Bij deze grafiek hoort de volgende formule:

In de formule zien we in de macht twee tijden genoemd. Omdat deze door elkaar gedeeld worden heeft deze macht geen eenheid. Het voordeel hiervan is dat we niet gebonden zijn aan SI-eenheden. Je kan in de formule beide tijden dus ook best in bijvoorbeeld jaren invullen.

De formule wordt ook vaak herschreven tot:


De linkerkant van de vergelijking geeft nu aan hoeveelste deel van het oorspronkelijke aantal kernen nog over. Als op een bepaald moment geldt dat N/N₀ = 0,09, dan weten we bijvoorbeeld dat nog 9% van de kernen over is.

Als we de tijd of de halveringstijd willen uitrekenen, dan moeten we gebruik maken van het logaritme. Eerst nemen we aan beide kanten de logaritme: $$ \log{\frac{N}{N_0}} = \log{\left( \frac{1}{2} \right)^{t/t_{1/2}}} $$ De macht kan nu uit de logaritme gehaald worden: $$ \log{\frac{N}{N_0}} = t/t_{1/2} \times \log{\left( \frac{1}{2} \right)} $$

Het aantal deeltjes N kunnen we ook achterhalen met behulp van de massa van de radioactieve stof. Stel we hebben bijvoorbeeld 12 μg Uranium-238, om hoeveel kernen gaat het dat? We zoeken in dat geval in BINAS op wat de atoommassa van dit isotoop is. We vinden dan: $$ m = 238,05 \text{ u} $$ De u is hier de zogenaamde atomaire massa-eenheid. Als we dit willen omschrijven naar kilogram, dan gebruiken (zie BINAS 7B): $$ 1 \text{ u} = 1,6605 \times 10^{-27} \text{ kg} $$ Voor het uranium-238 isotoop vinden we dan: $$ 238,05 \times 1,6605 \times 10^{-27} = 3,9528 \times 10^{-25} \text{ kg} $$ Als we nu het aantal deeltjes willen weten in 12 μg Uranium-238, dan delen we deze massa door de massa van één kern. We vinden: $$ \frac{12 \times 10^{-9}}{3,9528 \times 10^{-25}} = 3,0 \times 10^{16} \text{ kg} $$ We hebben hier gebruikt dat: $$ 12 \;\mu\text{g} = 12 \times 10^{-6} \text{ g} = 12 \times 10^{-9} \text{ kg} $$

De activiteit neemt gedurende de tijd af volgens de volgende formule:
Ook bij deze formule hoort een grafiek van dezelfde vorm (zie de onderstaande afbeelding). Met behulp van deze grafiek kan het aantal deeltjes bepaald worden door het oppervlak onder de grafiek te bepalen.

We kunnen de activiteit ook uitrekenen met het aantal deeltjes N op een bepaald moment. Hiervoor gebruiken we deze formule:
Belangrijk is dat bij deze formule de tijd altijd in seconde gegeven moet worden.

Nu tijd voor een rekenvoorbeeld. Hieronder zien we het verval van een loodisotoop in een thalliumisotoop. We zien dat de hoeveelheid loodatomen in de tijd afneemt. Dit zorgt in eerste instantie voor een toename van de hoeveelheid thalliumatomen. Thallium is echter zelf ook instabiel en vervalt dus zelf ook. Vandaar dat de hoeveelheid thallium op den duur ook begint af te nemen.

Stel we willen weten op welk moment de activiteit van thallium het grootst is. In eerste instantie lijkt het nodig om te kijken naar het moment dat de helling van de grafiek het grootst is. Het probleem is echter dat de grafiek van thallium niet alleen het verval weergeeft, maar tegelijkertijd ook het ontstaan van nieuwe thalliumatomen. Het antwoord is dat de activiteit maximaal is als de hoeveelheid thallium maximaal is. Hoe meer deeltjes er zijn, hoe meer er ook zullen vervallen binnen een bepaalde tijd. Dit komt dus overeen met de piek van de grafiek.

