In deze paragraaf gaan we leren hoe we in de natuurkunde afronden. Dit doen we met behulp van significante cijfers.

In de natuurkunde werken we met metingen en metingen zijn vaak onnauwkeurig. Het ligt daarom voor de hand dat we cijfers in de natuurkunde afronden op basis van de nauwkeurigheid van de meting. Hoe nauwkeuriger de meting is, op hoe meer getallen we de meetwaarde afronden.

Neem bijvoorbeeld het potlood in de volgende afbeelding. De meeste mensen zullen waarschijnlijk zeggen dat dit potlood een lengte van 11 cm heeft. We kunnen de lengte van het potlood echter nauwkeurig genoeg aflezen, dat we zeker weten dat het eerste getal achter de komma een nul moet zijn. We zeggen daarom dat de lengte van dit potlood 11,0 cm is. We zien hier dus dat bij natuurkunde de nullen achter de komma van belang zijn!


De cijfers die we van een meetwaarde mogen noteren noemen we significante cijfers. De meetwaarde 11,0 cm bestaat dus uit drie significante cijfers.

Belangrijk is om te weten dat nullen aan de linkerkant van een meetwaarde niet meetellen als significante cijfers. De meetwaarde 0,0040 meter heeft dus slechts twee significante cijfers.

Maar wat nu als we een rekensommetje doen met verschillende meetwaarden? Op hoeveel cijfers moeten we het antwoord van dit sommetje dan afronden? De regel is dat we het antwoord schrijven in evenveel significante cijfers als de meetwaarde met het minst aantal significante cijfers.

Laten we een voorbeeld bespreken. Stel een auto rijdt 200,0 meter in 20,6 seconden. Als we de snelheid op onze rekenmachine berekenen, dan vinden we:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{200,0}{20,6} = 9,708737864 \text{ m/s}$$

200,0 heeft vier significante cijfers en 20,6 heeft er drie. Drie is het minst, dus we willen het antwoord ook op drie cijfers afronden:

$$ v = \frac{200,0}{20,6} = 9,71 \text{ m/s}$$

Nog een voorbeeld. Stel een ruimteschip vliegt 3000 meter in 2,0 seconden. De snelheid wordt dan:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$ $$ v = \frac{3000}{2,0} = 1500 \text{ m/s} $$

3000 heeft vier significante cijfers en 2,0 heeft er twee. Het antwoord willen we dus ook maar in twee cijfers noteren. Maar hoe noteren we het getal 1500 in slechts twee cijfers? Dit doen we met behulp van machten van tien. We schrijven:

$$ v = \frac{3000}{2,0} = 15 \times 10^2 \text{ m/s} $$

Machten van tien werken als volgt. 15 × 102 is gelijk aan 1500. Als we een waarde vermenigvuldigen met 102, dan schuift de komma dus twee plaatsen op naar rechts. Het getal 15 × 10-2 is gelijk aan 0,15. Als we een waarde vermenigvuldigen met 10-2, dan schuift de komma dus twee plaatsen op naar links.

In de praktijk is het niet nodig om bij elke rekenstap het antwoord in het juiste aantal significante cijfers te schrijven. Bij het eindantwoord is dit echter wel verplicht! Als je het eindantwoord gevonden hebt, kijk dan terug in de vraag naar alle meetwaarden die je gebruikt hebt en kijk welke waarde het minst aantal significante cijfers heeft. Schrijf je antwoord dan ook in dit aantal significante cijfers op.

Naast machten van tien is het soms ook mogelijk om voorvoegsels te gebruiken. In de onderstaande tabel staan de bekendste voorvoegsels:

G giga- 109
M mega- 106
k kilo- 103
h hecto- 102
da deca- 101
d deci- 10-1
c centi- 10-2
m milli- 10-3
μ micro- 10-6
n nano- 10-9

Met voorvoegsels kunnen we een meetwaarde als 3,45 × 10-6 m bijvoorbeeld ook schrijven als 3,45 μm.

Er zijn ook getallen in de natuurkunde die wel precies zijn. Neem bijvoorbeeld het aantal leerlingen in een klaslokaal, het aantal ramen in een gebouw, het aantal zijden van een vierkant enzovoorts. We noemen deze precieze getallen telwaarden. Omdat deze waarden precies zijn, hebben ze dus een oneindige hoeveelheid significante cijfers. Als gevolg is het bij berekeningen nooit nodig om naar de significante cijfers van telwaarden te kijken.


Klas 4
In sommige gevallen is het alleen nodig om een grove schatting te hebben van een meetwaarde. In dat geval maken we gebruik van de orde van grootte. Bij de orde van grootte ronden we een meetwaarde af op nul significante cijfers. 2,0 × 103 wordt dan bijvoorbeeld 103. 7 × 102 wordt 103. In dit geval hebben we de '7' omhoog afgerond. 50 × 102 wordt 104. Door de '5' omhoog af te ronden vinden we 100 × 102 en dit is gelijk aan 104.





Training
    Vinden van het aantal significante cijfers en het herkennen van telwaarden
  1. (3,4) Noteer het aantal significante cijfers:
    1. 25,0 kg/m3
    2. 35600 m
    3. 12 km/h
    4. 0,350 m/s
    5. 0,000001 m
    6. 1,000001 m
  2. (3,4) Geef het aantal significante cijfers of geef aan dat er sprake is van een telwaarde:
    1. Een baksteen heeft een massa van 1 kg.
    2. De woonkamer heeft 3 grote ramen.
    3. De diameter van een cirkel is gelijk aan 2r.
    4. Er stromen per seconde 900 000 elektronen door de draad.
    5. Er stromen per seconde 900 × 103 elektronen door de draad.
    6. De spanning van het stopcontact is gelijk aan 230V.
  3. (3,4) Beschrijf waar je op moet letten bij het bepalen van het aantal significante cijfers van een meetwaarde. Schrijf ook wat telwaarden zijn.

