We kunnen met een (v,t)-diagram ook de verplaatsing van een voorwerp achterhalen. De oppervlakte onder de (v,t)-grafiek blijkt namelijk gelijk te zijn aan de afstand die het voorwerp aflegt. Laten we dit eens toepassen. In het linker voorbeeld is het oppervlak 6 × 3 = 18. Het voorwerp heeft hier dus 18 meter afgelegd. In het rechter voorbeeld is het oppervlak een driehoek. Het oppervlak is hier (6 × 3)/2 = 9. Het voorwerp heeft hier dus 9 meter afgelegd.

Laten we een belangrijk voorbeeld bespreken. Hieronder zien we het (v,t)-diagram van een remmend voertuig. Op tijdstip t = 0s springt een stoplicht op rood. Het duurt dan nog een seconde voordat de bestuurder door heeft wat er gebeurt is en reageert door op zijn rem te trappen. We noemen dit de reactietijd. Na de reactietijd duurt het in dit voorbeeld nog 3 seconden voordat het voertuig stil staat.

De afstand die het voertuig gedurende de reactietijd aflegt noemen we de reactieafstand. In dit geval is dit 50 × 1 = 50m. De afstand die het voertuig tijdens het remmen aflegt noemen we de remweg. In dit geval is dat (50 × 3)/2 = 75m. De reactieafstand en de remweg samen noemen we de stopafstand. In het bovenstaande voorbeeld is de stopafstand dus gelijk aan 50 + 75 = 125m.

In het volgende filmpje gaan we hiermee rekenen:

In het volgende voorbeeld kunnen we het oppervlak niet met een simpele formule berekenen. Wat we hier doen is de hokjes tellen onder de grafiek. Aan de rechter kant zien we dat er 53 hele hokjes onder de grafiek te vinden zijn. Bij het overgebleven oppervlak moeten we zo goed mogelijk schatten hoeveel hokjes dit zijn. Ga zelf na dat dit er ongeveer 9,5 zijn. In totaal hebben we dus 53 + 9,5 = 62,5 hokjes. Elk hokje heeft een oppervlak van 0,5 × 0,5 = 0,25m. De totale verplaatsing is dus:

$$ 62,5 \times 0,25 = 15,6 \text{ m} $$


Klas 4

Hieronder zien we nog een (v,t)-diagram. Denk bij het bepalen van het oppervlak onder de grafiek ook aan de eenheden. Hieronder wordt bijvoorbeeld op de ene as 103 meter gebruikt en op de andere as minuten. Het oppervlak van één hokje in SI-eenheden is hier dus: $$ 10^3 \times 60 = 6,0 \times 10^4 \text{m} $$


In het volgende filmpje bespreken we een aantal examenopdrachten over dit onderwerp:




Training
    Rekenen met de oppervlaktemethode.
  1. Bereken voor de volgende diagrammen de afgelegde afstand:
  2. Bereken voor het volgende diagram de verplaatsing:
  3. Een bal wordt een heuvel opgerold. Bereken de afstand die de bal aflegd:

  4. Vul het online logboek aan.
  5. Twee auto's vertrekken vanaf dezelfde positie. Een leerling beweert dat de ene auto de ander na ongeveer 20 seconden inhaalt. Een andere leerling is het hier niet mee eens en beweert dat de auto's elkaar pas na langer dan 30 seconden inhalen. Leg uit wie er gelijk heeft. Leg ook uit hoe je aan je antwoord komt.
  6. Een kleine raket wordt recht omhoog afgeschoten. Nadat de raket zijn maximale hoogte haalt valt deze terug naar de aarde. De beweging staat beschreven in het onderstaande diagram.
    1. Leg uit dat de raket zijn hoogste punt niet op tijdstip t = 15s, maar t = 30s bereikt.
    2. Bereken de hoogte die de raket gehaald heeft.

  7. Vul het online logboek aan. Vooral de vorige vraag is een veelvoorkomende eindexamenvraag. Zorg dat je goed noteert op welke manier je deze vraag kan beantwoorden.
  8. Hieronder zien we een (v,t)-diagram van een auto die wordt weggesleept. De auto moet 20 meter verplaatst worden. Zoals je in het diagram kan zien neemt de snelheid eerst toe. Na t=12 seconden blijft de snelheid constant totdat de 20 meter gehaald is. Hoe lang duurt het verplaatsen van de auto?
  9. Door hun grotere snelheid halen grotere druppels kleinere in. Als de druppels botsen ontstaan grotere regendruppels. In de volgende grafiek zien we een (v,t)-diagram van het fuseren van de twee druppels A en B.

    Hoeveel meter liep druppel A achter op druppel B op tijdstip t = 0?
  10. Hieronder zien we een rail met in het midden een knik. Op de rail wordt een karretje gezet, zoals hieronder te zien is.

    De kar wordt vanuit de beschreven positie op het tijdstip t = 0 losgelaten. Dit tijdstip noemen we tA. De kar gaat dan over de rail heen en weer bewegen. Het laagste punt van de baan noemen we de evenwichtsstand. De snelheid langs de baan van het zwaartepunt van de kar is hieronder als functie van de tijd weergegeven. Als de kar naar links beweegt, is de snelheid negatief gekozen.
    1. Leg uit waar het karretje zich bevindt op tijdstip tc
    2. De twee gearceerde oppervlaktes in het diagram zijn noodzakelijk even groot. Leg uit waarom dit het geval is.
    3. Klas 4 Teken het bijbehorende (x,t)-diagram van de beweging van tA tot tD. Zorg hier dat x positief is als de kar zich rechts van de evenwichtsstand bevindt en negatief als de kar zich links van de evenwichtsstand bevindt.
  11. Vul het online logboek aan.
    12. (x,t)- en (v,t)-diagrammen in elkaar omschrijven.
  12. In het volgende programme schrijven we (x,t) om naar (v,t) en andersom. Om van (x,t) naar (v,t) je gaan, maar je gebruik van de formule Δx/Δt=v. Om van (v,t) naar (x,t) te gaan maak je gebruik van het oppervlak onder de grafiek.
  13. Vul het online logboek aan.
    14. Rekenen met de reactietijd, de remweg en de stopafstand in een (x,t)- en (v,t)-diagram.
  14. Dit diagram beschrijft het remmen van een vrachtauto voor een stoplicht dat op rood springt op tijdstip t = 0s.
    1. Wat is de reactietijd van de vrachtauto?
    2. Wat is de remweg van de vrachtauto?
    3. Wat is de stopafstand van de vrachtauto?
    4. Maak de bijbehorende x,t-diagram.
  15. Hieronder zien we een (x,t)-diagram van een remmend voertuig.
    1. Wat is de beginsnelheid van de auto?
    2. Wat is de reactieafstand, de remweg en de stopafstand?
    3. Teken het bijbehorende (v,t)-diagram.
  16. Vul het online logboek aan.
  17. In het onderstaande diagram zie je hoe de reactieafstand (rode lijn) en de remweg (groene lijn) afhangen van de snelheid voor een bepaald voertuig op een normaal wegdek met een bestuurder met een gemiddelde reactietijd.
    1. Teken ook de grafiek voor de stopafstand in het diagram.
    2. Bereken de reactietijd als de persoon met een snelheid van 70 km/h rijdt.
  18. Vul het online logboek aan.