Stel we willen weten hoe groot de activiteit van thallium op dit moment is. Op dit moment loopt de grafiek even horizontaal. Dat wil zeggen dat de hoeveelheid thallium op dat moment even constant was. Dit wil zeggen dat er gedurende deze periode evenveel thallium verviel als dat er ontstond. Het lood heeft op dit moment dus dezelfde activiteit als het thallium. Bij de grafiek van thallium konden we de raaklijnmethode niet gebruiken, maar bij de grafiek van lood wel. Dit is hieronder gedaan: $$ \frac{3,2\times 10^6}{2,7 \times 10^3\times 60} =20 Bq $$

Als de hadden geweten om welk thalliumisotoop het hier ging, dan hadden we de halveringstijd op kunnen zoeken en dan hadden we de activiteit ook direct kunnen bepalen door het maximaal aantal thalliumkernen in deze formule te stoppen: $$ A = \frac{ln 2}{t_{1/2}} N. $$

---

Zorg dat je de halveringstijd kan bepalen uit een (N,t)-diagram en dat je kan werken met de formule \(N = N_0 (1/2)^{t/t_{1/2}} \). Zorg ook dat je deze formule kan omschrijven.

---

1. 1. Bepaal de halveringstijd van technetium-100 met behulp van de volgende grafiek:
      
   2. Stel dat je 10 gram hebt van de stof die beschreven staat in het bovenstaande diagram. Hoeveel heb je hiervan na 10 minuten nog over?
2. In het volgende diagram wordt het verval van een radioactieve stof beschreven. Maak het ontbrekende deel van de grafiek af:
3. Het isotoop nikkel-63 vervalt door betaverval in koper-63. Stel je hebt 1,60 gram nikkel-63.
   1. Bereken hoe lang duurt het voordat je nog slechts 0,0500 gram over hebt.
   2. Bereken hoeveel deeltjes er in deze tijd vervallen zijn. Zoek hiervoor eerst in tabel 25 de massa van het nikkel-63-isotoop op.
4. Het isotoop kalium-42 vervalt door betaverval in calcium-42. Stel dat je in het begin 2,4 microgram hebt.
   1. Bereken hoe lang het duurt voordat je nog slechts 0,15 microgram over hebt?
   2. Bereken het aantal deeltjes kalium-42 waarmee je begon en gebruik dit voor het tekenen van een (N,t)-diagram.
5. Een stukje tin bevat een kleine hoeveelheid tin-121. Deze isotoop vervalt onder uitzending van een betadeeltje. Hoeveel procent van het oorspronkelijke tin-121 is er nog over na 5 dagen?
6. Er worden restanten gevonden van een boom van 40.000 jaar oud. De koolstof-14 die ooit aanwezig was is voor een groot deel verdwenen. Hoeveel procent van de oorspronkelijke koolstof-14 zit er nu nog in de boom?
7. Klas 4 Een mummie wordt gevonden in een houten sarcofaag. De leeftijd van het hout wordt gevonden met behulp van koolstofdatering met behulp van het isotoop C-14. Uit een chemische analyse blijkt dat in de loop van de jaren 35% van C-14 vervallen is. Bereken hoeveel jaar voor Christus de mummie begraven is.
8. Klas 4 Een kerncentrale produceert een bepaalde hoeveelheid radioactief afval. De belangrijkste radioactieve stof in het afval is kobalt-60. Hoe lang duurt het totdat slechts 1/250ste deel van de radioactieve stof over is gebleven?
9. Vul het online logboek aan. Schrijf hier in ieder geval iets over het aflezen van de halveringstijd en over de verschillende manieren waarom je de formule \(N = N_0 (1/2)^{t/t_{1/2}} \) kan gebruiken.