    4. Een meetwaarde in het juiste aantal significante cijfers schrijven
  4. (3,4) Na een berekening geeft je rekenmachine de volgende waarden aan. Schrijf ze in de aangegeven hoeveelheid significante cijfers:
    1. Schrijf 2500 in twee significante cijfers.
    2. Schrijf 0,0150 in twee significante cijfers.
    3. Schrijf 150 in één significante cijfer.
    4. Schrijf 3400,8 in drie significante cijfers.
    5. Schrijf 1 500 000 in vier significante cijfers.
    6. Schrijf 0,00500000 in één significante cijfer.
    7. Schrijf 150 × 103 in twee significante cijfers.
    8. Schrijf 1800 × 10-5 in twee significante cijfers.

    5. Rekenen met significante cijfers
  5. (3,4) Bereken de volgende opdrachten in het juiste aantal significante cijfers:
    1. Een sprinter rent 400,0 m en doet hier 55 seconden over. Wat is de snelheid van de sprinter.
    2. Een kamer heeft een lengte van 25,50 m en een breedte van 14 m. Wat is de oppervlakte van de kamer?
    3. Een cirkel heeft een diameter van 15,2 cm. Wat is de omtrek van de cirkel?
    4. Een kamer heeft een lengte van 5 m en een breedte van 3,51 m. Wat is de oppervlakte van de kamer?
  6. (3,4) Een leerling vertelt een andere leerling dat de massa van al de lucht in de kamer waarin hij staat zwaarder is dan de leerling zelf. De kamer heeft een lengte van 5m, een breedte van 8,5 m en een hoogte van 2,5 m. Een kubieke meter lucht heeft een massa van 1,29 kg. Heeft de leerling gelijk of niet?
  7. (3,4) 18-karaats goud bestaat voor 75% uit goud en voor de rest bijvoorbeeld uit zilver. Een persoon heeft drie ringen gevonden van elk 10,4 gram bestaande uit 18-karaats goud. De persoon hoopt hiervan een mooi 2de hands brommertje te kopen ter waarde van 600 euro. Lukt dit?
    Metaal Euro/kilogram
    Aluminium 1,33
    Lood 1,48
    Zink 1,46
    Koper 4,84
    Zilver 466,34
    Goud 30200,00
  8. (3,4) Een kamer in een groot huis bevat 3 grote ramen met een lengte van 2,8 meter en een hoogte van 1,8 m. Het nadeel van ramen is dat er veel warmte door verloren gaat. Warmte wordt gemeten in joule en door elke vierkante meter glas blijkt gemiddeld 24 joule per seconde te stromen.
    1. Bereken hoeveel warmte er per dag aan warmte wegstroomt uit de kamer.
    2. 3 600 000 joule aan warmte kost zo'n 20 cent. Hoeveel geld ben je hier per jaar aan kwijt?
  9. (3,4) Een aquarium heeft een lengte van 60 cm en een breedte van 30 cm. De hoogte van het aquarium is 50 cm. Het aquarium wordt gevuld met water totdat het water op 30 cm hoogte uitkomt. Een kraan wordt aangezet en levert 300 mL per seconde. Hoe lang duurt het voordat het water in het aquarium de gewenste hoogte heeft bereikt?
  10. (3,4) Beschrijf hoe je het aantal significante cijfers bepaalt na een berekening.
  11. (4) Een stalen cilinder heeft een lengte van 10,0 m en een diameter van 2,00 cm. De dichtheid van staal is 7,810 × 103 kg/m3. Wat is de massa van de stalen cilinder?
  12. (4) Een stuk metaal heeft een massa van 1,000 kg en een volume van 120,0 cm3. Een ander stuk metaal heeft een massa van 2,50 kg en een volume van 300,1 cm3. Zouden beide stukken van hetzelfde metaal gemaakt kunnen zijn?
  13. (4) De massa van één ijzeratoom is 9,27 × 10-26 kg. Hoeveel atomen zitten er in 1,0 kg ijzer?
  14. (4) Lading wordt gemeten in Coulomb. Eén elektron heeft een lading van 1,6022 × 10-19. Stel dat er 3,00 coulomb per seconde door een draad stroomt, hoeveel elektronen gaan er dan per seconde door de draad?
  15. (4) De aarde legt elk jaar een afstand van 9,4 × 1011 m af in zijn baan om de zon.
    1. Bereken de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon.
    2. Bereken de snelheid waarmee de aarde om de zon draait in km/s.
    3. Bereken hoeveel minuten het duurt voordat zonlicht de aarde bereikt.
  16. (4) Bereken de gemiddelde dichtheid van de aarde.
  17. (4) Een koperen draad heeft een diameter van 2,0 mm en een lengte van 40,0 m. Bereken de massa van de draad in gram.
  18. (4) Een aluminium kabel heeft een massa van 188 gram en een diameter van 2,5 mm. Wat is de lengte van de kabel?
  19. (4) Een waterstofatoom bestaat uit een proton in de kern en een elektron in een baan om de kern. Het elektron is 5,29 × 10-11 m verwijderd van de kern. De snelheid van het elektron is 2,19 × 106 m/s.
    1. Bereken hoe lang het duurt voordat het elektron een rondje maakt om de kern in nanoseconden.
    2. Bereken hoe vaak het elektron in 1,0 seconde om de kern draait.