KLAS 4V / 5H

Voor Newton dachten wetenschappers dat de natuurwetten op aarde anders waren dan de natuurwetten in de ruimte. In de ruimte zien we objecten namelijk vaak in cirkelbanen bewegen, terwijl dit op aarde slechts zelden gebeurt. Newton liet echter zien dat met dezelfde formule zowel het vallen van voorwerpen op aarde als de planeetbanen verklaard konden worden. Newton's redenatie was als volgt. Stel dat we een gigantisch kanon op aarde zouden bouwen (zie de onderstaande animatie), dan moet het mogelijk zijn om de kogel zo snel af te schieten dat de valbeweging van de kannonskogel dezelfde bocht maakt als de kromming van de aarde. In dat geval zou de kogel altijd vallen, maar nooit dichter bij de aarde komen. De kogel zal dan in een baan om de aarde bewegen, zoals ook de maan dat doet. Newton liet hiermee zien dat hij met de zwaartekracht de baan van de maan kon verklaren!

Newton zag ook in dat alle voorwerpen in het universum elkaar aantrekken met de zwaartekracht. In de extra paragraaf aan het eind van dit hoofdstuk laten we zien dat de grootte van deze kracht wordt gegeven door deze formule:

$$ F_z = \frac{mMG}{r^2} $$

Zwaartekracht (F_z)	Newton (N)
Massa van het lichtste voorwerp (m)	kilogram (kg)
Massa van het zwaarste voorwerp (M)	kilogram (kg)
Gravitatieconstante (G)	6,67 × 10^-11 Nm²kg^-2
Afstand tussen de massamiddelpunten van m en M (r)	meter (m)

Als we deze formule gelijkstellen aan ons bekende formule $F_z = mg $, dan vinden we:

$$ mg = \frac{mMG}{r^2} $$

Als we de massa aan beide kanten wegstrepen, dan vinden we dat de valversnelling g te berekenen is met:

$$ g = \frac{MG}{r^2} $$

Valversnelling (g)	meter per seconde per seconde (m/s²)
Massa van de aarde (m_aarde)	kilogram (kg)
Gravitatieconstante (G)	6,67 × 10^-11 Nm²kg^-2
Baanstraal (r)	meter (m)

Newton wist niet wat de massa van de aarde was en ook niet hoe groot de gravitatieconstante (G) was. De wetenschapper Henry Cavendish vond echter wel een manier om G te meten. Hij deed dit door de zwaartekracht tussen twee zware loden bollen te meten. De gravitatieconstante bleek een waarde van 6,67 × 10^-11 Nm²kg^-2 te hebben. Cavendish realizeerde zich dat hij met deze constante de massa van de aarde kon bepalen! Hij schreef daarvoor eerst de vorige formule om:

$$ M = \frac{gr^2}{G} $$

En toen vulde hij de bekende waarden in:

$$ M = \frac{gr^2}{G} $$ $$ \small{\frac{9,81 \times (6,371\times 10^6)^2}{6,67 \times 10^{-11}} =}$$ $$ \small{5,98 \times 10^{24} kg}$$

De massa van de aarde is dus 5,98 × 10²⁴ kg.

Omgekeerd kan de formule nu ook worden gebruikt om g uit te rekenen op een willekeurige afstand van de aarde. Op het aardoppervlak vinden we natuurlijk de vertrouwde waarde 9,81 m/s²

$$ g = \frac{MG}{r^2} $$ $$ \small{ \frac{5,98 \times 10^{24} \times 6,67 \times 10^{-11}}{(6,371\times 10^6)^2} = }$$ $$ \small{9,81 m/s^2 }$$

Als een object een baan maakt om bijvoorbeeld de aarde, dan weten we dat er een middelpuntzoekende kracht werkt, geleverd door de zwaartekracht. In dit geval geldt dus:

$$ F_{mpz} = F_z $$ $$ \frac{mv_{baan}^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} $$

We kunnen hier beide kanten delen door m en daarna kunnen we de formule herschrijven tot:

$$ v_{baan} = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$

Baansnelheid (v_baan)	meter per seconde (m/s)
Gravitatieconstante (G)	6,67 × 10^-11 Nm²kg^-2
Massa in het zwaarste voorwerp (M)	kilogram (kg)
Baanstraal (r)	meter (m)

Voor de baansnelheid geldt $ v_{baan} = 2\pi r/T $. Als we deze twee formules combineren, dan vinden we:

$$ \left( \frac{2\pi r}{T} \right)^2 = \frac{GM}{r} $$

Dit kunnen we herschrijven tot:

$$ \frac{ r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2} $$

Omlooptijd (T)	seconde (s)
Gravitatieconstante (G)	6,67 × 10^-11 Nm²kg^-2
Massa van het zwaarste voorwerp (M)	kilogram (kg)
Baanstraal (r)	meter (m)