---

Zorg dat kan de activiteit kan bepalen met behulp van een (N,t)-diagram en dat je kan werken met \(A = -\Delta N/\Delta t\) en \(A = A_0 (1/2)^{t/t_{1/2}} \) (en \( A = N ln (2) /t_{1/2} \) voor VWO).

---

10. Wat verstaan we onder de activiteit van een radioactieve bron?
11. Wat gebeurt er met de activiteit van een bron als je een halveringstijd wacht. Licht je antwoord toe.
12. Een radioactieve bron heeft een activiteit van 4,5 × 10³ Bq en een grote halveringstijd. Hoeveel atoomkernen vervallen in 10 minuten?
13. In een radioactieve bron vervallen in 1 minuut gemiddeld 3000 kernen. Bereken de gemiddelde activiteit van deze bron.
14. Klas 4 Hieronder zien we het (N,t)-diagram van het verval van technetium-100:
    
    1. Bepaal de activiteit op tijdstip t = 0 met behulp van een raaklijn.
    2. (VWO) Bepaal de activiteit op tijdstip t = 0 met behulp van de formule A = N ln(2)/t_1/2. Laat zien dat je op hetzelfde antwoord komt.
    3. Bepaal de activiteit op tijdstip t = 30s met behulp van een raaklijn.
    4. Bepaal de activiteit op tijdstip t = 30s met behulp van A = A₀(1/2)^t/t1/2. Gebruik hiervoor het antwoord van vraag a.
15. In het onderstaande figuur zien we het proces van kernsplijting weergegeven dat zich in een kerncentrale afspeelt. In het schema staan op drie plaatsen stippeltjes.
    
    1. Vul in de figuur op de drie plaatsen van de stippeltjes de naam van de kern met zijn massagetal in of de naam van het betreffende deeltje.
    2. Bij een moderne kerncentrale vervult het koelwater onder meer de functie van moderator. Leg uit wat een moderator doet.
    3. Aan de moderator wordt soms ook boorzuur toegevoegd. Dit heeft als gevolg dan een deel van de neutronen door boor-10-kernen ingevangen wordt. Bij deze reactie ontstaat tritium (H-3) en helium. Noteer de bijbehorende kernvervalvergelijking.
    4. Tritium is zelf ook weer radioactief. Op een gegeven moment zitten er 1,8 x 10²² deeltjes tritium in de moderator. Teken een (N,t)-diagram en bepaal hiermee de activiteit op tijdstip t = 0s.
    5. Klas 4 (VWO) Tritium is zelf ook weer radioactief. Op een gegeven moment zitten er 1,8 x 10²² deeltjes tritium in de moderator. Bereken de activiteit van deze hoeveelheid tritium.
16. Om een onderzoek aan β^--straling te doen heeft een leerling een radioactieve bron met P-32 laten maken. Hierbij is 1,0 gram P-32 gebruikt. Ten tijde van het onderzoek heeft de bron nog een activiteit van 2,5 x 10¹² Bq.
    1. 4 VWO Bereken de tijd tussen het maken van de bron en het onderzoek.
    2. 3 VWO, HAVO Bereken hoeveel deeltjes er aan het begin in de radioactieve bron zitten.
    3. 4 HAVO Ten tijde van het maken van de bron heeft de stof een activiteit van 1,05 × 10¹⁶ Bq. Bereken de tijd tussen het maken van de bron en het onderzoek.
17. Nucleaire batterijen zijn spanningsbronnen die β^--straling gebruiken om elektrische energie op te wekken. Door hun zeer kleine afmetingen zijn ze bijzonder geschikt voor microprocessoren in computers en in pacemakers. De β^--straling komt uit een radioactieve bron die bestaat uit een plaatje met nikkel-63.
    1. Geef de reactievergelijking voor het verval van nikkel-63.
    2. Het principe van een nucleaire batterij wordt toegelicht met behulp van de onderstaande afbeelding. Een aantal β^--deeltjes uit het plaatje met nikkel-63 treft een koperplaatje en wordt daar geabsorbeerd. Het koperplaatje is bevestigd aan een isolerend trilplaatje dat goed kan buigen. Aan het isolerend trilplaatje is ook een piëzoelektrisch element bevestigd. Dit element geeft bij vervorming een elektrische spanning af.
       
