bank bevindt zich in het midden van de bank. Op deze plek tekenen we dan ook de zwaartekracht. In de rechter afbeelding zien we de arm van de zwaartekracht (rz) en de arm van de spierkracht (rspier) getekend. Merk op dat in beide gevallen de arm loopt van het draaipunt tot de werklijn van de kracht en dat de arm loodrecht op deze werklijn staat.
Dan maken we gebruik van het momentenevenwicht: $$ M_z = M_{spier} $$ $$ F_z \times r_z = F_{spier} \times r_{spier} $$Omdat de afbeelding op schaal is afgebeeld, mogen we meten in de tekening. De arm van de spierkracht is 3,9 cm en de arm voor de zwaartekracht is 1,55 cm. We vullen dit in: $$ F_{spier} \times 3,9 = 15 \times 9,81 \times 1,55 $$Als we hiermee Fspier uitrekenen, dan vinden we: $$ F_{spier} = 58 \text{ N} $$
|
INSTRUCTIE:
De arm
|
Leerdoelen:
|
|
|
Opdrachten
|
|
