In deze paragraaf gaan we leren rekenen met de lenzenformule. Met deze formule gaan we leren berekenen wat we in de vorige paragraaf nog met een tekening moesten oplossen.

In de onderstaande afbeelding is links een voorwerp getekent (een blauwe pijl) en rechts zien we dit voorwerp afgebeeld op een scherm. De afstand van de lens tot het voorwerp noemen we de voorwerpafstand (v) en de afstand van de lens tot het beeld noemen we de beeldafstand (b). De grootte van het voorwerp noemen we V en de grootte van het beeld noemen we B.

Met deze afstanden kunnen we de vergroting (N) berekenen. Dit kunnen we doen met elk van deze twee formules:

$$ N = \frac{B}{V} $$ $$ N = \frac{b}{v} $$
Vergroting N -
Beeldafstand (b) meter (m)
Voorwerpafstand (v) meter (m)
Grootte van beeld (B) meter (m)
Grootte van voorwerp (V) meter (m)

Als de vergroting N bijvoorbeeld gelijk is aan 2, dan is het beeld twee keer zo groot als het voorwerp. Als N = 0,5 dan is het beeld twee keer zo klein als het voorwerp. Zoals je kunt zien heeft de vergroting geen eenheid.

Met de voorwerpafstand en de beeldafstand kunnen we ook de afstand van de lens tot het brandpunt bepalen. We noemen dit de brandpuntsafstand (f). In de onderstaande afbeelding zien we zowel de twee brandpunten als de brandpuntsafstand weergegeven:

De brandpuntsafstand kunnen we als volgt berekenen:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{v} $$
Brandpuntsafstand (f) meter (m)
Beeldafstand (b) meter (m)
Voorwerpafstand (v) meter (m)

We noemen dit de lenzenformule.

Laten we twee voorbeelden bespreken om te leren rekenen met deze formule. Stel je wilt een scherpe foto maken van een potlood. De voorwerpsafstand is 50 cm en de beeldafstand is 5 cm. Wat is in dat geval de brandpuntsafstand? Eerst vullen we de formule in en rekenen de de rechter zijde uit:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{5} + \frac{1}{50} $$ $$ \frac{1}{f} = 0,22 $$

We houden nu een formule over die we om kunnen schrijven. We vinden:

$$ \frac{1}{0,22} = 4,5 cm $$

De brandpuntsafstand is dus 4,5 cm.

Nog een voorbeeld. Stel we hebben een lens met een lenssterkte van 30 dpt. De voorwerpafstand is 8 cm. Hoeveel is het beeld verwijderd van de lens?

We willen uiteindelijk dus de beeldafstand weten. Eerst rekenen we met de lenssterkte de brandpuntsafstand uit:

$$ f = \frac{1}{S} $$ $$ \frac{1}{30} = 0,033 m $$

Let er op dat bij deze formule het antwoord altijd in meter wordt gegeven. We kunnen met deze formule nu de beeldstandafstand uitrekenen. Eerst vullen we de formule in:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{v} $$ $$ \frac{1}{0,033} = \frac{1}{b} + \frac{1}{0,08} $$ $$ 30 = \frac{1}{b} + 12,5 $$

We zien hier dat 1/b gelijk moet zijn aan 30 - 12,5 = 17,5. Er geldt dus:

$$ 17,5 = \frac{1}{b} $$

Deze formule kunnen we omschrijven en oplossen:

$$ \frac{1}{17,5} = 0,057 m $$

De beeldafstand is dus 0,075 m, oftewel 7,5 cm.





Training
    Rekenen met de lenzenformule

    De Vergroting:
  1. Een leerling maakt een foto van de Eiffeltoren met haar mobiel. De toren is 324 m hoog en past precies op de foto. De beeldchip in de camera is 11 mm groot. Bereken de vergroting.
  2. Een leerling leest een boek. De afstand tussen het boek en haar oog is 30 cm. De afstand tussen de ooglens en het netvlies is 1,7 cm.
    1. Bereken de vergroting
    2. In het boek staat een afbeelding van 3,8 cm groot. Hoe groot is het beeld van deze afbeelding op haar netvlies?
  3. Een fotocamera heeft een beeldchip met een grootte van 35 mm. Je fotografeert een wolkenkrabber van 821 m hoog. De wolkenkrabber past precies op de foto als je op een afstand van 121 m gaat staan. Bereken de beeldafstand.
  4. Een projector heeft een LCD-dia met een grootte van 35 mm. Op het scherm, dat op een afstand staat van 400,0 cm van de lens, verschijnt een beeld met een grootte van 250,0 cm. Bereken de voorwerpafstand.


    5. De Lenzenformule:
  5. Een leerling houdt een paperclip van 3,0 cm op een afstand van 10 cm voor zijn ogen. Hij kan de paperclip dan nog net scherp zien. De afstand tussen de ooglens en het netvlies is 1,7 cm.
    1. Vind met behulp van een tekening de brandpuntsafstand.
    2. Vind met behulp van de formule de brandpuntsafstand.
    3. Bereken de lenssterkte.
    4. Bereken met b/v=N en B/V=N de vergroting. Ga na dat je in beide gevallen hetzelfde antwoord vindt.
  6. Een voorwerp staat op 30 cm van een lens. Er wordt een beeld gevormd op 800 mm van de lens. Bereken de lenssterkte.
  7. Leg uit waarom het maken van een constructietekening bij een telescoop of microscoop zo goed als onmogelijk is en je dus wel moet gaan rekenen.


    8. Gemengde opdrachten:
  8. Een leerling heeft een digitaal fototoestel gekocht. In de gebruiksaanwijzing staat vermeld dat de camera een brandpuntsafstand heeft van 70 mm. Om een scherp beeld te krijgen wordt de afstand van de lens tot de CCD (de lichtgevoelige plaat) op 71 mm ingesteld. Wat is de vergroting van het voorwerp.
  9. Een voorwerp van 2,0 cm hoogte staat 5,0 cm voor een bolle lens met een sterkte van 40 dpt.
    1. Bereken de vergroting.
    2. Ga met een tekening na dat je antwoord klopt.
  10. Met een verrekijker wordt naar een voorwerp op 200 meter afstand gekeken. De lenssterkte van de lens is 15 dpt. Wat is de vergroting van het voorwerp.
  11. (VWO) Met de camera in je mobiele telefoon kun je een voorwerp van 0,60 m op 1,0 m afstand precies op de foto nemen. De CCD-chip in de camera is 0,72 cm groot. Hoe groot is de brandpuntsafstand van de lens?
  12. (VWO) Door een microscoop wordt naar een rode bloedcel van 7,5 μm gekeken (1 μm = 0,000001 m). Het beeld van de bloedcel dat is afgebeeld op een lichtgevoelige plaat heeft een grote van 1,5 mm. De afstand van de lens tot de bloedcel is 0,7 mm. Bereken de brandpuntsafstand van de lens van de microscoop.
  13. (VWO) De LCD-dia in een projector is 35 mm groot. De grootte van het beeld is 2,24 m. De afstand tussen het voorwerp en het scherm is 4,21 m. Bereken de voorwerpafstand en de beeldafstand.
  14. Vul het learning log aan voor deze paragraaf.