       
       Leg uit dat het trilplaatje gaat trillen.
    3. Klas 4 Op een gegeven moment zitten er 2,27 × 10²⁰ deeltjes nikkel-63 in het plaatje. Bereken de massa van het nikkel-63 in het plaatje, uitgedrukt in kg.
    4. 4 VWO De activiteit van het nikkel-63 in het plaatje is op een gegeven moment 5,0 x 10¹⁰ Bq. Bereken de massa van het nikkel-63 in het plaatje, uitgedrukt in kg.
    5. Bij het verval van een nikkel-63-kern komt per vervalreactie 62 keV aan kernenergie vrij. Het rendement van de omzetting van kernenergie naar elektrische energie is bij dit proces 4,0%.
       Bereken het elektrisch vermogen van de batterij op dat moment.
    6. Klas 4 Een nucleaire batterij is toegepast in een pacemaker. Zolang het vermogen van de nucleaire batterij meer dan 90% is van het vermogen bij de productie, kan hij worden gebruikt. Het rendement blijft bij het teruglopen van het vermogen gelijk.
       Bereken hoe lang na de productie de nucleaire batterij vervangen moet worden.
18. 4 VWO De isotoop Tl-201 wordt gebruikt in de nucleaire geneeskunde, onder andere bij de diagnose van problemen aan het hart. Tl-201 wordt in het bloed gespoten en bereikt de gezonde delen van het hart. Met een camera die gevoelig is voor de uitgezonden straling wordt dan een foto van het hart gemaakt. Zieke delen van het hart en omgeving nemen geen Tl-201 op en zijn niet zichtbaar op een dergelijke opname. Tl-201 wordt gemaakt door het in de natuur voorkomende Tl-203 met protonen te beschieten. Een proton dat een kern van Tl-203 treft, veroorzaakt een kernreactie, waarbij een kern van Pb-201 ontstaat en een aantal neutronen.
    1. Geef de reactievergelijking van deze kernreactie.
    2. De loodisotoop Pb-201 vervalt vervolgens tot Tl-201. Het Tl-201 vervalt verder, waarbij het onder andere γ-straling uitzendt. Op het tijdstip t = 0 zijn er alleen kernen van Pb-201. In figuur 2 staat het aantal kernen Pb-201 en Tl-201 als functie van de tijd.
       
       Op een bepaald moment is de activiteit van het Tl-201 maximaal. Bepaal met behulp van de figuur de grootte van de activiteit van het Tl-201 op dat moment.
19. Klas 4 Tijdens de maanmissies in de jaren 60 en 70 van de vorige eeuw zijn stenen van de maan meegenomen naar de aarde. Deze stenen zijn tijdens de vorming van de maan ontstaan door het stollen van magma. Tijdens het stollen zijn diverse soorten isotopen ingesloten in de steen, waaronder de instabiele isotoop Rb-87. Rb-87 vervalt tot het stabiele Sr-87. Bij deze vervalreactie wordt een deeltje uitgezonden.
    1. Welk deeltje komt bij de vervalreactie vrij? Leg uit hoe je op je antwoord komt.
    2. 4 VWO Dankzij deze vervalreactie is het voor een onderzoeker mogelijk om de leeftijd van één van deze stenen te bepalen. Hiervoor moet eerst de halveringstijd van Rb-87 bekend zijn. De halveringstijd van Rb-87 is groter dan de ouderdom van de aarde en hierdoor is de activiteit van Rb-87 tijdens een mensenleven nagenoeg constant.
       De onderzoeker bepaalt van 1,0 mg Rb-87 de activiteit. Deze is 3,09 Bq. De onderzoeker vindt vervolgens een halveringstijd van 4,9 x 10¹⁰ jaar. Toon dat aan met een berekening.
    3. Voor de leeftijdsbepaling zaagt de onderzoeker de steen in negen even grote stukken. Van ieder stuk wordt het aantal instabiele Rb-87 kernen en het aantal stabiele Sr-87 kernen (het vervalproduct van Rb-87) bepaald.
       Ondanks dat de stukken steen hetzelfde volume hebben, blijkt het aantal Rb-87 en Sr-87 kernen niet in ieder stuk hetzelfde te zijn. De verdeling van de kernen door de steen was dus niet overal gelijk. Voor ieder stuk steen P1 tot en met P9 is in het volgende diagram het aantal kernen Sr-87 uitgezet tegen het aantal kernen Rb-87.
       