Deze formule wordt de derde wet van Kepler genoemd. Kepler had voor Newton zijn theorie bedacht al gemeten dat voor alle planeten in het zonnestelsel gold dat $r^3/T^2$ een constante waarde opleverde. Kepler kon deze relatie echter zelf niet begrijpen. Met deze afleiding liet Newton echter zien waar deze relatie vandaan kwam! Dit was een van de belangrijkste bewijzen die Newton aandroeg om aan te tonen dat hij op het juiste pad zat met zijn algemene gravitatiekracht. Omdat deze afleiding zo belangrijk is, staat deze hieronder nog eens samengevat:

Laten we de derde wet van Kepler eens toepassen op het bewegen van de aarde om de zon. Met deze formule kunnen we de massa van de zon uitrekenen! Het enige dat we nodig hebben is de afstand van de aarde tot de zon (149,6×10⁹m) en de omlooptijd van de aarde (365 dagen):

$$ M_{zon} = \frac{4\pi^2 r^3}{GT_{aarde}^2}$$ $$ \scriptsize{ \frac{4\pi^2 (149,6 \times 10^9)^3}{6,67 \times 10^{-11} \times (365 \times 24 \times 60 \times 60)^2} = }$$ $$ 1,99 \times 10^{30} kg $$

We kunnen deze formule ook gebruiken om de omlooptijden van satellieten om de aarde uit te rekenen. Het internationale ruimtestation (ISS) bevindt zich bijvoorbeeld 300 km boven het aardoppervlak. De afstand r van het centrum van de aarde tot de satelliet is dus:

$$ \small{r = 6,37 \times 10^6 + 300 \times 10^3 =}$$ $$ \small{ 6,67 \times 10^6 m} $$

Nu kunnen we de omlooptijd uitrekenen

$$ T = \sqrt{\frac{4\pi^2}{GM_{aarde}} r^3} $$ $$ \scriptsize{ \sqrt{\frac{4\pi^2}{6,67 \times 10^{-11} \times 5,97 \times 10^{24} } (6,67 \times 10^6)^3} =}$$ $$ 5,42 \times 10^3 s $$

Dit is slechts anderhalf uur!

Training

Zorg dat je kan rekenen met de algemene gravitatiewet en zorg dat je G, de massa's van de hemellichamen en de afstand tussen de hemellichamen in BINAS kan vinden.

Laat met behulp van de formule van de gravitatiekracht zien dat de eenheid van G geschreven kan worden als Nm²kg^-2 en als m³kg^-1s^-2.
Cavendish bepaalde de constante G door de kracht te meten tussen een loden bol met een massa van 0,73 kg een andere loden bol met een massa van 158kg. De bollen werden op een afstand van 230 mm van elkaar opgehangen. De kracht die Cavendish mat was gelijk aan 1,5 × 10^-7N. Bereken hiermee de constante G.
Bereken de gravitatiekracht werkende op een persoon van 80 kg in het internationaal ruimtestation (400 km boven het aardoppervlak).
Hieronder zien we de baan van de satelliet WMAP. De satelliet heeft een massa van 840 kg en bevindt zich op 1,5 miljoen kilometer afstand van de aarde. De baan van WMAP is zo gemaakt dat deze precies meedraait met de aarde. De zon, de aarde en WMAP blijven dus op één lijn liggen.
1. Laat zien dat de middelpuntzoekende kracht die werkt op WMAP gelijk moet zijn aan 5,0 N om hem in deze baan te houden.
2. Deze kracht wordt geleverd door de zwaartekracht van de aarde en de zon tezamen. Ga na welke van de twee gravitatiekrachten hieraan de grootste bijdrage levert.
NOTEER IN HET ONLINE LOGBOEK welke feiten en strategiën je nodig had voor het rekenen met de gravitatiekracht. Schrijf hier ook iets over het opzoeken van gegevens in BINAS. Wat moet je nog meer echt onthouden voor de toets?

Zorg dat je de wet van Kepler, de formule voor de baansnelheid van hemellichamen en de formule voor de valversnelling van een planeet kan afleiden en gebruiken.