       
       Met behulp van de steilheid van de lijn in deze afbeelding kan de onderzoeker de leeftijd t van de hele steen bepalen.
       Bepaal de leeftijd van de steen. Gebruik hiervoor de volgende formule: $$ helling = \frac{ln(2)t}{t_{1/2}} $$
    4. Naarmate de steen ouder wordt, vervallen er meer kernen. De plaats van meetpunt P5 schuift daardoor op in het diagram. In de onderstaande figuur zijn vier mogelijke verplaatsingen weergegeven:
       
       
       Welke pijl geeft de juiste verplaatsing aan van punt P5 tijdens het verouderen van de steen? Licht je antwoord toe.
20. Klas 4 In Petten staat een kerncentrale waar isotopen voor medische toepassingen worden geproduceerd. Eén van de belangrijkste producten is molybdeen-99 (Mo-99). Mo-99 wordt geproduceerd door een neutron in de kern van een andere isotoop te schieten.
    1. Stel deze kernvervalvergelijking op.
    2. Mo-99 wordt naar ziekenhuizen getransporteerd. Ondertussen vervalt een deel tot technetium-99m, dat gebruikt wordt voor medische behandelingen. Iedere keer als men Tc-99m nodig heeft voor een behandeling, wordt dit afgescheiden van het molybdeen. In ziekenhuizen wordt wekelijks een nieuwe voorraad Mo-99 aangevoerd.
       Bereken hoeveel procent van de oorspronkelijke hoeveelheid Mo-99 er na een week nog over?
    3. Tc-99m is metastabiel. Dit betekent dat de protonen en neutronen in de kern van een Tc-99m atoom zich kunnen herschikken tot een toestand met een lagere energie. Bij het verval van Tc-99m naar Tc-99 komt een foton vrij.
       
       Door deze fotonen is Tc-99m geschikt als tracer. Een tracer is een radioactieve stof die in het lichaam gebruikt kan worden om bijvoorbeeld de locatie van tumoren te achterhalen. Een voorwaarde voor een radioactieve tracer is dat de totale activiteit voor de patiënt zo laag mogelijk blijft. Een arts kan voor een behandeling kiezen uit tracers met verschillende halveringstijden.
       
       In de onderstaande afbeelding staat het verval in de eerste 12 uur voor Tc-99m. In de figuur is ook het verval voor twee tracers met andere halveringstijden weergegeven.
       
       
       Voor een bepaalde diagnose is 3,0 uur na het toedienen van de radioactieve tracer (N = 1,0 x 10¹² op t = 0 uur) een activiteit nodig van minimaal 2,0 x 10⁷ Bq.
       
       Bepaal met behulp van de afbeelding of Tc-99m aan deze eis voldoet.
    4. Leg met behulp van de figuur uit waarom er meer tracer toegediend moet worden bij stoffen met halveringstijden van 60 uur en 0,6 uur om tot dezelfde activiteit te komen 3,0 uur na het toedienen.
21. Vul het online logboek aan. Schrijf hier in ieder geval iets over het gebruik van de raaklijn en de formules.