Leid de wet van Kepler af.
In deze opdracht bestuderen we twee manieren waarop de massa van de maan gemeten is.
1. In 1966 lukte het de Russen voor het eerst om het ruimtevaartuig Luna 10 in een baan om de maan te krijgen. Luna 10 bevond zich 682 km boven het maanoppervlak en de omlooptijd was 178 minuten. Gebruik deze data om de massa van de maan uit te rekenen. Kijk daarna in BINAS of je de juist waarde gevonden hebt.
2. In 1969 lukte het de Amerikanen om op de maan te landen. Ze vonden dat op het oppervlak van de maan de valversnelling gelijk was aan 1,62 m/s². Gebruik ook deze waarde om de massa van de maan te vinden.
Geostationaire satellieten zijn satellieten die meedraaien met de rotatie van de aarde om zijn eigen as. Bereken op welke hoogte boven het aardoppervlak deze satellieten geplaatst moeten worden.
NOTEER IN HET ONLINE LOGBOEK welke feiten en strategiën je nodig had voor het afleiden en gebruiken van de wet van Kepler. Schrijf hier ook iets over het gebruik van de derdemachtswortel. Wat moet je nog meer echt onthouden voor de toets?
De maan Oberon van Uranus heeft een omlooptijd van 13,5 dagen. De afstand van Uranus tot zijn maan is 5,826 × 10⁵ km. Bereken hiermee de massa van Uranus. Kijk daarna wederom in BINAS om te kijken of je de juiste waarde gevonden hebt.
In de koude oorlog wilden de Amerikanen zo veel mogelijk te weten komen over de satellieten van de Russen. De snelheid van de satellieten en de hoogte van de satellieten boven het aardoppervlak kon men snel achterhalen. Het vinden van de massa van de satellieten bleek echter niet mogelijk. Laat aan de hand van een berekening zien dat de massa geen invloed heeft op de beweging van de satelliet en dus ook niet te meten is.
NOTEER IN HET ONLINE LOGBOEK welke feiten en strategiën je nodig had om de massa van hemellichamen te berekenen. Welke lessen heb je uit de opdrachten getrokken? Wat moet je echt onthouden voor de toets?

Toetsvragen

Een satelliet die door de buitenste lagen van de atmosfeer rondcirkelt, ondervindt een kleine wrijvingskracht. Als hij geen aandrijfmotor heeft, zal hij daardoor in een steeds lagere baan rond de aarde gaan cirkelen en uiteindelijk op de aarde neerstorten (zie de onderstaande grafiek).

Op een bepaald moment bevindt de satelliet zich op een hoogte van 400 km boven de aarde. Bepaal op dit moment het hoogteverlies per omwenteling om de aarde. Bereken hiervoor eerst hoe lang een omwenteling op deze hoogte duurt.
De ringen van Saturnus bestaan uit vele kleine ijs- en rotsblokken die in een baan om Saturnus bewegen.
1. Laat met een formule zien dat de deeltjes in de ring dicht bij Saturnus de deeltjes verderweg telkens inhalen.
2. In veel gevallen zouden deze ijs- en rotsblokjes door de zwaartekracht samentrekken en een maan vormen. De zwaartekracht van Saturnus maakt dit echter onmogelijk. In deze opdracht gaan we begrijpen waarom.
  Hieronder zien we bijvoorbeeld zo'n rotsblok. Omdat het rotsblok in een cirkel om saturnus draait, weten we dat de middelpuntzoekende kracht die in het massamiddelpunt van het rotsblok werkt gelijk zijn aan de middelpuntzoekende kracht (zie de onderstaande afbeeling).
  
  Op positie L en N in de afbeelding is de zwaartekracht echter niet gelijk aan de middelpuntzoekende kracht. Laat zien dat de zwaartekracht op punt L groter is dan de middelpuntzoekende kracht en de op punt N de middelpuntzoekende kracht groter is dan de zwaartekracht. Leg hiermee uit dat Saturnus met deze krachten de steen uit elkaar probeert te trekken.
3. In verticale richting wordt de steen juist in elkaar gedrukt. Laat met behulp van een tekening van krachten zien waarom dit gebeurt.
De valversnelling is niet overal op aarde precies gelijk. Dit komt o.a. door de aanwezigheid van bergen. Om deze variaties te kunnen meten zijn twee satellieten, GRACE A en GRACE B, gelanceerd. De twee satellieten draaien achter elkaar aan om de aarde op een hoogte van 485 km met een onderlinge afstand van normaal gesproken 220 km. Kleine afwijkingen in de zwaartekracht beïnvloeden de onderlinge afstand tussen de satellieten.
1. Laat met een berekening zien dat de satellieten per etmaal 15 rondjes maken om de aarde.
2. Hieronder zien we GRACE A en B over een gebergte bewegen. Leg uit dat de berg ervoor zorgt dat de afstand tussen A en B eerst iets groter wordt en daarna weer de oorspronkelijke waarde aanneemt.
3. Op een gegeven moment bewegen de twee GRACE satellieten over de Himalaya. De Himalaya wordt hierin aangegeven als een massa M₁. In de getekende positie ondervinden beide satellieten elk een (zeer kleine) extra versnelling a_Him door de gravitatiekracht van M₁.
  
  Voor de grootte van de onderlinge (relatieve) versnelling in de x-richting tussen de twee satellieten geldt: $$ a_{rel,x} = GM_1\frac{d}{r^3} $$ Toon dit aan.
4. In de onderstaande afbeelding is de onderlinge versnelling uitgezet tegen de tijd voor de beweging over de Himalaya: Bepaal met dit figuur de massa van de Himalaya.
NOTEER IN HET ONLINE LOGBOEK welke feiten en strategiën je nodig had om deze toetsvragen te beantwoorden. Welke lessen heb je uit de opdrachten getrokken? Wat moet je echt onthouden voor de toets?